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1. 新素养 推理能力 如图, 直线 $ l $ 经过 $ A(6,0),B(0,8) $ 两点, 点 $ C $ 从点 $ B $ 出发沿线段 $ BO $ 以每秒1个单位长度的速度向点 $ O $ 运动, 点 $ D $ 从点 $ A $ 出发沿线段 $ AB $ 以每秒2个单位长度的速度向点 $ B $ 运动, 设运动的时间为 $ t $ 秒$ (t＞0) $.
（1）求直线 $ l $ 对应的函数表达式；
（2）当 $ t=\_\_\_\_\_\_ $ 时, $ BC=BD $；
（3）将直线 $ l $ 沿 $ x $ 轴向右平移3个单位长度后, 得到的直线与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ E $, $ F $ 两点, 求四边形 $ BAEF $ 的面积；
（4）在第一象限内, 是否存在点 $ P $, 使以 $ A $, $ B $, $ P $ 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在, 求出点 $ P $ 的坐标；若不存在, 请说明理由.
（1）求直线 $ l $ 对应的函数表达式；
（2）当 $ t=\_\_\_\_\_\_ $ 时, $ BC=BD $；
（3）将直线 $ l $ 沿 $ x $ 轴向右平移3个单位长度后, 得到的直线与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ E $, $ F $ 两点, 求四边形 $ BAEF $ 的面积；
（4）在第一象限内, 是否存在点 $ P $, 使以 $ A $, $ B $, $ P $ 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在, 求出点 $ P $ 的坐标；若不存在, 请说明理由.
答案
(1) 设直线 $ l $ 对应的函数表达式为 $ y=kx+b $. 由题意,把 $ A(6,0),B(0,8) $ 分别代入,得$\begin{cases}6k+b=0,\\b=8,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\dfrac{4}{3},\\b=8.\end{cases}$ 所以直线 $ l $ 对应的函数表达式为 $ y=-\dfrac{4}{3}x+8. $
(2) $\dfrac{10}{3}$ 解析: 因为 $ A(6,0),B(0,8) $, 所以 $ OA=6 $, $ OB=8 $. 所以 $ AB^2=OA^2+OB^2=10^2 $, 即 $ AB=10 $. 由题意,得 $ BC=t $, $ AD=2t $, 则 $ BD=AB-AD=10-2t $. 当 $ BC=BD $ 时, $ t=10-2t $, 解得 $ t=\dfrac{10}{3} $. 所以当 $ t=\dfrac{10}{3} $ 时, $ BC=BD $.
(3) 由(1)(2),得直线 $ l $ 对应的函数表达式为 $ y=-\dfrac{4}{3}x+8 $, $ OA=6 $, $ OB=8 $, 所以直线 $ EF $ 对应的函数表达式为 $ y=-\dfrac{4}{3}(x-3)+8=-\dfrac{4}{3}x+12 $. 令 $ x=0 $, 得 $ y=12 $; 令 $ y=0 $, 得 $ -\dfrac{4}{3}x+12=0 $, 解得 $ x=9 $. 所以 $ E(9,0) $, $ F(0,12) $, 即 $ OE=9 $, $ OF=12 $. 又四边形 $ BAEF $ 的面积为 $ S_{△ EFO}-S_{△ ABO} $, 所以 $ S_{\mathrm{四边形}BAEF}=\dfrac{1}{2}OE· OF-\dfrac{1}{2}OA· OB=30. $
(4) 存在. 由(2),得 $ OA=6 $, $ OB=8 $. 因为以 $ A,B,P $ 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形, 所以分情况讨论如下:① 当 $ ∠ ABP=90° $, $ AB=BP $ 时,如图①. 过点 $ P $ 作 $ PM⊥ y $ 轴于点 $ M $, 易证 $ △ AOB≌△ BMP $ (AAS). 所以 $ OA=MB $, $ OB=MP $, 即 $ MB=6 $, $ MP=8 $. 所以 $ OM=14 $. 所以 $ P(8,14) $;② 当 $ ∠ BAP=90° $, $ AB=AP $ 时,如图②. 过点 $ P $ 作 $ PN⊥ x $ 轴于点 $ N $, 易证 $ △ AOB≌△ PNA $ (AAS). 所以 $ OA=NP $, $ OB=NA $, 即 $ NP=6 $, $ NA=8 $. 所以 $ ON=14 $. 所以 $ P(14,6) $;③ 当 $ ∠ APB=90° $, $ BP=AP $ 时,如图③. 过点 $ P $ 分别作 $ PG⊥ x $ 轴于点 $ G $, $ PH⊥ y $ 轴于点 $ H $, 易证四边形 $ OGPH $ 是长方形, $ △ AGP≌△ BHP $ (AAS). 所以 $ AG=BH $, $ PG=PH $, $ OG=PH $, $ PG=OH $. 又 $ OG=OA+AG $, $ OH=OB-BH $, 所以 $ 6+AG=8-BH $, 解得 $ AG=BH=1 $. 所以 $ OG=PG=7 $, 即 $ P(7,7) $. 综上,点 $ P $ 的坐标为 $ (8,14) $ 或 $ (14,6) $ 或 $ (7,7) $.
[图2][图3]2. 新趋势 推导探究 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(0,4),B(-3,0),C$(\dfrac{16}{3},0)$,一次函数$y=kx+b(0＜k＜\dfrac{4}{3})$的图象经过点B,且分别与线段AC和y轴交于E,F两点.
(1) △ABC是
(2) 当BE恰好平分∠ABC时,求点E的坐标;
(3) 是否存在实数k,使△AEF是等腰三角形?若存在,请直接写出k的值;若不存在,请说明理由.
(1) △ABC是
直角
三角形;(2) 当BE恰好平分∠ABC时,求点E的坐标;
(3) 是否存在实数k,使△AEF是等腰三角形?若存在,请直接写出k的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1) 直角 解析: 因为 A,B,C 三点的坐标分别为 $(0,4),(-3,0),(\dfrac{16}{3},0)$, 所以 $AB^2=(-3-0)^2+(0-4)^2=25$, $AC^2=(\dfrac{16}{3}-0)^2+(0-4)^2=\dfrac{400}{9}$, $BC^2=(-3-\dfrac{16}{3})^2+(0-0)^2=\dfrac{625}{9}$. 所以 $AB^2+AC^2=BC^2$, 即 $ △ ABC $ 是直角三角形, 且 $ ∠ BAC=90° $.
(2) 过点 $ E $ 作 $ ED⊥ BC $ 于点 $ D $. 由(1),得 $ AB^2=25 $, $ ∠ BAC=90° $, 所以 $ AB=5 $, $ EA⊥ AB $. 因为 $ BE $ 平分 $ ∠ ABC $, 所以 $ ED=EA $. 又 $ BE=BE $, 所以 $ \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ DBE(\mathrm{HL}) $. 所以 $ AB=DB $, 即 $ DB=5 $. 又点 $ B $ 的坐标为 $ (-3,0) $, 所以 $ OB=3 $, 即 $ OD=2 $. 所以点 $ E $ 的横坐标为 2. 设直线 $ AC $ 的函数表达式为 $ y=mx+n $. 把 $ A(0,4),C(\dfrac{16}{3},0) $ 分别代入,得 $\begin{cases}n=4,\\\dfrac{16}{3}m+n=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-\dfrac{3}{4},\\n=4.\end{cases}$ 所以直线 $ AC $ 的函数表达式为 $ y=-\dfrac{3}{4}x+4 $. 又点 $ E $ 在直线 $ AC $ 上, 所以把 $ x=2 $ 代入, 得 $ y=\dfrac{5}{2} $. 所以点 $ E $ 的坐标为 $ (2,\dfrac{5}{2}) $.
(3) 存在, $ k $ 的值为 $ \dfrac{1}{2} $ 或 $ \dfrac{3}{4} $ 或 $ \dfrac{7}{24} $. 解析: 因为 $ △ AEF $ 是等腰三角形, 所以 $ AF=AE $ 或 $ AE=EF $ 或 $ AF=EF $. 分类讨论如下:① 当 $ AF=AE $ 时, $ ∠ AFE=∠ AEB $. 由(1), 得 $ ∠ BAC=90° $, 所以 $ ∠ ABF+∠ AEB=90° $. 又 $ ∠ BFO=∠ AFE $, $ ∠ AOB=90° $, 所以 $ ∠ BFO+∠ OBF=90° $, 即 $ ∠ OBF=∠ ABF $. 所以 $ BE $ 平分 $ ∠ ABC $. 由(2), 得 $ E(2,\dfrac{5}{2}) $. 把 $ E(2,\dfrac{5}{2}) $, $ B(-3,0) $ 分别代入 $ y=kx+b $ 中, 得 $\begin{cases}2k+b=\dfrac{5}{2},\\-3k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=\dfrac{3}{2}.\end{cases}$ 则 $ k $ 的值为 $ \dfrac{1}{2} $; ② 当 $ AE=EF $ 时, $ ∠ OAC=∠ AFE $. 因为 $ ∠ AOC=90° $, 所以 $ ∠ OAC+∠ ACO=90° $. 又 $ ∠ OBF+∠ BFO=90° $, $ ∠ BFO=∠ AFE $, 所以 $ ∠ ACO=∠ OBF $. 所以 $ EB=EC $. 又点 $ C $ 的坐标为 $ (\dfrac{16}{3},0) $, 所以点 $ E $ 的横坐标为 $ (\dfrac{16}{3}-3)×\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{6} $. 由(2), 得直线 $ AC $ 的函数表达式为 $ y=-\dfrac{3}{4}x+4 $. 又点 $ E $ 在直线 $ AC $ 上, 所以把 $ x=\dfrac{7}{6} $ 代入, 得 $ y=\dfrac{25}{8} $, 即 $ E(\dfrac{7}{6},\dfrac{25}{8}) $. 同理, 得 $ k $ 的值为 $ \dfrac{3}{4} $; ③ 当 $ AF=EF $ 时, $ ∠ OAC=∠ AEB $. 因为 $ ∠ OAB+∠ OAC=90° $, $ ∠ ABF+∠ AEB=90° $, 所以 $ ∠ OAB=∠ ABF $, 即 $ AF=BF $. 设 $ F(0,t) $, 则 $ OF=t $. 又点 $ A $ 的坐标为 $ (0,4) $, 所以 $ BF=AF=4-t $. 又 $ OB=3 $, $ BF^2=OB^2+OF^2 $, 所以 $ (4-t)^2=9+t^2 $, 解得 $ t=\dfrac{7}{8} $. 同理, 得 $ k $ 的值为 $ \dfrac{7}{24} $. 综上, 当 $ k $ 的值为 $ \dfrac{1}{2} $ 或 $ \dfrac{3}{4} $ 或 $ \dfrac{7}{24} $ 时, $ △ AEF $ 是等腰三角形.
(2) 过点 $ E $ 作 $ ED⊥ BC $ 于点 $ D $. 由(1),得 $ AB^2=25 $, $ ∠ BAC=90° $, 所以 $ AB=5 $, $ EA⊥ AB $. 因为 $ BE $ 平分 $ ∠ ABC $, 所以 $ ED=EA $. 又 $ BE=BE $, 所以 $ \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ DBE(\mathrm{HL}) $. 所以 $ AB=DB $, 即 $ DB=5 $. 又点 $ B $ 的坐标为 $ (-3,0) $, 所以 $ OB=3 $, 即 $ OD=2 $. 所以点 $ E $ 的横坐标为 2. 设直线 $ AC $ 的函数表达式为 $ y=mx+n $. 把 $ A(0,4),C(\dfrac{16}{3},0) $ 分别代入,得 $\begin{cases}n=4,\\\dfrac{16}{3}m+n=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-\dfrac{3}{4},\\n=4.\end{cases}$ 所以直线 $ AC $ 的函数表达式为 $ y=-\dfrac{3}{4}x+4 $. 又点 $ E $ 在直线 $ AC $ 上, 所以把 $ x=2 $ 代入, 得 $ y=\dfrac{5}{2} $. 所以点 $ E $ 的坐标为 $ (2,\dfrac{5}{2}) $.
(3) 存在, $ k $ 的值为 $ \dfrac{1}{2} $ 或 $ \dfrac{3}{4} $ 或 $ \dfrac{7}{24} $. 解析: 因为 $ △ AEF $ 是等腰三角形, 所以 $ AF=AE $ 或 $ AE=EF $ 或 $ AF=EF $. 分类讨论如下:① 当 $ AF=AE $ 时, $ ∠ AFE=∠ AEB $. 由(1), 得 $ ∠ BAC=90° $, 所以 $ ∠ ABF+∠ AEB=90° $. 又 $ ∠ BFO=∠ AFE $, $ ∠ AOB=90° $, 所以 $ ∠ BFO+∠ OBF=90° $, 即 $ ∠ OBF=∠ ABF $. 所以 $ BE $ 平分 $ ∠ ABC $. 由(2), 得 $ E(2,\dfrac{5}{2}) $. 把 $ E(2,\dfrac{5}{2}) $, $ B(-3,0) $ 分别代入 $ y=kx+b $ 中, 得 $\begin{cases}2k+b=\dfrac{5}{2},\\-3k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=\dfrac{3}{2}.\end{cases}$ 则 $ k $ 的值为 $ \dfrac{1}{2} $; ② 当 $ AE=EF $ 时, $ ∠ OAC=∠ AFE $. 因为 $ ∠ AOC=90° $, 所以 $ ∠ OAC+∠ ACO=90° $. 又 $ ∠ OBF+∠ BFO=90° $, $ ∠ BFO=∠ AFE $, 所以 $ ∠ ACO=∠ OBF $. 所以 $ EB=EC $. 又点 $ C $ 的坐标为 $ (\dfrac{16}{3},0) $, 所以点 $ E $ 的横坐标为 $ (\dfrac{16}{3}-3)×\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{6} $. 由(2), 得直线 $ AC $ 的函数表达式为 $ y=-\dfrac{3}{4}x+4 $. 又点 $ E $ 在直线 $ AC $ 上, 所以把 $ x=\dfrac{7}{6} $ 代入, 得 $ y=\dfrac{25}{8} $, 即 $ E(\dfrac{7}{6},\dfrac{25}{8}) $. 同理, 得 $ k $ 的值为 $ \dfrac{3}{4} $; ③ 当 $ AF=EF $ 时, $ ∠ OAC=∠ AEB $. 因为 $ ∠ OAB+∠ OAC=90° $, $ ∠ ABF+∠ AEB=90° $, 所以 $ ∠ OAB=∠ ABF $, 即 $ AF=BF $. 设 $ F(0,t) $, 则 $ OF=t $. 又点 $ A $ 的坐标为 $ (0,4) $, 所以 $ BF=AF=4-t $. 又 $ OB=3 $, $ BF^2=OB^2+OF^2 $, 所以 $ (4-t)^2=9+t^2 $, 解得 $ t=\dfrac{7}{8} $. 同理, 得 $ k $ 的值为 $ \dfrac{7}{24} $. 综上, 当 $ k $ 的值为 $ \dfrac{1}{2} $ 或 $ \dfrac{3}{4} $ 或 $ \dfrac{7}{24} $ 时, $ △ AEF $ 是等腰三角形.
