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三、解答题(共46分)
10. (15分) 如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上的两点,且$OD// BC$,OD与AC相交于点E.
(1)若$∠ B=70°$,求$∠ CAD$的度数;
(2)若$AB=5,AC=4$,求DE的长.
10. (15分) 如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上的两点,且$OD// BC$,OD与AC相交于点E.
(1)若$∠ B=70°$,求$∠ CAD$的度数;
(2)若$AB=5,AC=4$,求DE的长.
答案
10. 解:(1)$\because AB$是半圆$O$的直径,$\therefore ∠ ACB=90°$.
$\because OD// BC$,
$\therefore ∠ AOD=∠ B=70°,∠ AEO=∠ ACB=90°$,
$\therefore OD⊥ AC,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ AOD=35°$.
(2)$\because OD⊥ AC,\therefore AE=CE=\frac{1}{2}AC=2$.
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中,
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-2^2}=\frac{3}{2}$,
$\therefore DE=OD-OE=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$.
$\because OD// BC$,
$\therefore ∠ AOD=∠ B=70°,∠ AEO=∠ ACB=90°$,
$\therefore OD⊥ AC,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ AOD=35°$.
(2)$\because OD⊥ AC,\therefore AE=CE=\frac{1}{2}AC=2$.
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中,
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-2^2}=\frac{3}{2}$,
$\therefore DE=OD-OE=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$.
解析
【分析】
这道题分为两小问，我们可以按以下思路逐步推导：
第(1)问：首先看到AB是半圆直径，立刻联想到直径所对的圆周角是直角，得到∠ACB=90°；已知OD平行BC，利用平行线的同位角相等，先得到∠AOD等于∠B=70°，同时推出∠AEO=∠ACB=90°，也就是OD垂直AC；根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧，得到弧AD等于弧CD，再结合圆周角定理，圆周角的度数等于对应圆心角度数的一半，就能算出∠CAD的度数。
第(2)问：由前面推导得到的OD⊥AC，根据垂径定理直接得到AE是AC的一半，算出AE=2；已知AB=5，所以半径OA=OD=5/2，在Rt△AOE中用勾股定理算出OE的长度，最后用OD减去OE就可以得到DE的长。
【解析】
(1) 因为AB是半圆O的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得：
$∠ ACB=90°$
又因为$OD// BC$，由平行线的性质可得：
$∠ AOD=∠ B=70°$，$∠ AEO=∠ ACB=90°$，即$OD⊥ AC$
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$
再由圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此：
$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×70°=35°$
(2) 由$OD⊥ AC$，根据垂径定理可得：
$AE=CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$
已知AB=5，因此半圆的半径$OA=OD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-2^2}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$
因此$DE=OD-OE=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{35°}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
直径的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题型，将平行线性质、圆的基础性质与勾股定理结合考察，解题的核心突破口是利用直径的性质和平行线关系推出OD垂直AC，后续即可顺理成章应用垂径定理和勾股定理完成计算，适合巩固圆相关的基础知识点，整体逻辑连贯没有复杂变形。
【难度系数】
0.7
这道题分为两小问，我们可以按以下思路逐步推导：
第(1)问：首先看到AB是半圆直径，立刻联想到直径所对的圆周角是直角，得到∠ACB=90°；已知OD平行BC，利用平行线的同位角相等，先得到∠AOD等于∠B=70°，同时推出∠AEO=∠ACB=90°，也就是OD垂直AC；根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧，得到弧AD等于弧CD，再结合圆周角定理，圆周角的度数等于对应圆心角度数的一半，就能算出∠CAD的度数。
第(2)问：由前面推导得到的OD⊥AC，根据垂径定理直接得到AE是AC的一半，算出AE=2；已知AB=5，所以半径OA=OD=5/2，在Rt△AOE中用勾股定理算出OE的长度，最后用OD减去OE就可以得到DE的长。
【解析】
(1) 因为AB是半圆O的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得：
$∠ ACB=90°$
又因为$OD// BC$，由平行线的性质可得：
$∠ AOD=∠ B=70°$，$∠ AEO=∠ ACB=90°$，即$OD⊥ AC$
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$
再由圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此：
$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×70°=35°$
(2) 由$OD⊥ AC$，根据垂径定理可得：
$AE=CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$
已知AB=5，因此半圆的半径$OA=OD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-2^2}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$
因此$DE=OD-OE=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{35°}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
直径的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题型，将平行线性质、圆的基础性质与勾股定理结合考察，解题的核心突破口是利用直径的性质和平行线关系推出OD垂直AC，后续即可顺理成章应用垂径定理和勾股定理完成计算，适合巩固圆相关的基础知识点，整体逻辑连贯没有复杂变形。
【难度系数】
0.7
11. (15 分)(2025·海州区期中)如图,在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧 $\overset{\frown}{AC}$.
(1)$\overset{\frown}{AC}$ 所在圆的圆心 M 的坐标为
(2)求扇形 MAC 的面积.(结果保留 $π$)
(1)$\overset{\frown}{AC}$ 所在圆的圆心 M 的坐标为
$(2,1)$
;(2)求扇形 MAC 的面积.(结果保留 $π$)
答案
11. (1)$(2,1)$
(2) 解: 连接$AM,CM,AC$,$AM=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,
$MC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,$AC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$.
$\because AM^2+MC^2=AC^2$,$\therefore ∠ AMC=90°$,
$\therefore$扇形$MAC$的圆心角是$90°$,
则扇形$MAC$的面积是$\frac{90π×(\sqrt{10})^2}{360}=\frac{5}{2}π$.
(2) 解: 连接$AM,CM,AC$,$AM=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,
$MC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,$AC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$.
$\because AM^2+MC^2=AC^2$,$\therefore ∠ AMC=90°$,
$\therefore$扇形$MAC$的圆心角是$90°$,
则扇形$MAC$的面积是$\frac{90π×(\sqrt{10})^2}{360}=\frac{5}{2}π$.
解析
【分析】
首先思考第一问找圆弧所在圆的圆心，根据垂径定理，圆的任意两条弦的垂直平分线的交点就是圆心。先从图中读出A、B、C三点的坐标分别为A(1,4)、B(3,4)、C(5,2)：首先弦AB是水平线段，它的垂直平分线是过AB中点(2,4)的竖直线x=2；再求弦BC的垂直平分线，联立两条垂直平分线的方程就能得到交点也就是圆心M的坐标。第二问求扇形MAC的面积，需要先得到扇形的半径和圆心角：先通过勾股定理计算出半径AM、CM的长度，再计算AC的长度，利用勾股逆定理判断出∠AMC的度数，最后代入扇形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) 由图可得点A坐标为(1,4)，点B坐标为(3,4)，点C坐标为(5,2)。
根据垂径定理，圆弧的圆心是弦的垂直平分线的交点：
① 弦AB的纵坐标均为4，AB中点坐标为(2,4)，AB为水平线段，因此AB的垂直平分线为直线x=2；
② 弦BC的中点坐标为$(\frac{3+5}{2},\frac{4+2}{2})$即(4,3)，BC的斜率为$\frac{2-4}{5-3}=-1$，因此BC的垂直平分线斜率为1，其方程为$y-3 = x-4$，整理得$y=x-1$。
将x=2代入y=x-1，得y=1，因此圆心M的坐标为(2,1)。
(2) 连接AM、CM、AC：
由勾股定理计算各边长度：
$AM=\sqrt{(2-1)^2+(1-4)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，
$MC=\sqrt{(5-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$，
$AC=\sqrt{(5-1)^2+(2-4)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$。
验证得：$AM^2 + MC^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = 20$，$AC^2=(\sqrt{20})^2=20$，因此$AM^2+MC^2=AC^2$，由勾股逆定理可得$∠ AMC=90°$。
代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中圆心角n=90，半径r=$\sqrt{10}$：
$S_{扇形MAC}=\frac{90π × (\sqrt{10})^2}{360}=\frac{90π × 10}{360}=\frac{5}{2}π$。
【答案】
(1)$(2,1)$；(2)$\frac{5}{2}π$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题核心考察垂径定理的实际应用，找圆心的方法是本题的基础考点，不少同学容易忽略利用弦的垂直平分线交点确定圆心的思路；第二问通过勾股逆定理直接判定圆心角为直角，避免了复杂的角度计算，简化了运算过程，解题时要注意扇形面积公式的参数对应，不要出现计算错误。
【难度系数】
0.6
首先思考第一问找圆弧所在圆的圆心，根据垂径定理，圆的任意两条弦的垂直平分线的交点就是圆心。先从图中读出A、B、C三点的坐标分别为A(1,4)、B(3,4)、C(5,2)：首先弦AB是水平线段，它的垂直平分线是过AB中点(2,4)的竖直线x=2；再求弦BC的垂直平分线，联立两条垂直平分线的方程就能得到交点也就是圆心M的坐标。第二问求扇形MAC的面积，需要先得到扇形的半径和圆心角：先通过勾股定理计算出半径AM、CM的长度，再计算AC的长度，利用勾股逆定理判断出∠AMC的度数，最后代入扇形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) 由图可得点A坐标为(1,4)，点B坐标为(3,4)，点C坐标为(5,2)。
根据垂径定理，圆弧的圆心是弦的垂直平分线的交点：
① 弦AB的纵坐标均为4，AB中点坐标为(2,4)，AB为水平线段，因此AB的垂直平分线为直线x=2；
② 弦BC的中点坐标为$(\frac{3+5}{2},\frac{4+2}{2})$即(4,3)，BC的斜率为$\frac{2-4}{5-3}=-1$，因此BC的垂直平分线斜率为1，其方程为$y-3 = x-4$，整理得$y=x-1$。
将x=2代入y=x-1，得y=1，因此圆心M的坐标为(2,1)。
(2) 连接AM、CM、AC：
由勾股定理计算各边长度：
$AM=\sqrt{(2-1)^2+(1-4)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，
$MC=\sqrt{(5-2)^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$，
$AC=\sqrt{(5-1)^2+(2-4)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$。
验证得：$AM^2 + MC^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = 20$，$AC^2=(\sqrt{20})^2=20$，因此$AM^2+MC^2=AC^2$，由勾股逆定理可得$∠ AMC=90°$。
代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中圆心角n=90，半径r=$\sqrt{10}$：
$S_{扇形MAC}=\frac{90π × (\sqrt{10})^2}{360}=\frac{90π × 10}{360}=\frac{5}{2}π$。
【答案】
(1)$(2,1)$；(2)$\frac{5}{2}π$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题核心考察垂径定理的实际应用，找圆心的方法是本题的基础考点，不少同学容易忽略利用弦的垂直平分线交点确定圆心的思路；第二问通过勾股逆定理直接判定圆心角为直角，避免了复杂的角度计算，简化了运算过程，解题时要注意扇形面积公式的参数对应，不要出现计算错误。
【难度系数】
0.6
12. (16 分)(2025·淮安期中)如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$,$D$在$\odot O$上,且$∠ CAD=∠ BAD$,过点$D$作$AC$的垂线,交$AC$的延长线于点$E$,交$AB$的延长线于点$F$,$G$为$AB$下方的半圆弧的中点,$DG$交$AB$于点$H$,连接$DB$,$GB$.
(1)试判断$EF$和$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2)已知$AO=10$,$BH=8$,求$GH$的长.
第12题图
(1)试判断$EF$和$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2)已知$AO=10$,$BH=8$,求$GH$的长.
第12题图
答案
12. 解:(1)$EF$与$\odot O$相切,
理由:如答图,连接$OD$,则$OD=OA$,
$\therefore ∠ ODA=∠ BAD$.
$\because ∠ CAD=∠ BAD$,$\therefore ∠ ODA=∠ CAD$,$\therefore OD// AC$.
$\because DE⊥ AC$,$\therefore ∠ ODF=∠ E=90°$.
$\because OD$是$\odot O$的半径,且$EF⊥ OD$于点$D$,
$\therefore EF$与$\odot O$相切.
(2) 如答图,连接$GO$.$\because AO=10$,$BH=8$,
$\therefore GO=BO=AO=10$,$\therefore OH=BO-BH=10-8=2$.
$\because G$为$AB$下方的半圆弧的中点,$\therefore \overset{\frown}{BG}=\overset{\frown}{AG}$,
$\therefore ∠ BOG=∠ AOG=\frac{1}{2}×180°=90°$,
$\therefore GH=\sqrt{GO^2+OH^2}=\sqrt{10^2+2^2}=2\sqrt{26}$,
$\therefore GH$的长是$2\sqrt{26}$.
理由:如答图,连接$OD$,则$OD=OA$,
$\therefore ∠ ODA=∠ BAD$.
$\because ∠ CAD=∠ BAD$,$\therefore ∠ ODA=∠ CAD$,$\therefore OD// AC$.
$\because DE⊥ AC$,$\therefore ∠ ODF=∠ E=90°$.
$\because OD$是$\odot O$的半径,且$EF⊥ OD$于点$D$,
$\therefore EF$与$\odot O$相切.
(2) 如答图,连接$GO$.$\because AO=10$,$BH=8$,
$\therefore GO=BO=AO=10$,$\therefore OH=BO-BH=10-8=2$.
$\because G$为$AB$下方的半圆弧的中点,$\therefore \overset{\frown}{BG}=\overset{\frown}{AG}$,
$\therefore ∠ BOG=∠ AOG=\frac{1}{2}×180°=90°$,
$\therefore GH=\sqrt{GO^2+OH^2}=\sqrt{10^2+2^2}=2\sqrt{26}$,
$\therefore GH$的长是$2\sqrt{26}$.
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问判断直线和圆的位置关系，已知点D在圆上，优先采用“连半径，证垂直”的切线判定思路：首先连接OD，利用等边对等角得到∠ODA=∠BAD，结合题目给出的∠CAD=∠BAD，等量代换得到∠ODA=∠CAD，推出OD平行于AC，再由DE⊥AC，得到OD⊥EF，即可证明EF是圆的切线。第二问求GH的长度，先连接OG，由G是AB下半圆弧的中点，可得两段等弧对应的圆心角∠GOA=∠GOB=90°，先根据已知的半径AO=10算出OB=10，进而得到OH=OB-BH=2，在Rt△GOH中直接用勾股定理就能算出GH的长度。
【解析】
(1) EF与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠BAD，
又
∵ ∠CAD=∠BAD，
∴ ∠ODA=∠CAD，
∴ OD//AC，
∵ DE⊥AC，即∠E=90°，
∴ ∠ODF=∠E=90°，即OD⊥EF，
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ EF与⊙O相切。
(2) 连接OG，
∵ AO=10，⊙O半径相等，
∴ OG=OB=AO=10，
已知BH=8，
∴ OH=OB - BH = 10 - 8 = 2，
∵ G为AB下方半圆弧的中点，
∴ $\overset{\frown}{AG}=\overset{\frown}{BG}$，
∴ ∠AOG=∠BOG = $\frac{1}{2}×180°=90°$，即△GOH是直角三角形，
由勾股定理得：$GH=\sqrt{OG^2+OH^2}=\sqrt{10^2+2^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$。
【答案】
(1) EF与⊙O相切，理由见解析；(2) GH的长为$2\sqrt{26}$
【知识点】
切线的判定，弧与圆心角关系，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题型，第一问考察切线判定的常规辅助线构造方法，结合角平分线、平行线性质完成推导，属于切线判定的经典考法；第二问利用弧中点的性质得到直角，直接结合勾股定理计算线段长度，整体侧重圆基础性质的应用，难度适中，适合巩固圆相关核心知识点。
【难度系数】
0.7
这道题分为两小问，第一问判断直线和圆的位置关系，已知点D在圆上，优先采用“连半径，证垂直”的切线判定思路：首先连接OD，利用等边对等角得到∠ODA=∠BAD，结合题目给出的∠CAD=∠BAD，等量代换得到∠ODA=∠CAD，推出OD平行于AC，再由DE⊥AC，得到OD⊥EF，即可证明EF是圆的切线。第二问求GH的长度，先连接OG，由G是AB下半圆弧的中点，可得两段等弧对应的圆心角∠GOA=∠GOB=90°，先根据已知的半径AO=10算出OB=10，进而得到OH=OB-BH=2，在Rt△GOH中直接用勾股定理就能算出GH的长度。
【解析】
(1) EF与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠BAD，
又
∵ ∠CAD=∠BAD，
∴ ∠ODA=∠CAD，
∴ OD//AC，
∵ DE⊥AC，即∠E=90°，
∴ ∠ODF=∠E=90°，即OD⊥EF，
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ EF与⊙O相切。
(2) 连接OG，
∵ AO=10，⊙O半径相等，
∴ OG=OB=AO=10，
已知BH=8，
∴ OH=OB - BH = 10 - 8 = 2，
∵ G为AB下方半圆弧的中点，
∴ $\overset{\frown}{AG}=\overset{\frown}{BG}$，
∴ ∠AOG=∠BOG = $\frac{1}{2}×180°=90°$，即△GOH是直角三角形，
由勾股定理得：$GH=\sqrt{OG^2+OH^2}=\sqrt{10^2+2^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$。
【答案】
(1) EF与⊙O相切，理由见解析；(2) GH的长为$2\sqrt{26}$
【知识点】
切线的判定，弧与圆心角关系，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题型，第一问考察切线判定的常规辅助线构造方法，结合角平分线、平行线性质完成推导，属于切线判定的经典考法；第二问利用弧中点的性质得到直角，直接结合勾股定理计算线段长度，整体侧重圆基础性质的应用，难度适中，适合巩固圆相关核心知识点。
【难度系数】
0.7
