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24. (6 分)如图,已知$△ ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(-3,0),B(-5,3),C(-1,1)$.
(1)画出$△ ABC$关于原点$O$成中心对称的图形$△ A_{1}B_{1}C_{1}$;
(2)$P(a,b)$是$△ ABC$的$AC$边上一点,将$△ ABC$平移后点$P$的对应点为点$P'(a+4,b+2)$,请画出平移后的$△ A_{2}B_{2}C_{2}$;
(3)若$△ A_{1}B_{1}C_{1}$和$△ A_{2}B_{2}C_{2}$关于某一点成中心对称,则对称中心的坐标为________.
(1)画出$△ ABC$关于原点$O$成中心对称的图形$△ A_{1}B_{1}C_{1}$;
(2)$P(a,b)$是$△ ABC$的$AC$边上一点,将$△ ABC$平移后点$P$的对应点为点$P'(a+4,b+2)$,请画出平移后的$△ A_{2}B_{2}C_{2}$;
(3)若$△ A_{1}B_{1}C_{1}$和$△ A_{2}B_{2}C_{2}$关于某一点成中心对称,则对称中心的坐标为________.
答案
24. 【点拨】本题考查作图——旋转变换,平移变换,掌握旋转和平移的性质是解题的关键.
【解析】(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)如图,△A₂B₂C₂即为所求
.(3)
∵A₁(3,0),A₂(1,2),
∴对称中心的坐标为$(\frac{3+1}{2},\frac{0+2}{2})$,即(2,1).故答案为(2,1).
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 作关于原点的中心对称图形：需牢记关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数），先求出△ABC三个顶点关于原点的对称点，再依次连接得到△A₁B₁C₁；
2. 作平移后的图形：根据点P的平移规律(a,b)→(a+4,b+2)，确定平移方向为向右4个单位、向上2个单位，将△ABC的三个顶点按此规律平移，再连接得到△A₂B₂C₂；
3. 找两个中心对称图形的对称中心：利用中心对称的性质，对称中心是对应点连线的中点，选取一组对应点（如A₁与A₂），计算其中点坐标即可得到结果。
【解析】
(1) 关于原点对称的点的坐标规律为：若原点点坐标为(x,y)，则其关于原点对称的点坐标为(-x,-y)。
已知A(-3,0)，则A₁(3,0)；B(-5,3)，则B₁(5,-3)；C(-1,1)，则C₁(1,-1)。
依次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，即为所求图形。
(2) 由点P(a,b)平移后对应点为P'(a+4,b+2)，可知平移规律为：向右平移4个单位，向上平移2个单位。
则A(-3,0)平移后A₂(-3+4,0+2)=(1,2)；B(-5,3)平移后B₂(-5+4,3+2)=(-1,5)；C(-1,1)平移后C₂(-1+4,1+2)=(3,3)。
依次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂，即为所求图形。
(3) 中心对称图形的对称中心是对应点连线的中点，取对应点A₁(3,0)和A₂(1,2)，根据中点坐标公式，对称中心坐标为((3+1)/2, (0+2)/2)=(2,1)。
【答案】
(1) 图略；(2) 图略；(3) (2,1)
【知识点】
中心对称、平移变换、坐标与图形变化
【点评】
本题考查旋转变换（中心对称）、平移变换的作图及对称中心的确定，核心是掌握变换的坐标规律，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.3
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 作关于原点的中心对称图形：需牢记关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数），先求出△ABC三个顶点关于原点的对称点，再依次连接得到△A₁B₁C₁；
2. 作平移后的图形：根据点P的平移规律(a,b)→(a+4,b+2)，确定平移方向为向右4个单位、向上2个单位，将△ABC的三个顶点按此规律平移，再连接得到△A₂B₂C₂；
3. 找两个中心对称图形的对称中心：利用中心对称的性质，对称中心是对应点连线的中点，选取一组对应点（如A₁与A₂），计算其中点坐标即可得到结果。
【解析】
(1) 关于原点对称的点的坐标规律为：若原点点坐标为(x,y)，则其关于原点对称的点坐标为(-x,-y)。
已知A(-3,0)，则A₁(3,0)；B(-5,3)，则B₁(5,-3)；C(-1,1)，则C₁(1,-1)。
依次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，即为所求图形。
(2) 由点P(a,b)平移后对应点为P'(a+4,b+2)，可知平移规律为：向右平移4个单位，向上平移2个单位。
则A(-3,0)平移后A₂(-3+4,0+2)=(1,2)；B(-5,3)平移后B₂(-5+4,3+2)=(-1,5)；C(-1,1)平移后C₂(-1+4,1+2)=(3,3)。
依次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂，即为所求图形。
(3) 中心对称图形的对称中心是对应点连线的中点，取对应点A₁(3,0)和A₂(1,2)，根据中点坐标公式，对称中心坐标为((3+1)/2, (0+2)/2)=(2,1)。
【答案】
(1) 图略；(2) 图略；(3) (2,1)
【知识点】
中心对称、平移变换、坐标与图形变化
【点评】
本题考查旋转变换（中心对称）、平移变换的作图及对称中心的确定，核心是掌握变换的坐标规律，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.3
25. (8 分)为了保护环境,某开发区综合治理指挥部决定购买 A,B 两种型号的污水处理设备共 10台.已知每台 A 型设备月处理污水量为 2 200 吨,每台 B 型设备月处理污水量为 1 800 吨,而每台A型设备的价格比每台 B 型设备的价格贵 3 万元,且用 90 万元购买 A 型设备的台数与用 75 万元购买 B 型设备的台数刚好相同.
(1)求购买每台 A 型设备和每台 B 型设备各需要多少万元;
(2)由于受资金限制,指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过 165 万元,如何购买可使每月处理污水量的吨数最多?并求出最多吨数.
(1)求购买每台 A 型设备和每台 B 型设备各需要多少万元;
(2)由于受资金限制,指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过 165 万元,如何购买可使每月处理污水量的吨数最多?并求出最多吨数.
答案
25. 【点拨】本题考查分式方程的应用,一元一次不等式的应用,一次函数的应用,找准各数量之间的关系是解题的关键.
【解析】(1)设购买每台B型设备需要x万元,则购买每台A型设备需要(x+3)万元,
依题意得$\frac{90}{x+3}=\frac{75}{x}$,解得x=15.
经检验,x=15是原方程的解,且符合题意.
∴x+3=18.
答:购买每台A型设备需要18万元,每台B型设备需要15万元.
(2)设购买m台A型设备,则购买(10-m)台B型设备,
依题意得18m+15(10-m)≤165,解得m≤5.
设购买的10台设备每月处理污水量为w吨,
则w=2200m+1800(10-m)=400m+18000,
∵400＞0,
∴w随m的增大而增大,
∴当m=5时,w取得最大值,最大值为400×5+18000=20000,此时10-m=10-5=5.
答:购买5台A型设备和5台B型设备可使每月处理污水量的吨数最多,最多为20000吨.
【解析】(1)设购买每台B型设备需要x万元,则购买每台A型设备需要(x+3)万元,
依题意得$\frac{90}{x+3}=\frac{75}{x}$,解得x=15.
经检验,x=15是原方程的解,且符合题意.
∴x+3=18.
答:购买每台A型设备需要18万元,每台B型设备需要15万元.
(2)设购买m台A型设备,则购买(10-m)台B型设备,
依题意得18m+15(10-m)≤165,解得m≤5.
设购买的10台设备每月处理污水量为w吨,
则w=2200m+1800(10-m)=400m+18000,
∵400＞0,
∴w随m的增大而增大,
∴当m=5时,w取得最大值,最大值为400×5+18000=20000,此时10-m=10-5=5.
答:购买5台A型设备和5台B型设备可使每月处理污水量的吨数最多,最多为20000吨.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用“用90万元购买A型设备的台数与用75万元购买B型设备的台数相同”这一等量关系，通过设未知数列分式方程求解设备单价；第(2)问需结合“购买资金不超过165万元”的不等关系，先确定A型设备的购买数量范围，再通过一次函数的增减性求每月处理污水量的最大值，核心是找准实际问题中的数量关系。
【解析】
(1)设购买每台B型设备需要x万元，则每台A型设备需要(x+3)万元，
根据题意，台数=总价÷单价，因此两种设备购买台数相等可列方程：
$\frac{90}{x+3}=\frac{75}{x}$，
交叉相乘得：$90x=75(x+3)$，
化简计算：$90x=75x+225$，$15x=225$，解得$x=15$，
经检验，$x=15$是原分式方程的解，且符合实际意义，
则A型设备单价为$15+3=18$万元。
答：购买每台A型设备需要18万元，每台B型设备需要15万元。
(2)设购买m台A型设备，则购买$(10-m)$台B型设备，
根据“购买资金不超过165万元”列不等式：
$18m +15(10 - m) ≤165$，
化简得：$18m +150 -15m ≤165$，$3m ≤15$，解得$m ≤5$，
设每月处理污水总量为w吨，
则$w=2200m +1800(10 - m)=400m +18000$，
因为$400＞0$，所以w随m的增大而增大，
又m为非负整数，因此当$m=5$时，w取得最大值，
此时$w=400×5 +18000=20000$吨，$10-m=5$。
答：购买5台A型设备和5台B型设备时，每月处理污水量最多，最多为20000吨。
【答案】
(1)每台A型设备18万元，每台B型设备15万元；(2)购买5台A型设备和5台B型设备，每月最多处理污水20000吨。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用
【点评】
本题是典型的实际应用问题，需准确提取题目中的等量关系与不等关系，依次解决分式方程求解单价、不等式确定取值范围、一次函数求最值三个环节，考查学生的逻辑分析与数学应用能力。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需利用“用90万元购买A型设备的台数与用75万元购买B型设备的台数相同”这一等量关系，通过设未知数列分式方程求解设备单价；第(2)问需结合“购买资金不超过165万元”的不等关系，先确定A型设备的购买数量范围，再通过一次函数的增减性求每月处理污水量的最大值，核心是找准实际问题中的数量关系。
【解析】
(1)设购买每台B型设备需要x万元，则每台A型设备需要(x+3)万元，
根据题意，台数=总价÷单价，因此两种设备购买台数相等可列方程：
$\frac{90}{x+3}=\frac{75}{x}$，
交叉相乘得：$90x=75(x+3)$，
化简计算：$90x=75x+225$，$15x=225$，解得$x=15$，
经检验，$x=15$是原分式方程的解，且符合实际意义，
则A型设备单价为$15+3=18$万元。
答：购买每台A型设备需要18万元，每台B型设备需要15万元。
(2)设购买m台A型设备，则购买$(10-m)$台B型设备，
根据“购买资金不超过165万元”列不等式：
$18m +15(10 - m) ≤165$，
化简得：$18m +150 -15m ≤165$，$3m ≤15$，解得$m ≤5$，
设每月处理污水总量为w吨，
则$w=2200m +1800(10 - m)=400m +18000$，
因为$400＞0$，所以w随m的增大而增大，
又m为非负整数，因此当$m=5$时，w取得最大值，
此时$w=400×5 +18000=20000$吨，$10-m=5$。
答：购买5台A型设备和5台B型设备时，每月处理污水量最多，最多为20000吨。
【答案】
(1)每台A型设备18万元，每台B型设备15万元；(2)购买5台A型设备和5台B型设备，每月最多处理污水20000吨。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用
【点评】
本题是典型的实际应用问题，需准确提取题目中的等量关系与不等关系，依次解决分式方程求解单价、不等式确定取值范围、一次函数求最值三个环节，考查学生的逻辑分析与数学应用能力。
【难度系数】
0.6
