1. (2025·杭州市上城区期末)如图,在平行四边形ABCD中,∠B=60°,AB=2,H,G分别是边DC,BC上的动点,联结AH,HG,E为AH的中点,F为GH的中点,联结EF,则EF的最小值为 ()

A.$1$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$

【解析】如图,联结AG。因为E为AH的中点,F为GH的中点,所以EF=$\dfrac{1}{2}$AG,所以当AG取最小值时,EF最小。
当AG⊥BC时,AG最小。因为四边形ABCD是平行四边形,∠B=60°,所以当AG⊥BC时,∠BAG=30°,所以BG=$\dfrac{1}{2}$AB=1,所以AG=$\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,所以EF=$\dfrac{1}{2}AG=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,所以EF的最小值为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

【分析】
要解决这道题，首先观察到E、F分别是AH、GH的中点，可利用三角形中位线定理将EF转化为与AG相关的线段，即EF=1/2 AG，因此求EF的最小值等价于求AG的最小值。AG是点A到BC边上动点G的线段，根据“点到直线的距离中，垂线段最短”，当AG⊥BC时，AG取得最小值，再结合平行四边形的角度和边长，利用直角三角形的性质计算AG的长度，进而得到EF的最小值。
【解析】
联结AG。
∵ E为AH的中点，F为GH的中点，
∴ EF是△AGH的中位线，根据三角形中位线定理，得：
EF = $\dfrac{1}{2}$AG，
∴ 当AG取最小值时，EF最小。
∵ AG是点A到直线BC的线段，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，
∴ 当AG⊥BC时，AG取得最小值。
在平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=2，
当AG⊥BC时，△ABG为直角三角形，∠AGB=90°，
∴ ∠BAG=90°-∠B=30°，
∴ BG = $\dfrac{1}{2}$AB = $\dfrac{1}{2}$×2 = 1，
根据勾股定理，AG = $\sqrt{AB^2 - BG^2}$ = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ = $\sqrt{3}$，
∴ EF的最小值为 $\dfrac{1}{2}$AG = $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，勾股定理，平行四边形性质
【点评】
本题是几何最值问题，核心是通过三角形中位线定理转化线段关系，结合垂线段最短确定最值条件，再利用直角三角形性质计算，考查几何转化与最值分析能力，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

2. (2024·金华市义乌市期末)如图,正方形ABCD的边长为3,点E在CD上,且$CE=1$,F,P分别为线段BC,AD上的动点,联结BE,BP,FP,EF。若在点F,P的运动过程中始终满足$PF ⊥ BE$,则$BP+EF$的最小值为 ()

A.$2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{5}$

【解析】如图,过点P作PG⊥BC于点G,则∠PGB=∠PGF=90°,PG=AB,所以∠GPF+∠PFG=90°。因为PF⊥BE,所以∠BOF=90°,所以∠OBF+∠BFO=90°,所以∠GPF=∠OBF,即∠GPF=∠CBE。因为四边形ABCD是正方形,所以AB=BC,∠C=90°,所以PG=BC,∠PGF=∠C=90°,所以△PGF≌△BCE(ASA),所以PF=BE。过点E作EM⊥BE,并使EM=PF,联结PM,BM,则∠BEM=90°,EM=BE。因为PF⊥BE,EM⊥BE,所以PF//EM。因为EM=PF,所以四边形PFEM是平行四边形,所以PM=EF,所以BP+EF=BP+PM≥BM,所以当B,P,M三点共线时,BP+EF的值最小,最小值为BM的长。因为CE=1,BC=3,所以EM=BE=$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,所以BM=$\sqrt{BE^2+EM^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2}=2\sqrt{5}$,所以BP+EF的最小值为$2\sqrt{5}$。

【分析】
本题是正方形背景下的动点最值问题，核心思路是通过几何转化将所求线段和转化为可直接计算的线段长度。首先作辅助线PG⊥BC，利用正方形的直角与PF⊥BE的条件，证明△PGF和△BCE全等，得到PF=BE；再构造辅助线使EM=PF且EM⊥BE，证明四边形PFEM是平行四边形，将EF转化为PM，从而把BP+EF转化为BP+PM；最后依据“两点之间线段最短”，当B、P、M三点共线时，BP+PM的最小值为BM的长度，计算BM即可得到结果。
【解析】
1. 过点P作PG⊥BC于点G，则∠PGB=∠PGF=90°，因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC，∠C=90°，故PG=AB=BC。
2. 设PF与BE交于点O，因PF⊥BE，所以∠BOF=90°，得∠OBF+∠BFO=90°；又∠PGF=90°，故∠GPF+∠PFG=90°，推出∠GPF=∠OBF，即∠GPF=∠CBE。
3. 在△PGF和△BCE中：
$\{\begin{array}{l} ∠PGF=∠C=90° \\ PG=BC \\ ∠GPF=∠CBE \end{array} $
所以△PGF≌△BCE（ASA），得PF=BE。
4. 过点E作EM⊥BE，使EM=PF，连接PM、BM：
因PF⊥BE，EM⊥BE，故PF//EM，又EM=PF，所以四边形PFEM是平行四边形，得PM=EF。
5. 因此BP+EF=BP+PM，根据两点之间线段最短，当B、P、M三点共线时，BP+PM最小，最小值为BM的长度。
6. 在Rt△BCE中，BC=3，CE=1，所以BE=$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，则EM=BE=$\sqrt{10}$；又∠BEM=90°，故BM=$\sqrt{BE^2+EM^2}=\sqrt{10+10}=2\sqrt{5}$，即BP+EF的最小值为$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、平行四边形性质
【点评】
本题是几何最值的典型题型，通过构造全等三角形、平行四边形实现线段的等量代换，结合两点之间线段最短求解，重点考查几何转化思想与辅助线构造能力，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

3. (2024·杭州市钱塘区期末)如图,已知菱形ABCD的面积为$2\sqrt{5}$,$AB=\sqrt{5}$,点P, Q分别在边BC, CD上(不与点C重合),且$CP=CQ$,联结DP,AQ,则$DP+AQ$的最小值为________。

【解析】如图,过点A作AM⊥BC于点M,延长AM到点A',使A'M=AM,联结A'D,AP,A'P,以点B为原点,BC为x轴,垂直于BC方向为y轴,建立平面直角坐标系。因为点A和A'关于x轴对称,所以AP=A'P。因为四边形ABCD是菱形,所以AB=BC=AD=$\sqrt{5}$,∠ABC=∠ADC。因为菱形ABCD的面积为$2\sqrt{5}$,边长为$\sqrt{5}$,所以$S_{菱形ABCD}=BC·AM=\sqrt{5}AM=2\sqrt{5}$,解得AM=2。在Rt△ABM中,由勾股定理,得BM=$\sqrt{AB^2-AM^2}=1$,所以D($\sqrt{5}+1$,2),A'(1,-2)。因为PC=CQ,BC=CD,所以BP=DQ。在△ABP和△ADQ中,因为$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ ABP=∠ ADQ, \\ BP=DQ, \end{cases}$所以△ABP≌△ADQ(SAS),所以AP=AQ=A'P。因为A'P+PD≥A'D,所以当A',P,D三点共线时,PD+A'P取最小值,所以PD+AQ的最小值即PD+A'P的最小值,PD+A'P的最小值为A'D=$\sqrt{(\sqrt{5}+1-1)^2+(2+2)^2}=\sqrt{21}$。

【分析】
要解决$DP+AQ$的最小值问题，首先利用菱形性质和已知$CP=CQ$，证明$△ ABP ≌ △ ADQ$，将$AQ$转化为$AP$；再通过轴对称作点$A$关于$BC$的对称点$A'$，使$AP=A'P$，将$DP+AP$转化为$DP+A'P$；根据两点之间线段最短，当$A'$、$P$、$D$三点共线时，$DP+A'P$取得最小值，即线段$A'D$的长度，最后计算$A'D$的距离得到结果。
【解析】
1. 求菱形的高：已知菱形$ABCD$面积为$2\sqrt{5}$，边长$AB=BC=\sqrt{5}$，设$BC$边上的高为$AM$，则$S_{菱形ABCD}=BC·AM=\sqrt{5}·AM=2\sqrt{5}$，解得$AM=2$。
2. 计算$BM$的长度：在$Rt△ ABM$中，由勾股定理得$BM=\sqrt{AB^2 - AM^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2}=1$。
3. 证明全等三角形：因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB=AD=\sqrt{5}$，$∠ ABP=∠ ADQ$；又$CP=CQ$，$BC=CD$，故$BC - CP=CD - CQ$，即$BP=DQ$。在$△ ABP$和$△ ADQ$中，$\begin{cases} AB=AD \\ ∠ ABP=∠ ADQ \\ BP=DQ \end{cases}$，所以$△ ABP ≌ △ ADQ$（SAS），得$AP=AQ$。
4. 转化线段求最小值：作点$A$关于$BC$的对称点$A'$，则$AP=A'P$，因此$DP + AQ = DP + AP = DP + A'P$。根据两点之间线段最短，当$A'$、$P$、$D$三点共线时，$DP + A'P$的最小值为$A'D$的长度。建立平面直角坐标系，以$B$为原点，$BC$为$x$轴，垂直$BC$为$y$轴，可得$A'(1,-2)$，$D(\sqrt{5}+1,2)$，计算得：
$A'D=\sqrt{[(\sqrt{5}+1)-1]^2 + [2 - (-2)]^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 + 4^2}=\sqrt{21}$。
【答案】
$\sqrt{21}$
【知识点】
菱形的性质、全等三角形判定、轴对称的应用
【点评】
本题通过全等三角形转化线段，结合轴对称将两条线段和转化为两点间的线段，利用两点之间线段最短求最小值，综合考查几何核心知识点，解题关键是合理转化线段构造最短路径。
【难度系数】
0.4

4.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的两邻边分别在坐标轴的正半轴上,E为x轴的正半轴上一动点,联结CE,过点B作$BF ⊥ CE$交y轴于点F,联结EF,以FB,FE为邻边构造平行四边形EGBF,已知$OA=6$。
(1)当E为OA的中点时,点F的坐标为。
(2)在点E运动的过程中,BG长的最小值为。

【解析】(1)因为四边形OABC是正方形,所以OA=AB=BC=CO,∠AOC=∠OAB=∠ABC=∠BCO=90°,所以∠OCE+∠CEO=90°,∠OCE+∠ECB=90°。因为BF⊥CE,所以∠FBC+∠ECB=90°,所以∠OCE=∠FBC,所以△OCE≌△CBF(ASA),所以OE=CF。因为E为OA的中点,OA=6,所以OE=AE=3,所以OF=CF=3,所以F(0,3)。(2)由(1)可知,OE=CF。设OE=CF=x。因为E为x轴的正半轴上一动点,所以OF=|x-6|。在Rt△OEF中,由勾股定理,得$OE^2+OF^2=EF^2$,所以$EF^2=x^2+(x-6)^2=2x^2-12x+36=2(x-3)^2+18$。由配方法可知,当x=3时,$EF^2$的最小值为18。因为四边形EGBF是平行四边形,所以$EF=BG=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。

【分析】
第(1)问利用正方形的性质得到边、角关系，结合垂直条件推出角相等，证明三角形全等得到线段等量关系，进而求出点F坐标；第(2)问由(1)的全等关系设未知数，用勾股定理表示EF的平方，通过配方法求EF的最小值，再利用平行四边形对边相等得到BG的最小值。
【解析】
(1) 因为四边形OABC是正方形，所以OC=OA=6，∠COE=∠BCF=90°，故∠OCE + ∠CEO=90°。又BF⊥CE，所以∠FBC + ∠ECB=90°，结合∠OCE + ∠ECB=90°，得∠OCE=∠FBC。在△OCE和△CBF中，$\{\begin{array}{l}∠COE=∠BCF\\OC=CB\\∠OCE=∠CBF\end{array} $，所以△OCE≌△CBF（ASA），因此OE=CF。
因为E为OA中点，OA=6，所以OE=3，故CF=3，OF=OC - CF=6 - 3=3，即点F坐标为(0,3)。
(2) 由(1)知OE=CF，设OE=x（x≥0），则CF=x，OF=|6 - x|。在Rt△OEF中，由勾股定理得：
$EF^2=OE^2 + OF^2=x^2 + (6 - x)^2=2x^2 -12x +36=2(x-3)^2 +18$
因为$2(x-3)^2≥0$，所以当x=3时，$EF^2$最小为18，即EF最小值为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
又四边形EGBF是平行四边形，故BG=EF，因此BG的最小值为$3\sqrt{2}$。
【答案】
(1)(0,3)；(2)$3\sqrt{2}$
【知识点】
正方形性质；全等三角形判定与性质；平行四边形性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查几何图形的性质与最值问题，核心是通过全等三角形建立线段关系，再用配方法求二次式最小值，体现了数形结合思想，需要学生具备知识综合运用能力。
【难度系数】
0.5

5.如图,在四边形ABCD中,AB//DC,AD=BC=5,DC=7,AB=13,点P从点A出发,以3个单位长度/秒的速度沿AD→DC向终点C运动,同时点Q从点B出发,以1个单位长度/秒的速度沿BA向终点A运动,在运动期间,当四边形PQBC为平行四边形时,运动时间为秒。

5. 3

【分析】
要解决这个问题，需利用平行四边形的判定条件：对边平行且相等。结合等腰梯形AB//DC的性质，可知当四边形PQBC为平行四边形时，PC//BQ且PC=BQ。设运动时间为t秒，先确定动点P的位置，再用t表示PC和BQ的长度，列方程求解即可。
【解析】
设运动时间为t秒。
1. 分析线段长度：
点Q从B出发，以1单位/秒沿BA运动，故BQ = t。
点P从A出发，以3单位/秒沿AD→DC运动，AD=5，当P在DC上时，3t ＞5，此时P在DC上运动的路程为3t -5，因此PC = DC - (3t -5) =7 - (3t -5)=12 -3t。
2. 利用平行四边形性质列方程：
因为AB//DC，所以PC//BQ，要使四边形PQBC为平行四边形，需PC=BQ，即：
12 -3t = t
解得：t=3。
3. 验证：当t=3时，3t=9＞5，P在DC上，PC=12-9=3，BQ=3，满足PC=BQ，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形判定、等腰梯形性质、动点问题
【点评】
本题结合等腰梯形的性质，通过动点的运动阶段分析线段长度，利用平行四边形对边相等的条件建立方程，关键是准确表示动点运动后的线段长度，避免忽略动点位置的判断。
【难度系数】
0.5