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一、选择题(每小题6分,共24分)
1.(2025·赣榆区期中)已知$\odot O$的半径为3 cm,圆心$O$到直线$l$的距离为2 cm,则$l$与$\odot O$的交点个数为（
A.0
B.1
C.2
D.3
1.(2025·赣榆区期中)已知$\odot O$的半径为3 cm,圆心$O$到直线$l$的距离为2 cm,则$l$与$\odot O$的交点个数为（
C
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1.C
解析
【分析】
这道题要判断直线和圆的交点个数，核心思路是利用直线与圆位置关系的判定规则：首先从题干中提取已知的圆半径r和圆心到直线的距离d的数值，再比较d和r的大小，对应不同的位置关系就能直接得到交点数量。第一步先梳理已知条件：⊙O半径r=3cm，圆心O到直线l的距离d=2cm；第二步对比d和r的大小，发现d＜r，对应直线和圆的相交关系，相交的直线和圆有2个公共点，即可选出正确答案。
【解析】
解：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，
由题干已知r=3cm，d=2cm，
可得d=2cm ＜ r=3cm，
根据直线与圆的位置关系判定规则：当d＜r时，直线与圆相交，相交的直线和圆有2个交点，
因此直线l与⊙O的交点个数为2，本题选C。
【答案】C
【知识点】
直线与圆的位置关系；直线与圆交点判定
【点评】
本题属于直线和圆位置关系的基础考题，考点直接对应教材核心判定规则，没有设置复杂变形和计算，只要牢记d与r的大小关系对应的三种位置关系特征，即可快速得出结果，是圆章节的入门常考题型。
【难度系数】
0.9
这道题要判断直线和圆的交点个数，核心思路是利用直线与圆位置关系的判定规则：首先从题干中提取已知的圆半径r和圆心到直线的距离d的数值，再比较d和r的大小，对应不同的位置关系就能直接得到交点数量。第一步先梳理已知条件：⊙O半径r=3cm，圆心O到直线l的距离d=2cm；第二步对比d和r的大小，发现d＜r，对应直线和圆的相交关系，相交的直线和圆有2个公共点，即可选出正确答案。
【解析】
解：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，
由题干已知r=3cm，d=2cm，
可得d=2cm ＜ r=3cm，
根据直线与圆的位置关系判定规则：当d＜r时，直线与圆相交，相交的直线和圆有2个交点，
因此直线l与⊙O的交点个数为2，本题选C。
【答案】C
【知识点】
直线与圆的位置关系；直线与圆交点判定
【点评】
本题属于直线和圆位置关系的基础考题，考点直接对应教材核心判定规则，没有设置复杂变形和计算，只要牢记d与r的大小关系对应的三种位置关系特征，即可快速得出结果，是圆章节的入门常考题型。
【难度系数】
0.9
2. (2025·海州区一模)如图，$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，$A$，$B$为切点，点$C$在$\odot O$上，且$∠ ACB = 50°$，则$∠ APB$的度数为（
A.$50°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$85°$
C
）A.$50°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$85°$
答案
2.C
解析
【分析】
拿到这道题后，我们可以按以下思路推导：首先题目给出了PA、PB是圆的切线，还有圆周角∠ACB的度数，要求∠APB。第一步，遇到切线相关问题，优先想到切线的核心性质：切线垂直于过切点的半径，所以我们先作辅助线，连接圆心O和两个切点A、B，就能得到两个直角∠OAP、∠OBP。第二步，已知的∠ACB是弧AB对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧对应的圆心角是圆周角的2倍，就能算出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数。第三步，四边形OAPB的内角和是360°，用内角和减去两个直角的度数，再减去已经算出的∠AOB的度数，就能直接得到∠APB的大小。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵ PA、PB是$\odot O$的切线，A、B为切点，
∴ $OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∵ $∠ ACB=50°$，$∠ ACB$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理可得：$∠ AOB=2∠ ACB=2×50°=100°$，
在四边形OAPB中，四边形内角和为$360°$，
因此$∠ APB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ AOB=360°-90°-90°-100°=80°$。
【答案】C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆章节的经典基础考题，解题的关键是掌握切线问题的常用辅助线构造方法，通过连接圆心和切点得到直角，再结合圆周角定理建立已知条件和所求角的关联，整体计算量小，侧重考察对圆基础性质的熟练应用。
【难度系数】
0.8
拿到这道题后，我们可以按以下思路推导：首先题目给出了PA、PB是圆的切线，还有圆周角∠ACB的度数，要求∠APB。第一步，遇到切线相关问题，优先想到切线的核心性质：切线垂直于过切点的半径，所以我们先作辅助线，连接圆心O和两个切点A、B，就能得到两个直角∠OAP、∠OBP。第二步，已知的∠ACB是弧AB对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧对应的圆心角是圆周角的2倍，就能算出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数。第三步，四边形OAPB的内角和是360°，用内角和减去两个直角的度数，再减去已经算出的∠AOB的度数，就能直接得到∠APB的大小。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵ PA、PB是$\odot O$的切线，A、B为切点，
∴ $OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∵ $∠ ACB=50°$，$∠ ACB$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理可得：$∠ AOB=2∠ ACB=2×50°=100°$，
在四边形OAPB中，四边形内角和为$360°$，
因此$∠ APB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ AOB=360°-90°-90°-100°=80°$。
【答案】C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆章节的经典基础考题，解题的关键是掌握切线问题的常用辅助线构造方法，通过连接圆心和切点得到直角，再结合圆周角定理建立已知条件和所求角的关联，整体计算量小，侧重考察对圆基础性质的熟练应用。
【难度系数】
0.8
3. 如图, 在$△ A B C$中,$C A=C B=4$,$∠ B A C=α$, 将$△ A B C$绕点$A$逆时针旋转$2α$, 得到$△ A B' C'$,连接$B' C$并延长交$A B$于点$D$, 当$B' D ⊥ A B$时,$\overset{\frown}{BB'}$的长是（
A.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}π$
B.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}π$
C.$\dfrac{8\sqrt{3}}{9}π$
D.$\dfrac{10\sqrt{3}}{9}π$
B
）A.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}π$
B.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}π$
C.$\dfrac{8\sqrt{3}}{9}π$
D.$\dfrac{10\sqrt{3}}{9}π$
答案
3.B
解析
【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：首先利用旋转的基本性质，得到旋转角∠B'AB=2α，且对应边AB'=AB；接着结合B'D⊥AB的条件，由等腰三角形三线合一得到D是AB中点，在Rt△ADB'中写出AD与AB的三角函数关系；再结合原△ABC中CA=CB、CD⊥AB的条件，在Rt△ACD中写出AD与AC的三角函数关系，联立两个等式推导求出2α的具体度数；最后算出AB的长度，代入弧长公式计算出弧BB'的长度，匹配对应选项即可。
【解析】
解：
1. 由旋转的性质可得：$AB' = AB$，旋转角$∠ B'AB = 2α$。
2. 因为$B'D ⊥ AB$，即$∠ ADB'=90°$，在$Rt△ ADB'$中，$AD = AB' · \cos∠ B'AD = AB · \cos2α$；同时由等腰三角形三线合一，D是AB的中点，因此$AB = 2AD$。
3. 已知$CA=CB=4$，$CD ⊥ AB$，在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD=α$，因此$AD = AC · \cosα = 4\cosα$，可得$AB=2AD=8\cosα$。
4. 将$AB=8\cosα$代入$AD = AB · \cos2α$，得：
$AD = 8\cosα · \cos2α$，结合$AD=4\cosα$，且$\cosα ≠ 0$，两边约去$4\cosα$得：
$1 = 2\cos2α$，即$\cos2α=\frac{1}{2}$，因此$2α=60°$。
5. 代入$α=30°$，得$AD=4\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，因此$AB=2AD=4\sqrt{3}$。
6. 代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=60°$，半径$R=AB=4\sqrt{3}$，计算得：
$l_{\overset{\frown}{BB'}}=\frac{60×π×4\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}}{3}π$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，三角函数，弧长计算
【点评】
本题是几何综合题，融合了图形旋转、直角三角形三角函数、等腰三角形性质和弧长计算多个考点，解题核心是通过两个直角三角形的边长关系建立三角函数等式，求出旋转角的具体度数，对学生的几何性质综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
我们可以按以下思路逐步推导：首先利用旋转的基本性质，得到旋转角∠B'AB=2α，且对应边AB'=AB；接着结合B'D⊥AB的条件，由等腰三角形三线合一得到D是AB中点，在Rt△ADB'中写出AD与AB的三角函数关系；再结合原△ABC中CA=CB、CD⊥AB的条件，在Rt△ACD中写出AD与AC的三角函数关系，联立两个等式推导求出2α的具体度数；最后算出AB的长度，代入弧长公式计算出弧BB'的长度，匹配对应选项即可。
【解析】
解：
1. 由旋转的性质可得：$AB' = AB$，旋转角$∠ B'AB = 2α$。
2. 因为$B'D ⊥ AB$，即$∠ ADB'=90°$，在$Rt△ ADB'$中，$AD = AB' · \cos∠ B'AD = AB · \cos2α$；同时由等腰三角形三线合一，D是AB的中点，因此$AB = 2AD$。
3. 已知$CA=CB=4$，$CD ⊥ AB$，在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD=α$，因此$AD = AC · \cosα = 4\cosα$，可得$AB=2AD=8\cosα$。
4. 将$AB=8\cosα$代入$AD = AB · \cos2α$，得：
$AD = 8\cosα · \cos2α$，结合$AD=4\cosα$，且$\cosα ≠ 0$，两边约去$4\cosα$得：
$1 = 2\cos2α$，即$\cos2α=\frac{1}{2}$，因此$2α=60°$。
5. 代入$α=30°$，得$AD=4\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，因此$AB=2AD=4\sqrt{3}$。
6. 代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=60°$，半径$R=AB=4\sqrt{3}$，计算得：
$l_{\overset{\frown}{BB'}}=\frac{60×π×4\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}}{3}π$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，三角函数，弧长计算
【点评】
本题是几何综合题，融合了图形旋转、直角三角形三角函数、等腰三角形性质和弧长计算多个考点，解题核心是通过两个直角三角形的边长关系建立三角函数等式，求出旋转角的具体度数，对学生的几何性质综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
4. 如图,在平面直角坐标系中,已知 $C(3,4)$, 以点 $C$ 为圆心的圆与 $y$ 轴相切. 点 $A,B$ 在 $x$ 轴上,且 $OA=OB$. 点 $P$ 为$\odot C$上的动点,$∠ APB=90°$,则 $AB$ 长度的最大值为（
A.14
B.15
C.16
D.8
C
）A.14
B.15
C.16
D.8
答案
4.C
解析
【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：
1. 首先根据已知条件C(3,4)，且圆C与y轴相切，直接得到圆C的半径：圆心到y轴的距离就是横坐标的绝对值3，因此圆C半径为3。
2. 由OA=OB、∠APB=90°，结合直角三角形斜边中线的性质，可知O是AB的中点，且OP=OA=OB，因此AB=2OP，求AB的最大值等价于求OP的最大值。
3. 点P是圆C上的动点，根据点到圆上动点的距离最值规律：原点O到圆C上点的最大距离，等于线段OC的长度加上圆C的半径，算出OP最大值后即可得到AB的最大值。
【解析】
解：
1. 由C(3,4)，⊙C与y轴相切，可得圆心C到y轴的距离为3，因此⊙C的半径r=3。
2. 因为OA=OB，∠APB=90°，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得O是AB的中点，且OP=OA=OB，因此AB=2OP。
3. 计算原点O到点C的距离：$OC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
4. 点P为⊙C上的动点，因此O到P的最大距离为$OC + r = 5+3=8$，即OP的最大值为8。
5. 代入AB=2OP，可得AB的最大值为$2×8=16$。
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边中线性质，点与圆的位置关系，圆的切线性质
【点评】本题核心是利用转化思想，将求AB的最值转化为求OP的最值，简化了复杂的坐标运算，需要学生熟练掌握圆上动点到定点距离的最值规律，属于几何最值的经典综合题型。
【难度系数】0.6
我们可以按以下思路逐步推导：
1. 首先根据已知条件C(3,4)，且圆C与y轴相切，直接得到圆C的半径：圆心到y轴的距离就是横坐标的绝对值3，因此圆C半径为3。
2. 由OA=OB、∠APB=90°，结合直角三角形斜边中线的性质，可知O是AB的中点，且OP=OA=OB，因此AB=2OP，求AB的最大值等价于求OP的最大值。
3. 点P是圆C上的动点，根据点到圆上动点的距离最值规律：原点O到圆C上点的最大距离，等于线段OC的长度加上圆C的半径，算出OP最大值后即可得到AB的最大值。
【解析】
解：
1. 由C(3,4)，⊙C与y轴相切，可得圆心C到y轴的距离为3，因此⊙C的半径r=3。
2. 因为OA=OB，∠APB=90°，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得O是AB的中点，且OP=OA=OB，因此AB=2OP。
3. 计算原点O到点C的距离：$OC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
4. 点P为⊙C上的动点，因此O到P的最大距离为$OC + r = 5+3=8$，即OP的最大值为8。
5. 代入AB=2OP，可得AB的最大值为$2×8=16$。
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边中线性质，点与圆的位置关系，圆的切线性质
【点评】本题核心是利用转化思想，将求AB的最值转化为求OP的最值，简化了复杂的坐标运算，需要学生熟练掌握圆上动点到定点距离的最值规律，属于几何最值的经典综合题型。
【难度系数】0.6
二、填空题（每小题6分，共30分）
5. 若圆锥的底面半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为
5. 若圆锥的底面半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为
$\sqrt{15}$
cm.答案
5.$\sqrt{15}$
解析
【分析】
我们可以按照圆锥元素的对应关系逐步推导：第一步，先利用已知的底面半径，算出圆锥的底面周长，而圆锥侧面展开扇形的弧长和这个底面周长是完全相等的；第二步，题目给出侧面展开图的圆心角是直角也就是90°，代入扇形弧长公式，就可以反推出圆锥的母线长（也就是侧面展开扇形的半径）；第三步，圆锥的底面半径、高、母线长三者构成直角三角形，满足勾股定理，代入数值就能计算出圆锥的高。
【解析】
解：设圆锥的母线长为$ l $，已知圆锥底面半径$ r=1\ \mathrm{cm} $，
1. 计算圆锥底面周长：
$ C = 2π r = 2π × 1 = 2π\ \mathrm{cm} $
2. 利用弧长与底面周长的等量关系求母线长：
侧面展开图的圆心角$ n=90° $，扇形弧长公式为$ L=\frac{nπ l}{180} $，且弧长$ L=C $，代入得：
$\frac{90π l}{180} = 2π$
化简得$ \frac{π l}{2}=2π $，两边约去$ π $，解得$ l=4\ \mathrm{cm} $
3. 由勾股定理计算圆锥的高$ h $：
圆锥的高垂直于底面，和底面半径、母线构成直角三角形，因此：
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{16-1} = \sqrt{15}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
圆锥侧面展开图，弧长公式，勾股定理
【点评】
本题属于圆锥相关的基础计算题型，核心考点是圆锥底面周长与侧面展开扇形弧长的等价关系，只要牢记圆锥各元素的对应联系，结合勾股定理即可顺利求解，是中考填空部分的常考基础题，需要注意不要混淆母线和底面半径的概念。
【难度系数】
0.7
我们可以按照圆锥元素的对应关系逐步推导：第一步，先利用已知的底面半径，算出圆锥的底面周长，而圆锥侧面展开扇形的弧长和这个底面周长是完全相等的；第二步，题目给出侧面展开图的圆心角是直角也就是90°，代入扇形弧长公式，就可以反推出圆锥的母线长（也就是侧面展开扇形的半径）；第三步，圆锥的底面半径、高、母线长三者构成直角三角形，满足勾股定理，代入数值就能计算出圆锥的高。
【解析】
解：设圆锥的母线长为$ l $，已知圆锥底面半径$ r=1\ \mathrm{cm} $，
1. 计算圆锥底面周长：
$ C = 2π r = 2π × 1 = 2π\ \mathrm{cm} $
2. 利用弧长与底面周长的等量关系求母线长：
侧面展开图的圆心角$ n=90° $，扇形弧长公式为$ L=\frac{nπ l}{180} $，且弧长$ L=C $，代入得：
$\frac{90π l}{180} = 2π$
化简得$ \frac{π l}{2}=2π $，两边约去$ π $，解得$ l=4\ \mathrm{cm} $
3. 由勾股定理计算圆锥的高$ h $：
圆锥的高垂直于底面，和底面半径、母线构成直角三角形，因此：
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{16-1} = \sqrt{15}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
圆锥侧面展开图，弧长公式，勾股定理
【点评】
本题属于圆锥相关的基础计算题型，核心考点是圆锥底面周长与侧面展开扇形弧长的等价关系，只要牢记圆锥各元素的对应联系，结合勾股定理即可顺利求解，是中考填空部分的常考基础题，需要注意不要混淆母线和底面半径的概念。
【难度系数】
0.7
6.(2025·赣榆区月考)如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,P为切点,若两圆的半径分别为5 cm,13 cm,则弦AB的长为
24
cm.答案
6.24
解析
【分析】
拿到这道题我们可以按如下思路推导：首先明确已知条件是同心圆，AB是大圆的弦同时是小圆的切线，已知两圆半径分别为5cm、13cm，求弦AB的长度。第一步先回忆切线的核心性质：圆的切线垂直于过切点的半径，所以我们先连接圆心O和切点P，再连接O和点A，就能得到OP垂直于AB，其中OP就是小圆半径，长度为5cm，OA是大圆半径，长度为13cm。接下来根据垂径定理，过圆心且垂直于弦的直线会平分这条弦，说明P是AB的中点，也就是AB=2AP。最后在直角三角形OPA中用勾股定理算出AP的长度，再乘2就能得到AB的总长。
【解析】
解：连接OA、OP
∵ AB是小圆的切线，P为切点，
∴ 根据切线的性质可得：OP⊥AB，且OP为小圆半径，即OP=5cm。
∵ AB是大圆的弦，OP过圆心O且OP⊥AB，
∴ 根据垂径定理可得：AP=BP=1/2 AB。
在Rt△OPA中，OA为大圆半径，OA=13cm，由勾股定理得：
AP = √(OA² - OP²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 cm
∴ AB = 2AP = 2×12 = 24 cm
【答案】
24
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆模块的经典基础题型，属于同心圆背景下的弦长计算问题，核心考点是将切线的垂直性质和垂径定理结合，构造直角三角形用勾股定理求解弦长。解题的关键是主动连接圆心与切点得到垂直关系，部分同学容易忽略垂径定理的倍长关系，误将AP的长度直接作为AB的结果，解题时要注意最后将半弦长乘2得到完整弦长。
【难度系数】
0.8
拿到这道题我们可以按如下思路推导：首先明确已知条件是同心圆，AB是大圆的弦同时是小圆的切线，已知两圆半径分别为5cm、13cm，求弦AB的长度。第一步先回忆切线的核心性质：圆的切线垂直于过切点的半径，所以我们先连接圆心O和切点P，再连接O和点A，就能得到OP垂直于AB，其中OP就是小圆半径，长度为5cm，OA是大圆半径，长度为13cm。接下来根据垂径定理，过圆心且垂直于弦的直线会平分这条弦，说明P是AB的中点，也就是AB=2AP。最后在直角三角形OPA中用勾股定理算出AP的长度，再乘2就能得到AB的总长。
【解析】
解：连接OA、OP
∵ AB是小圆的切线，P为切点，
∴ 根据切线的性质可得：OP⊥AB，且OP为小圆半径，即OP=5cm。
∵ AB是大圆的弦，OP过圆心O且OP⊥AB，
∴ 根据垂径定理可得：AP=BP=1/2 AB。
在Rt△OPA中，OA为大圆半径，OA=13cm，由勾股定理得：
AP = √(OA² - OP²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 cm
∴ AB = 2AP = 2×12 = 24 cm
【答案】
24
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆模块的经典基础题型，属于同心圆背景下的弦长计算问题，核心考点是将切线的垂直性质和垂径定理结合，构造直角三角形用勾股定理求解弦长。解题的关键是主动连接圆心与切点得到垂直关系，部分同学容易忽略垂径定理的倍长关系，误将AP的长度直接作为AB的结果，解题时要注意最后将半弦长乘2得到完整弦长。
【难度系数】
0.8
7. 已知 $AB,CD$ 分别是 $\odot O$ 的内接正十边形和正五边形的边，$AD,BC$ 交于点 $P$，则 $∠ APC$ 的度数为
$126°$
。答案
7.$126°$
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 首先利用圆内接正多边形的性质：圆内接正n边形的每条边对应的劣弧的度数为360°/n，据此分别计算出正十边形的边AB对应的劣弧AB的度数，以及正五边形的边CD对应的劣弧CD的度数。
2. 回忆圆内角定理：圆内两条相交弦所形成的角，度数等于它和它的对顶角所对的两段弧的度数之和的一半。AD与BC交于点P，其中∠APB对应的两段弧恰好是劣弧AB和劣弧CD，代入数值即可算出∠APB的度数。
3. 由于∠APC与∠APB是邻补角，二者之和为180°，用180°减去∠APB的度数即可得到∠APC的度数。
【解析】
解：
① 计算对应劣弧的度数：
∵ AB是⊙O的内接正十边形的边，
∴ 劣弧AB的度数 = $\frac{360°}{10}=36°$，
∵ CD是⊙O的内接正五边形的边，
∴ 劣弧CD的度数 = $\frac{360°}{5}=72°$。
② 根据圆内角定理，弦AD、BC交于点P，∠APB是两弦相交形成的圆内角，其度数等于所对的两段弧AB、弧CD的度数之和的一半：
$∠ APB = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{CD}) = \frac{1}{2}(36° +72°)=54°$。
③ 由邻补角的性质，∠APC + ∠APB = 180°，因此：
$∠ APC = 180° - ∠ APB = 180° -54°=126°$。
【答案】
$126°$
【知识点】
圆内接正多边形性质，圆内角定理，邻补角性质
【点评】
本题核心是利用圆内角定理快速求解相交弦形成的角度，避免了复杂的圆心角、圆周角推导，解题的关键是准确识别相交弦对应的两段弧的度数，区分不同圆内角对应的弧段，避免混淆角度对应的弧导致计算错误。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：
1. 首先利用圆内接正多边形的性质：圆内接正n边形的每条边对应的劣弧的度数为360°/n，据此分别计算出正十边形的边AB对应的劣弧AB的度数，以及正五边形的边CD对应的劣弧CD的度数。
2. 回忆圆内角定理：圆内两条相交弦所形成的角，度数等于它和它的对顶角所对的两段弧的度数之和的一半。AD与BC交于点P，其中∠APB对应的两段弧恰好是劣弧AB和劣弧CD，代入数值即可算出∠APB的度数。
3. 由于∠APC与∠APB是邻补角，二者之和为180°，用180°减去∠APB的度数即可得到∠APC的度数。
【解析】
解：
① 计算对应劣弧的度数：
∵ AB是⊙O的内接正十边形的边，
∴ 劣弧AB的度数 = $\frac{360°}{10}=36°$，
∵ CD是⊙O的内接正五边形的边，
∴ 劣弧CD的度数 = $\frac{360°}{5}=72°$。
② 根据圆内角定理，弦AD、BC交于点P，∠APB是两弦相交形成的圆内角，其度数等于所对的两段弧AB、弧CD的度数之和的一半：
$∠ APB = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{CD}) = \frac{1}{2}(36° +72°)=54°$。
③ 由邻补角的性质，∠APC + ∠APB = 180°，因此：
$∠ APC = 180° - ∠ APB = 180° -54°=126°$。
【答案】
$126°$
【知识点】
圆内接正多边形性质，圆内角定理，邻补角性质
【点评】
本题核心是利用圆内角定理快速求解相交弦形成的角度，避免了复杂的圆心角、圆周角推导，解题的关键是准确识别相交弦对应的两段弧的度数，区分不同圆内角对应的弧段，避免混淆角度对应的弧导致计算错误。
【难度系数】
0.6
8. 如图,点 $O$ 是 $△ ABC$ 外接圆的圆心,点 $I$ 是 $△ ABC$ 的内心,连接 $OB,IA$. 若 $∠ CAI=35°$,则$∠ OBC$ 的度数为
$20°$
.答案
8.$20°$
解析
【分析】
我们可以按三步逻辑推导：第一步，先利用三角形内心的性质，内心是内角角平分线的交点，已知∠CAI=35°，就能直接得到∠BAC的总度数；第二步，结合点O是外接圆圆心的条件，用圆周角定理，同弧对应的圆心角是圆周角的2倍，算出∠BOC的度数；第三步，注意OB、OC都是外接圆半径，二者相等，△OBC是等腰三角形，用等腰三角形内角和性质就能求出∠OBC的结果，全程不需要额外作辅助线。
【解析】
1. 因为I是△ABC的内心，AI是∠BAC的角平分线，已知∠CAI=35°，因此：
∠BAC = 2∠CAI = 2×35° = 70°
2. O是△ABC外接圆的圆心，根据圆周角定理，弧BC对应的圆心角是圆周角的2倍，可得：
∠BOC = 2∠BAC = 2×70° = 140°
3. 由于OB、OC都是外接圆的半径，因此OB=OC，△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和为180°：
∠OBC = ∠OCB = $\frac{180° - ∠ BOC}{2}$ = $\frac{180° - 140°}{2}$ = 20°
【答案】
$20°$
【知识点】
三角形内心性质；圆周角定理；等腰三角形性质
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础综合题，核心考察内心、外心对应的角的性质，解题门槛较低，只要熟练掌握三个基础定理，理清角的倍数关系就能顺利推导，适合用来巩固圆和三角形的边角关联知识点。
【难度系数】
0.7
我们可以按三步逻辑推导：第一步，先利用三角形内心的性质，内心是内角角平分线的交点，已知∠CAI=35°，就能直接得到∠BAC的总度数；第二步，结合点O是外接圆圆心的条件，用圆周角定理，同弧对应的圆心角是圆周角的2倍，算出∠BOC的度数；第三步，注意OB、OC都是外接圆半径，二者相等，△OBC是等腰三角形，用等腰三角形内角和性质就能求出∠OBC的结果，全程不需要额外作辅助线。
【解析】
1. 因为I是△ABC的内心，AI是∠BAC的角平分线，已知∠CAI=35°，因此：
∠BAC = 2∠CAI = 2×35° = 70°
2. O是△ABC外接圆的圆心，根据圆周角定理，弧BC对应的圆心角是圆周角的2倍，可得：
∠BOC = 2∠BAC = 2×70° = 140°
3. 由于OB、OC都是外接圆的半径，因此OB=OC，△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和为180°：
∠OBC = ∠OCB = $\frac{180° - ∠ BOC}{2}$ = $\frac{180° - 140°}{2}$ = 20°
【答案】
$20°$
【知识点】
三角形内心性质；圆周角定理；等腰三角形性质
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础综合题，核心考察内心、外心对应的角的性质，解题门槛较低，只要熟练掌握三个基础定理，理清角的倍数关系就能顺利推导，适合用来巩固圆和三角形的边角关联知识点。
【难度系数】
0.7
9.(2025·淮安期末)如图,在平面直角坐标系中,$\odot P$与$x$轴交于点$M$,$N$,与$y$轴相切于点$Q$,点$P$的坐标为$(5,-3)$,则点$N$的坐标为
$(9,0)$
.答案
9.$(9,0)$
解析
【分析】
我们可以按照以下思路逐步推导：首先，已知⊙P与y轴相切，根据切线的性质，圆心到切线的距离等于半径，结合点P的坐标，就能直接求出圆的半径；接下来过点P作x轴的垂线，构造出直角三角形，同时结合垂径定理，把弦MN的相关线段拆分出来；再利用勾股定理计算出垂足到点N的线段长度，最后结合点P的横坐标得到原点O到点N的总长度，就能求出N点的坐标。
【解析】
解：1. 连接PQ、PN，过点P作PA⊥x轴，垂足为A。
2. 因为⊙P与y轴相切于点Q，由切线性质可知PQ⊥y轴，已知P(5,-3)，因此圆心P到y轴的距离PQ=5，即⊙P的半径PN=PQ=5。
3. 由PA⊥x轴可得，点P到x轴的距离PA=|-3|=3，同时OA的长度等于点P的横坐标，即OA=5。
4. 在Rt△PAN中，根据勾股定理计算AN的长度：
$AN=\sqrt{PN^2-PA^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
5. 因此ON=OA+AN=5+4=9，又因为点N在x轴上，纵坐标为0，可得点N的坐标为(9,0)。
【答案】
$(9,0)$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与圆结合的基础题型，核心考点是切线性质和垂径定理的应用，通过作垂线构造直角三角形，将点的坐标转化为对应线段的长度即可快速求解，属于圆章节的常规常考题。
【难度系数】
0.7
我们可以按照以下思路逐步推导：首先，已知⊙P与y轴相切，根据切线的性质，圆心到切线的距离等于半径，结合点P的坐标，就能直接求出圆的半径；接下来过点P作x轴的垂线，构造出直角三角形，同时结合垂径定理，把弦MN的相关线段拆分出来；再利用勾股定理计算出垂足到点N的线段长度，最后结合点P的横坐标得到原点O到点N的总长度，就能求出N点的坐标。
【解析】
解：1. 连接PQ、PN，过点P作PA⊥x轴，垂足为A。
2. 因为⊙P与y轴相切于点Q，由切线性质可知PQ⊥y轴，已知P(5,-3)，因此圆心P到y轴的距离PQ=5，即⊙P的半径PN=PQ=5。
3. 由PA⊥x轴可得，点P到x轴的距离PA=|-3|=3，同时OA的长度等于点P的横坐标，即OA=5。
4. 在Rt△PAN中，根据勾股定理计算AN的长度：
$AN=\sqrt{PN^2-PA^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
5. 因此ON=OA+AN=5+4=9，又因为点N在x轴上，纵坐标为0，可得点N的坐标为(9,0)。
【答案】
$(9,0)$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与圆结合的基础题型，核心考点是切线性质和垂径定理的应用，通过作垂线构造直角三角形，将点的坐标转化为对应线段的长度即可快速求解，属于圆章节的常规常考题。
【难度系数】
0.7
