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18. (2024·赤峰中考)写出一个比$\sqrt{5}$小的整数
2(答案不唯一)
.答案
18.2(答案不唯一) [解析]由于 $\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$,即 $2＜\sqrt{5}＜3$,
∴比 $\sqrt{5}$ 小的整数可以是 2(答案不唯一).
∴比 $\sqrt{5}$ 小的整数可以是 2(答案不唯一).
19. (2024·河北中考)已知 $a,b,n$ 均为正整数.
(1)若 $n＜\sqrt{10}＜n+1$, 则 $n=$
(2)若 $n-1＜\sqrt{a}＜n,n＜\sqrt{b}＜n+1$, 则满足条件的 $a$ 的个数总比 $b$ 的个数少
(1)若 $n＜\sqrt{10}＜n+1$, 则 $n=$
3
;(2)若 $n-1＜\sqrt{a}＜n,n＜\sqrt{b}＜n+1$, 则满足条件的 $a$ 的个数总比 $b$ 的个数少
2
个.答案
19.(1)3 (2)2 [解析](1)
∵$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$,
∴$3＜\sqrt{10}＜4$.
∵$n＜\sqrt{10}＜n+1$,$n$ 为正整数,
∴$n=3$.
(2)
∵$n-1＜\sqrt{a}＜n$,
∴$(n-1)^2＜a＜n^2$,
∴$a$ 的个数为 $n^2-(n-1)^2-1=n^2-n^2+2n-1-1=2n-2$.
∵$n＜\sqrt{b}＜n+1$,
∴$n^2＜b＜(n+1)^2$,
∴$b$ 的个数为 $(n+1)^2-n^2-1=n^2+2n+1-n^2-1=2n$.
∵$2n-(2n-2)=2$,
∴满足条件的 $a$ 的个数总比 $b$ 的个数少 2 个.
∵$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$,
∴$3＜\sqrt{10}＜4$.
∵$n＜\sqrt{10}＜n+1$,$n$ 为正整数,
∴$n=3$.
(2)
∵$n-1＜\sqrt{a}＜n$,
∴$(n-1)^2＜a＜n^2$,
∴$a$ 的个数为 $n^2-(n-1)^2-1=n^2-n^2+2n-1-1=2n-2$.
∵$n＜\sqrt{b}＜n+1$,
∴$n^2＜b＜(n+1)^2$,
∴$b$ 的个数为 $(n+1)^2-n^2-1=n^2+2n+1-n^2-1=2n$.
∵$2n-(2n-2)=2$,
∴满足条件的 $a$ 的个数总比 $b$ 的个数少 2 个.
20. (2024·自贡中考)一次函数 $y=(3m+1)x-2$ 的值随 $x$ 的增大而增大,请写出一个满足条件的 $m$ 的值
1(答案不唯一)
.答案
20.1(答案不唯一) [解析]
∵$y=(3m+1)x-2$ 的值随 $x$ 的增大而增大,
∴$3m+1＞0$,
∴$m＞-\dfrac{1}{3}$,
∴$m$ 可以为 1(答案不唯一).
∵$y=(3m+1)x-2$ 的值随 $x$ 的增大而增大,
∴$3m+1＞0$,
∴$m＞-\dfrac{1}{3}$,
∴$m$ 可以为 1(答案不唯一).
21. (2024·攀枝花中考)如图,折线 $ OABC $ 表示了距离 $ s $(米)与时间 $ t $(分)之间的函数关系.
(1)分别直接写出线段 $ OA $,$ AB $ 所对应的函数表达式,并注明相应的 $ t $ 的取值范围;
(2)请你想象一个符合函数图象的实际情境,并用语言进行描述(不必描述具体的速度).
(1)分别直接写出线段 $ OA $,$ AB $ 所对应的函数表达式,并注明相应的 $ t $ 的取值范围;
(2)请你想象一个符合函数图象的实际情境,并用语言进行描述(不必描述具体的速度).
答案
21.(1)设线段 OA 对应的函数表达式为 $s=kt$.
∵点 $(20,900)$ 在该函数图象上,
∴$900=20k$,得 $k=45$,
∴线段 OA 对应的函数表达式为 $s=45t(0\le t\le20)$.
由图象,可得线段 AB 对应的函数表达式为 $s=900(20\le t\le30)$;
(2)小明从家步行去图书馆,图书馆距离小明家 900 米,用时 20 分钟,然后小明在图书馆看书用了 10 分钟,再步行回家,用时 15 分钟(答案不唯一,符合图象即可).
∵点 $(20,900)$ 在该函数图象上,
∴$900=20k$,得 $k=45$,
∴线段 OA 对应的函数表达式为 $s=45t(0\le t\le20)$.
由图象,可得线段 AB 对应的函数表达式为 $s=900(20\le t\le30)$;
(2)小明从家步行去图书馆,图书馆距离小明家 900 米,用时 20 分钟,然后小明在图书馆看书用了 10 分钟,再步行回家,用时 15 分钟(答案不唯一,符合图象即可).
22. (2024·新疆中考) [探究]
(1) 已知$△ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形.
① 如图(1),当点$D$在$BC$上时,连接$CE$.请探究$CA$,$CE$和$CD$之间的数量关系,并说明理由;
② 如图(2),当点$D$在线段$BC$的延长线上时,连接$CE$.请再次探究$CA$,$CE$和$CD$之间的数量关系,并说明理由.
[运用]
(2) 如图(3),等边三角形$ABC$中,$AB=6$,点$E$在$AC$上,$CE=2\sqrt{3}$.点$D$是直线$BC$上的动点,连接$DE$,以$DE$为边在$DE$的右侧作等边三角形$DEF$,连接$CF$.当$△ CEF$为直角三角形时,请直接写出$BD$的长.
(1) 已知$△ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形.
① 如图(1),当点$D$在$BC$上时,连接$CE$.请探究$CA$,$CE$和$CD$之间的数量关系,并说明理由;
② 如图(2),当点$D$在线段$BC$的延长线上时,连接$CE$.请再次探究$CA$,$CE$和$CD$之间的数量关系,并说明理由.
[运用]
(2) 如图(3),等边三角形$ABC$中,$AB=6$,点$E$在$AC$上,$CE=2\sqrt{3}$.点$D$是直线$BC$上的动点,连接$DE$,以$DE$为边在$DE$的右侧作等边三角形$DEF$,连接$CF$.当$△ CEF$为直角三角形时,请直接写出$BD$的长.
答案
22.(1) ①$CE+CD=CA$. 理由如下:
∵$△ ABC$和$△ ADE$是等边三角形,
∴$AB=AC=BC$,$AD=AE=DE$,$∠ BAC=∠ DAE=60°$,
∴$∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$,
∴$∠ BAD=∠ CAE$.
在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$,
∴$CE=BD$.
∵$BD+CD=BC$,
∴$CE+CD=CA$.
②$CA+CD=CE$. 理由如下:
∵$△ ABC$和$△ ADE$是等边三角形,
∴$AB=AC=BC$,$AD=AE=DE$,$∠ BAC=∠ DAE=60°$,
∴$∠ BAC+∠ DAC=∠ DAE+∠ DAC$,
∴$∠ BAD=∠ CAE$.
在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$,
∴$CE=BD$.
∵$CB+CD=BD$,
∴$CA+CD=CE$.
(2)过 $E$ 作 $EH// AB$,则 $△ EHC$ 为等边三角形.
①当点 $D$ 在 $H$ 左侧时,如图(1).
∵$ED=EF$,$∠ DEH=∠ FEC$,$EH=EC$,
∴$△ EDH≌△ EFC(\mathrm{SAS})$,
∴$∠ ECF=∠ EHD=120°$,此时 $△ CEF$ 不可能为直角三角形.
②当点 $D$ 在 $H$ 右侧,且在线段 $CH$ 上时,如图(2).
同理,可得 $△ EDH≌△ EFC(\mathrm{SAS})$,
∴$∠ FCE=∠ EHD=60°$,$∠ FEC=∠ DEH＜∠ HEC=60°$,此时只有 $∠ CFE$ 有可能为 $90°$,
当 $∠ CFE=90°$ 时,$∠ EDH=90°$,
∴$ED⊥ CH$.
∵$CH=CE=2\sqrt{3}$,
∴$CD=\dfrac{1}{2}CH=\sqrt{3}$.
又 $BC=AB=6$,
∴$BD=6-\sqrt{3}$.
③当点 $D$ 在 $H$ 右侧,且在 $HC$ 延长线上时,如图(3),
此时只有 $∠ CEF=90°$.
∵$∠ DEF=60°$,
∴$∠ CED=30°$.
∵$∠ ECH=60°$,
∴$∠ EDC=∠ CED=30°$,
∴$CD=CE=2\sqrt{3}$,
∴$BD=6+2\sqrt{3}$.
综上所述,$BD$ 的长为 $6-\sqrt{3}$ 或 $6+2\sqrt{3}$.
思路引导 (1)①根据条件易证 $△ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$,再进行线段转化易得答案;②与第①小问思路一样,证出 $△ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$ 即可;
(2)由 $△ CEF$ 为直角三角形可知,需要分类讨论确定哪个角是直角,再根据点 $D$ 的位置关系去讨论即可,因为点 $D$ 是动点,所以按照前面两问带给我们的思路,去构造类似的全等三角形,进而讨论求解即可.
