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1.「2026安徽合肥四十五中期中」下列方程中，是一元一次方程的是（
A.$\frac{1}{x}+2=3$
B.$x^2 -4x=3$
C.$x+2y=1$
D.$\frac{x}{3}=6x+1$
D
）A.$\frac{1}{x}+2=3$
B.$x^2 -4x=3$
C.$x+2y=1$
D.$\frac{x}{3}=6x+1$
答案
A.$\frac{1}{x}+2=3$ 中分母含有未知数，不是一元一次方程; B.$x^2 -4x=3$ 中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程; C.$x+2y=1$ 中含有两个未知数，不是一元一次方程; D.$\frac{x}{3}=6x+1$ 是一元一次方程. 故选 D.
2.「2025江苏盐城盐都期中」下列一元一次方程的解是$x=2$的是（
A.$3x=2x-2$
B.$2x+3=3x+5$
C.$\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}x-1$
D.$x-1=-x+3$
D
）A.$3x=2x-2$
B.$2x+3=3x+5$
C.$\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}x-1$
D.$x-1=-x+3$
答案
把$x=2$依次代入各选项中的方程，只有D选项的等号左右两边的值相等，所以$x=2$是方程$x-1=-x+3$的解. 故选 D.
3.「2026江苏镇江期末」若方程$(m-3)x^{|m|-2}+1=0$是关于x的一元一次方程，则$m=$
-3
。答案
答案 -3
解析 由题意可得$|m|-2=1$,且$m-3≠0$,解得$m=-3$.
解析 由题意可得$|m|-2=1$,且$m-3≠0$,解得$m=-3$.
4.「2026 贵州贵阳期末」下列方程变形正确的是（
A.$x+2=5$ 变形得 $x=5+2$
B.$3x=2x+7$ 变形得 $3x-2x=7$
C.$3x=5$ 变形得 $x=\dfrac{3}{5}$
D.$5-x=16$ 变形得 $x=16-5$
B
）A.$x+2=5$ 变形得 $x=5+2$
B.$3x=2x+7$ 变形得 $3x-2x=7$
C.$3x=5$ 变形得 $x=\dfrac{3}{5}$
D.$5-x=16$ 变形得 $x=16-5$
答案
$x+2=5$ 两边同时减去2,得$x=5-2$,故A错误;
$3x=2x+7$ 两边同时减去$2x$,得$3x-2x=7$,故B正确;
$3x=5$ 两边同时除以3,得$x=\frac{5}{3}$,故C错误;$5-x=16$ 两边同时乘$-1$,得$x-5=-16$,两边同时加上5,得$x=-16+5$,故D错误.故选 B.
$3x=2x+7$ 两边同时减去$2x$,得$3x-2x=7$,故B正确;
$3x=5$ 两边同时除以3,得$x=\frac{5}{3}$,故C错误;$5-x=16$ 两边同时乘$-1$,得$x-5=-16$,两边同时加上5,得$x=-16+5$,故D错误.故选 B.
5. 学科特色 教材变式 解下列方程：
(1)$3-2x=9$.
(2)$2-\frac{1}{3}x=6$.
(3)$0.02x=0.8x-7.8$.
(4)$x+4=6x-1$.
(1)$3-2x=9$.
(2)$2-\frac{1}{3}x=6$.
(3)$0.02x=0.8x-7.8$.
(4)$x+4=6x-1$.
答案
(1)方程两边同时减去3得$-2x=6$,
方程两边同时除以$-2$得$x=-3$.
(2)方程两边同时减去2得$-\frac{1}{3}x=4$,
方程两边同时乘$-3$得$x=-12$.
(3)方程两边同时减去$0.8x$,得$-0.78x=-7.8$,
方程两边同时除以$-0.78$,得$x=10$.
(4)方程两边同时加上$(-6x-4)$,得$x+4+(-6x-4)=6x-1+(-6x-4)$,化简,得$-5x=-5$,方程两边同时除以$-5$,得$x=1$.
方程两边同时除以$-2$得$x=-3$.
(2)方程两边同时减去2得$-\frac{1}{3}x=4$,
方程两边同时乘$-3$得$x=-12$.
(3)方程两边同时减去$0.8x$,得$-0.78x=-7.8$,
方程两边同时除以$-0.78$,得$x=10$.
(4)方程两边同时加上$(-6x-4)$,得$x+4+(-6x-4)=6x-1+(-6x-4)$,化简,得$-5x=-5$,方程两边同时除以$-5$,得$x=1$.
6. 学科特色 整体代入法 「2026山东潍坊高新区月考，★☆」若$x=3$是关于$x$的一元一次方程$ax+b=4$的解，则代数式$(3a+b)^2 + 3(3a+b) -1$的值是（
A.18
B.19
C.27
D.28
C
）A.18
B.19
C.27
D.28
答案
把$x=3$代入方程$ax+b=4$得$3a+b=4$,所以$(3a+b)^2+3(3a+b)-1=4^2+3×4-1=16+12-1=27$,故选 C.
7.「★☆」已知关于x的方程$kx + x = 3$有正整数解，则满足条件的所有整数k的值为
0,2
。答案
答案 0,2
解析 解方程$kx+x=3$得$x=\frac{3}{k+1}$,因为关于$x$的方程$kx+x=3$有正整数解,且$k$为整数,所以$k+1=1$或$k+1=3$,解得$k=0$或$k=2$,所以满足条件的所有整数$k$的值为0,2.
解析 解方程$kx+x=3$得$x=\frac{3}{k+1}$,因为关于$x$的方程$kx+x=3$有正整数解,且$k$为整数,所以$k+1=1$或$k+1=3$,解得$k=0$或$k=2$,所以满足条件的所有整数$k$的值为0,2.
8.「2026湖北武汉黄陂月考改编，★☆」已知关于$x$的方程$(a^2 -9)x^2 +ax -3x +4=0$是一元一次方程.
(1)求$a$的值.
(2)求$-4a^2 +7 -3a +2a +1$的值.
(1)求$a$的值.
(2)求$-4a^2 +7 -3a +2a +1$的值.
答案
(1)因为$(a^2-9)x^2+ax-3x+4=0$,
所以$(a^2-9)x^2+(a-3)x+4=0$,
因为该方程是关于$x$的一元一次方程,
所以$a^2-9=0$,且$a-3≠0$,解得$a=-3$.
(2)由(1)知$a=-3$,
所以$-4a^2+7-3a+2a+1=-4a^2-a+8=-4×(-3)^2-(-3)+8=-36+3+8=-25$.
所以$(a^2-9)x^2+(a-3)x+4=0$,
因为该方程是关于$x$的一元一次方程,
所以$a^2-9=0$,且$a-3≠0$,解得$a=-3$.
(2)由(1)知$a=-3$,
所以$-4a^2+7-3a+2a+1=-4a^2-a+8=-4×(-3)^2-(-3)+8=-36+3+8=-25$.
9. 核心素养推理能力「2026天津南开期末」一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，比如将0.$\dot{7}$化为分数：设0.$\dot{7}$=x，由0.$\dot{7}$=0.77…，可知10x=7.777…，所以10x−x=7，解方程得x=$\frac{7}{9}$。请将下列循环小数化为最简分数.
(1)0.$\ddot{12}$=
(2)若0.$\dot{1}$42 85$\dot{7}$=$\frac{1}{7}$，则4.$\dot{2}$85 71$\dot{4}$=
(1)0.$\ddot{12}$=
$\frac{4}{33}$
.(2)若0.$\dot{1}$42 85$\dot{7}$=$\frac{1}{7}$，则4.$\dot{2}$85 71$\dot{4}$=
$\frac{30}{7}$
，1.1$\dot{2}$8 571 $\dot{4}$=$\frac{79}{70}$
.答案
答案 (1)$\frac{4}{33}$ (2)$\frac{30}{7}$;$\frac{79}{70}$
解析 (1)设$x=0.\ddot{12}=0.121212···$,则$100x=12.121212···$,所以$100x-x=12$,解得$x=\frac{4}{33}$,即$0.\ddot{12}=\frac{4}{33}$.
(2)由$0.\dot{1}4285\dot{7}$知,循环节为“142 857”,
所以$0.\dot{2}8571\dot{4}=2×0.\dot{1}4285\dot{7}=2×\frac{1}{7}=\frac{2}{7}$,
所以$4.\dot{2}8571\dot{4}=4+\frac{2}{7}=\frac{30}{7}$.
设$y=0.1\dot{2}8571\dot{4}$,则$10y=1.\dot{2}8571\dot{4}=1+\frac{2}{7}=\frac{9}{7}$,
解得$y=\frac{9}{70}$,所以$1.1\dot{2}8571\dot{4}=1+\frac{9}{70}=\frac{79}{70}$.
解析 (1)设$x=0.\ddot{12}=0.121212···$,则$100x=12.121212···$,所以$100x-x=12$,解得$x=\frac{4}{33}$,即$0.\ddot{12}=\frac{4}{33}$.
(2)由$0.\dot{1}4285\dot{7}$知,循环节为“142 857”,
所以$0.\dot{2}8571\dot{4}=2×0.\dot{1}4285\dot{7}=2×\frac{1}{7}=\frac{2}{7}$,
所以$4.\dot{2}8571\dot{4}=4+\frac{2}{7}=\frac{30}{7}$.
设$y=0.1\dot{2}8571\dot{4}$,则$10y=1.\dot{2}8571\dot{4}=1+\frac{2}{7}=\frac{9}{7}$,
解得$y=\frac{9}{70}$,所以$1.1\dot{2}8571\dot{4}=1+\frac{9}{70}=\frac{79}{70}$.
