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8.「2026江苏盐城大丰联考，★☆」已知关于$x$的方程$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x+bk}{6}$，如果$a,b$是定值，且无论$k$为何值，方程的解总是$x=1$，那么$2a+b$的值是
17
。答案
17
解析 将 $x=1$ 代入方程$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x+bk}{6}$,得$\frac{2k+a}{3}=2+\frac{1+bk}{6}$,去分母、去括号,得 $4k+2a=12+1+bk$,整理得$(4-b)k=13-2a$,因为无论 $k$ 为何值,方程的解总是$x=1$,所以$(4-b)k=13-2a$恒成立,所以 $4-b=0,13-2a=0$,所以 $b=4,2a=13$,所以 $2a+b=17$.
解析 将 $x=1$ 代入方程$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x+bk}{6}$,得$\frac{2k+a}{3}=2+\frac{1+bk}{6}$,去分母、去括号,得 $4k+2a=12+1+bk$,整理得$(4-b)k=13-2a$,因为无论 $k$ 为何值,方程的解总是$x=1$,所以$(4-b)k=13-2a$恒成立,所以 $4-b=0,13-2a=0$,所以 $b=4,2a=13$,所以 $2a+b=17$.
9.「2026 安徽合肥三十八中期中，★☆」某同学在解关于$x$的方程$\frac{2x - m}{2} - \frac{x + m}{3} = 1$时，误将方程右边的“1”看成了“-1”，得到方程的解为$x = 1$。
(1)求$m$的值。
(2)求出该方程正确的解。
(1)求$m$的值。
(2)求出该方程正确的解。
答案
(1)将 $x=1$ 代入方程$\frac{2x-m}{2}-\frac{x+m}{3}=-1$,得$\frac{2-m}{2}-\frac{1+m}{3}=-1$,解得 $m=2$.
(2)由(1)知 $m=2$,
所以原方程为$\frac{2x-2}{2}-\frac{x+2}{3}=1$,
去分母,得 $3(2x-2)-2(x+2)=6$,
去括号,得 $6x-6-2x-4=6$,
移项、合并同类项,得 $4x=16$,
系数化为 1,得 $x=4$.
(2)由(1)知 $m=2$,
所以原方程为$\frac{2x-2}{2}-\frac{x+2}{3}=1$,
去分母,得 $3(2x-2)-2(x+2)=6$,
去括号,得 $6x-6-2x-4=6$,
移项、合并同类项,得 $4x=16$,
系数化为 1,得 $x=4$.
10.「2026陕西榆林横山月考，★☆」已知关于$x$的方程$\frac{x}{2}+a=\frac{2x - a}{3}$。
（1）若$x=16$，求代数式$a^2 - 3a$的值。
（2）已知关于$x$的方程$\frac{x}{2}+a=\frac{2x - a}{3}$的解比方程$-9 - x=\frac{x}{2}$的解小2，求$a$的值。
（1）若$x=16$，求代数式$a^2 - 3a$的值。
（2）已知关于$x$的方程$\frac{x}{2}+a=\frac{2x - a}{3}$的解比方程$-9 - x=\frac{x}{2}$的解小2，求$a$的值。
答案
(1)将 $x=16$ 代入方程$\frac{x}{2}+a=\frac{2x-a}{3}$,
得$\frac{16}{2}+a=\frac{2×16-a}{3}$,解得 $a=2$,
所以 $a^2-3a=2^2-3×2=-2$.
(2)解方程$\frac{x}{2}+a=\frac{2x-a}{3}$,得 $x=8a$,
解方程$-9-x=\frac{x}{2}$,得 $x=-6$,
因为关于 $x$ 的方程$\frac{x}{2}+a=\frac{2x-a}{3}$的解比方程$-9-x=\frac{x}{2}$的解小2,
所以 $8a+2=-6$,解得 $a=-1$.
得$\frac{16}{2}+a=\frac{2×16-a}{3}$,解得 $a=2$,
所以 $a^2-3a=2^2-3×2=-2$.
(2)解方程$\frac{x}{2}+a=\frac{2x-a}{3}$,得 $x=8a$,
解方程$-9-x=\frac{x}{2}$,得 $x=-6$,
因为关于 $x$ 的方程$\frac{x}{2}+a=\frac{2x-a}{3}$的解比方程$-9-x=\frac{x}{2}$的解小2,
所以 $8a+2=-6$,解得 $a=-1$.
11. 核心素养 运算能力 「2026江苏盐城射阳期中」若关于x的方程$5x-\dfrac{ax+2}{2}=5(x-1)+1$与$2x-\dfrac{1-ax}{3}=\dfrac{x+1}{0.6}-1$的解均为正整数，则整数a的值是
2
。答案
2
解析 $5x-\frac{ax+2}{2}=5(x-1)+1$,
去分母,得 $10x-(ax+2)=10(x-1)+2$,
去括号,得 $10x-ax-2=10x-10+2$,
移项、合并同类项,得$-ax=-6$,即 $ax=6$,
当 $a≠0$ 时,方程的解是 $x=\frac{6}{a}$.
因为此方程的解为正整数,
所以整数 $a=1$ 或 2 或 3 或 6,
$2x-\frac{1-ax}{3}=\frac{x+1}{0.6}-1$,
整理得 $2x-\frac{1-ax}{3}=\frac{5(x+1)}{3}-1$,
去分母,得 $6x-(1-ax)=5(x+1)-3$,
去括号,得 $6x-1+ax=5x+5-3$,
移项、合并同类项,得$(a+1)x=3$,
当 $a+1≠0$,即 $a≠-1$ 时,方程的解是 $x=\frac{3}{a+1}$,
因为此方程的解为正整数,$a$ 为整数,
所以 $a+1=1$ 或 $a+1=3$,解得 $a=0$ 或 $a=2$,
因为两个方程的解均为正整数,所以整数 $a=2$.
解析 $5x-\frac{ax+2}{2}=5(x-1)+1$,
去分母,得 $10x-(ax+2)=10(x-1)+2$,
去括号,得 $10x-ax-2=10x-10+2$,
移项、合并同类项,得$-ax=-6$,即 $ax=6$,
当 $a≠0$ 时,方程的解是 $x=\frac{6}{a}$.
因为此方程的解为正整数,
所以整数 $a=1$ 或 2 或 3 或 6,
$2x-\frac{1-ax}{3}=\frac{x+1}{0.6}-1$,
整理得 $2x-\frac{1-ax}{3}=\frac{5(x+1)}{3}-1$,
去分母,得 $6x-(1-ax)=5(x+1)-3$,
去括号,得 $6x-1+ax=5x+5-3$,
移项、合并同类项,得$(a+1)x=3$,
当 $a+1≠0$,即 $a≠-1$ 时,方程的解是 $x=\frac{3}{a+1}$,
因为此方程的解为正整数,$a$ 为整数,
所以 $a+1=1$ 或 $a+1=3$,解得 $a=0$ 或 $a=2$,
因为两个方程的解均为正整数,所以整数 $a=2$.
12. 核心素养 聚焦中考 「2026 江苏扬州江都期中」我们规定:如果两个一元一次方程的解的积为-1,我们就称这两个方程为“互反方程”.例如:方程$2x=1$与方程$x+2=0$为“互反方程”.
(1)判断方程$2x-1=5$与$2(x+1)=1-x$是不是“互反方程”,并说明理由.
(2)若关于$x$的两个方程$\frac{3x+4}{2}=x+1$与$5[x-3(x-\frac{a}{5})]=3(2-a)-4x$为“互反方程”,求$a$的值.
(1)判断方程$2x-1=5$与$2(x+1)=1-x$是不是“互反方程”,并说明理由.
(2)若关于$x$的两个方程$\frac{3x+4}{2}=x+1$与$5[x-3(x-\frac{a}{5})]=3(2-a)-4x$为“互反方程”,求$a$的值.
答案
(1)是.理由如下:
解方程 $2x-1=5$,得 $x=3$,
解方程 $2(x+1)=1-x$,得 $x=-\frac{1}{3}$,
因为 $3×(-\frac{1}{3})=-1$,
所以方程 $2x-1=5$ 与 $2(x+1)=1-x$ 是“互反方程”.
(2)解方程$\frac{3x+4}{2}=x+1$,得 $x=-2$,
因为方程$\frac{3x+4}{2}=x+1$与$5[x-3(x-\frac{a}{5})]=3(2-a)-4x$为“互反方程”,
所以方程$5[x-3(x-\frac{a}{5})]=3(2-a)-4x$的解是$x=\frac{1}{2}$,所以$5×[\frac{1}{2}-3(\frac{1}{2}-\frac{a}{5})]=3(2-a)-4×\frac{1}{2}$,
解得 $a=\frac{3}{2}$.
解方程 $2x-1=5$,得 $x=3$,
解方程 $2(x+1)=1-x$,得 $x=-\frac{1}{3}$,
因为 $3×(-\frac{1}{3})=-1$,
所以方程 $2x-1=5$ 与 $2(x+1)=1-x$ 是“互反方程”.
(2)解方程$\frac{3x+4}{2}=x+1$,得 $x=-2$,
因为方程$\frac{3x+4}{2}=x+1$与$5[x-3(x-\frac{a}{5})]=3(2-a)-4x$为“互反方程”,
所以方程$5[x-3(x-\frac{a}{5})]=3(2-a)-4x$的解是$x=\frac{1}{2}$,所以$5×[\frac{1}{2}-3(\frac{1}{2}-\frac{a}{5})]=3(2-a)-4×\frac{1}{2}$,
解得 $a=\frac{3}{2}$.
