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9.如图所示的剪拼过程(由左向右)可以验证的公式是 (
A.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B.$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
C.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$a(a + b) = (a - b)(a + 2b)$
A
)A.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B.$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
C.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$a(a + b) = (a - b)(a + 2b)$
答案
9.A
解析
【分析】
本题通过图形剪拼前后阴影部分面积不变的特点，推导对应的代数公式。首先计算左侧阴影面积：左侧是边长为$a$的正方形，减去边长为$b$的小正方形，阴影面积为大正方形面积减去小正方形面积；再计算右侧阴影面积：左侧阴影剪拼后形成一个长方形，其长和宽可结合图形标注得出，阴影面积为该长方形的面积；最后根据面积相等推导公式。
【解析】
1. 计算左侧阴影面积：左侧图形是边长为$a$的正方形，剪去边长为$b$的小正方形，因此阴影面积$S_左 = a^2 - b^2$。
2. 计算右侧阴影面积：将左侧阴影剪拼为右侧的长方形，该长方形的长为$(a+b)$，宽为$(a-b)$，因此右侧阴影面积$S_右 = (a+b)(a-b)$。
3. 由于剪拼过程中阴影面积不变，即$S_左 = S_右$，因此$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、图形面积计算
【点评】
本题利用割补法，通过几何图形的面积关系验证代数公式，体现了数形结合的思想，是基础的公式验证类题目。
【难度系数】
0.6
本题通过图形剪拼前后阴影部分面积不变的特点，推导对应的代数公式。首先计算左侧阴影面积：左侧是边长为$a$的正方形，减去边长为$b$的小正方形，阴影面积为大正方形面积减去小正方形面积；再计算右侧阴影面积：左侧阴影剪拼后形成一个长方形，其长和宽可结合图形标注得出，阴影面积为该长方形的面积；最后根据面积相等推导公式。
【解析】
1. 计算左侧阴影面积：左侧图形是边长为$a$的正方形，剪去边长为$b$的小正方形，因此阴影面积$S_左 = a^2 - b^2$。
2. 计算右侧阴影面积：将左侧阴影剪拼为右侧的长方形，该长方形的长为$(a+b)$，宽为$(a-b)$，因此右侧阴影面积$S_右 = (a+b)(a-b)$。
3. 由于剪拼过程中阴影面积不变，即$S_左 = S_右$，因此$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、图形面积计算
【点评】
本题利用割补法，通过几何图形的面积关系验证代数公式，体现了数形结合的思想，是基础的公式验证类题目。
【难度系数】
0.6
10.如图所示的运算程序中,如果开始输入$x$的值为2,可以发现第一次输出的结果为$-\dfrac{1}{2}$,第二次输出的结果为$-2$……则第2025次输出的结果是（
A.1
B.2
C.$-2$
D.$-\dfrac{1}{2}$
A
）A.1
B.2
C.$-2$
D.$-\dfrac{1}{2}$
答案
10.A 【解析】第1次输出的结果为$-\dfrac{1}{2}$,第2次输出的结果为$-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}+1}=-2$,第3次输出的结果为$-\dfrac{1}{-2+1}=1$,第4次输出的结果为$-\dfrac{1}{1+1}=-\dfrac{1}{2}$……所以每3次为周期,以$-\dfrac{1}{2},-2,1$循环。因为$2025÷3=675$,所以第2025次输出的结果是1。故选A。
解析
【分析】
要解决这个问题，需根据运算程序依次计算前几次的输出结果，从中找出输出结果的循环周期，再通过计算2025除以周期数的余数，确定第2025次的输出结果。具体步骤为：先计算第1次、第2次、第3次、第4次的输出，找到周期规律，再利用周期的周期性求解。
【解析】
根据运算程序，依次计算每次的输出：
1. 第1次：输入$ x=2 $，输出为$ -\dfrac{1}{2} $；
2. 第2次：输入为第1次的输出加1，即$ -\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2} $，输出为$ -\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = -2 $；
3. 第3次：输入为第2次的输出加1，即$ -2 + 1 = -1 $，输出为$ -\dfrac{1}{-1} = 1 $；
4. 第4次：输入为第3次的输出加1，即$ 1 + 1 = 2 $，输出为$ -\dfrac{1}{2} $；
由此可知，输出结果以$ -\dfrac{1}{2}, -2, 1 $为一个周期，周期长度为3。
因为$ 2025 ÷ 3 = 675 $，无余数，所以第2025次输出的结果对应周期的第3个，即1。
【答案】
A
【知识点】
找规律，代数式求值
【点评】
本题是典型的循环规律类题目，核心是通过计算前几次结果找到周期，再利用周期的周期性解决问题，属于初中基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需根据运算程序依次计算前几次的输出结果，从中找出输出结果的循环周期，再通过计算2025除以周期数的余数，确定第2025次的输出结果。具体步骤为：先计算第1次、第2次、第3次、第4次的输出，找到周期规律，再利用周期的周期性求解。
【解析】
根据运算程序，依次计算每次的输出：
1. 第1次：输入$ x=2 $，输出为$ -\dfrac{1}{2} $；
2. 第2次：输入为第1次的输出加1，即$ -\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2} $，输出为$ -\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = -2 $；
3. 第3次：输入为第2次的输出加1，即$ -2 + 1 = -1 $，输出为$ -\dfrac{1}{-1} = 1 $；
4. 第4次：输入为第3次的输出加1，即$ 1 + 1 = 2 $，输出为$ -\dfrac{1}{2} $；
由此可知，输出结果以$ -\dfrac{1}{2}, -2, 1 $为一个周期，周期长度为3。
因为$ 2025 ÷ 3 = 675 $，无余数，所以第2025次输出的结果对应周期的第3个，即1。
【答案】
A
【知识点】
找规律，代数式求值
【点评】
本题是典型的循环规律类题目，核心是通过计算前几次结果找到周期，再利用周期的周期性解决问题，属于初中基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
11.分解因式:$a^2 - 2a=$
$a(a-2)$
。答案
11.$a(a-2)$
解析
【分析】这道题是分解因式，需运用提公因式法。先观察多项式的两项，找到它们的公共因式，再将公因式提取出来完成分解。多项式$a^2 - 2a$的两项都含有公因式$a$，据此可进行分解。
【解析】对于多项式$a^2 - 2a$，确定公因式：各项系数的最大公约数为1，相同字母为$a$，最低次幂是$a^1$，因此公因式是$a$。提取公因式后，原式变为$a(a - 2)$。
【答案】$a(a - 2)$
【知识点】因式分解-提公因式法
【点评】本题是基础的因式分解题，直接考查提公因式法的应用，属于因式分解中最基础的题型，只要掌握提公因式的基本方法就能轻松解答。
【难度系数】0.9
【解析】对于多项式$a^2 - 2a$，确定公因式：各项系数的最大公约数为1，相同字母为$a$，最低次幂是$a^1$，因此公因式是$a$。提取公因式后，原式变为$a(a - 2)$。
【答案】$a(a - 2)$
【知识点】因式分解-提公因式法
【点评】本题是基础的因式分解题，直接考查提公因式法的应用，属于因式分解中最基础的题型，只要掌握提公因式的基本方法就能轻松解答。
【难度系数】0.9
12.某校对100名女生的身高进行了测量,身高在157 cm至162 cm的小组有20人,则该组的频率是
$0.2$
。答案
12.$0.2$
解析
【分析】首先明确频率的计算公式：频率=频数÷数据总数。本题中，身高在157cm至162cm小组的人数为频数（20人），测量的女生总人数为数据总数（100人），将对应数值代入公式即可求出该组的频率。
【解析】根据频率的计算公式，代入已知条件：频数为20，数据总数为100，因此该组的频率=20÷100=0.2。
【答案】0.2
【知识点】频率的计算；频数与频率
【点评】本题考查频率的基础计算，属于统计板块的基础题型，只要牢记频率的计算公式即可快速解答，难度较低，适合巩固统计的基础概念。
【难度系数】0.9
【解析】根据频率的计算公式，代入已知条件：频数为20，数据总数为100，因此该组的频率=20÷100=0.2。
【答案】0.2
【知识点】频率的计算；频数与频率
【点评】本题考查频率的基础计算，属于统计板块的基础题型，只要牢记频率的计算公式即可快速解答，难度较低，适合巩固统计的基础概念。
【难度系数】0.9
13.若$x^2 + kx + 9 = (x - 3)^2$，则$k$的值是
$-6$
。答案
13.$-6$
解析
【分析】本题可先利用完全平方公式将等式右边的式子展开，再根据多项式相等时对应项的系数相等，即可求出k的值。
【解析】先展开右边的完全平方：$(x - 3)^2 = x^2 - 2 · x · 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$。因为等式$x^2 + kx + 9 = (x - 3)^2$成立，所以左右两边多项式的对应项系数相等，对比一次项系数可得：$k = -6$。
【答案】-6
【知识点】完全平方公式；多项式系数对应
【点评】本题是完全平方公式的基础应用，核心是掌握完全平方公式的展开形式，利用等式两边多项式对应项系数相等求解，题目难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
【解析】先展开右边的完全平方：$(x - 3)^2 = x^2 - 2 · x · 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$。因为等式$x^2 + kx + 9 = (x - 3)^2$成立，所以左右两边多项式的对应项系数相等，对比一次项系数可得：$k = -6$。
【答案】-6
【知识点】完全平方公式；多项式系数对应
【点评】本题是完全平方公式的基础应用，核心是掌握完全平方公式的展开形式，利用等式两边多项式对应项系数相等求解，题目难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
14.如图,将三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置。已知$BF=9$,$EC=3$,则$A,D$两点之间的距离是________。
答案
14.$3$
解析
【分析】要解决本题，需运用平移的性质：图形平移后，对应点所连的线段平行且相等，对应线段相等。本题中△ABC平移到△DEF，对应点为A→D、B→E、C→F，因此AD=BE=CF，结合线段BF的组成关系，即可计算出AD的长度。
【解析】
∵△ABC沿水平方向向右平移到△DEF的位置，
∴BE = CF，且AD = BE（平移的性质：对应点所连线段相等）。
又
∵线段BF由BE、EC、CF组成，即BF = BE + EC + CF，
已知BF=9，EC=3，
∴BE + CF = BF - EC = 9 - 3 = 6。
∵BE = CF，
∴BE = 6÷2 = 3，
因此AD = BE = 3。
【答案】3
【知识点】平移的性质
【点评】本题考查平移的基础性质，属于常规基础题，核心是明确平移后对应点连线相等，结合线段和差关系计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】
∵△ABC沿水平方向向右平移到△DEF的位置，
∴BE = CF，且AD = BE（平移的性质：对应点所连线段相等）。
又
∵线段BF由BE、EC、CF组成，即BF = BE + EC + CF，
已知BF=9，EC=3，
∴BE + CF = BF - EC = 9 - 3 = 6。
∵BE = CF，
∴BE = 6÷2 = 3，
因此AD = BE = 3。
【答案】3
【知识点】平移的性质
【点评】本题考查平移的基础性质，属于常规基础题，核心是明确平移后对应点连线相等，结合线段和差关系计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.6
15.某市为美化环境,计划种植树木1200棵。在种植完400棵后,由于志愿者的加入,实际每天种植的棵数比原计划增加了25%,结果比原计划提前4天完成任务。设原计划每天植树x棵,则x满足的方程是$\frac{1200}{x} - ( \frac{400}{x} + \frac{800}{1.25x} ) = 4$。
答案
15.$\dfrac{1200}{x}-\dfrac{400}{x}-\dfrac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是抓住“原计划完成总任务的时间与实际完成总任务的时间差为4天”这一等量关系。首先分别计算原计划总时间和实际总时间，再根据时间差列出方程：原计划总时间是总棵数除以原计划每天植树棵数；实际总时间分为两部分，先种400棵的时间和剩余棵数的种植时间，剩余棵数的种植效率比原计划高25%，据此计算实际总时间，最后结合时间差建立等式。
【解析】
1. 计算原计划总时间：原计划每天植树$x$棵，总任务1200棵，因此原计划总时间为$\frac{1200}{x}$天；
2. 计算实际总时间：
前400棵的种植时间：$\frac{400}{x}$天；
剩余棵数：$1200 - 400 = 800$棵；
实际每天种植棵数：比原计划增加25%，即$(1+25\%)x$棵，因此剩余800棵的种植时间为$\frac{800}{(1+25\%)x}$天；
实际总时间：$\frac{400}{x} + \frac{800}{(1+25\%)x}$天；
3. 根据“原计划时间 - 实际时间 = 提前的4天”，列出方程：
$\frac{1200}{x} - ( \frac{400}{x} + \frac{800}{(1+25\%)x} ) = 4$，整理后为$\frac{1200}{x}-\frac{400}{x}-\frac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$。
【答案】
$\dfrac{1200}{x}-\dfrac{400}{x}-\dfrac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$
【知识点】
分式方程的应用、列代数式
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，属于工程类问题，关键是分阶段计算实际工作时间，准确理解“效率增加25%”的含义，理清时间差的等量关系即可正确列方程，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，核心是抓住“原计划完成总任务的时间与实际完成总任务的时间差为4天”这一等量关系。首先分别计算原计划总时间和实际总时间，再根据时间差列出方程：原计划总时间是总棵数除以原计划每天植树棵数；实际总时间分为两部分，先种400棵的时间和剩余棵数的种植时间，剩余棵数的种植效率比原计划高25%，据此计算实际总时间，最后结合时间差建立等式。
【解析】
1. 计算原计划总时间：原计划每天植树$x$棵，总任务1200棵，因此原计划总时间为$\frac{1200}{x}$天；
2. 计算实际总时间：
前400棵的种植时间：$\frac{400}{x}$天；
剩余棵数：$1200 - 400 = 800$棵；
实际每天种植棵数：比原计划增加25%，即$(1+25\%)x$棵，因此剩余800棵的种植时间为$\frac{800}{(1+25\%)x}$天；
实际总时间：$\frac{400}{x} + \frac{800}{(1+25\%)x}$天；
3. 根据“原计划时间 - 实际时间 = 提前的4天”，列出方程：
$\frac{1200}{x} - ( \frac{400}{x} + \frac{800}{(1+25\%)x} ) = 4$，整理后为$\frac{1200}{x}-\frac{400}{x}-\frac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$。
【答案】
$\dfrac{1200}{x}-\dfrac{400}{x}-\dfrac{1200-400}{(1+25\%)x}=4$
【知识点】
分式方程的应用、列代数式
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，属于工程类问题，关键是分阶段计算实际工作时间，准确理解“效率增加25%”的含义，理清时间差的等量关系即可正确列方程，难度适中。
【难度系数】
0.6
16.如图,将边长分别为2,3,5的正方形GBIR,AFNE,CJQH放置在长方形ABCD内,阴影部分的面积分别为$S_1,S_2$,若$S_1=S_2$,则长方形ABCD的周长是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
16.26 【解析】设$AB=CD=x$,$AD=BC=y$。根据已知可得,$FG=AB-AF-BG=x-3-2=x-5$,$KG=BC-CH=y-5$,$MN=AF-DJ=3-(x-5)=8-x$,$MQ=QJ-DE=5-(y-3)=8-y$。因为$S_1=S_2$,所以$(8-x)(8-y)=(x-5)(y-5)$,化简整理可得$x+y=13$。所以长方形$ABCD$的周长是$2(x+y)=26$。
解析
【分析】
要解决本题，需先设长方形ABCD的长和宽为未知数，结合已知正方形的边长，用未知数表示出两个阴影部分的面积S₁和S₂，再根据S₁=S₂的条件建立等式，化简得到长与宽的和，最后利用长方形周长公式计算结果。
【解析】
设长方形ABCD的长AB=x，宽AD=y。
根据三个正方形的边长（GBIR边长为2，AFNE边长为3，CJQH边长为5），推导得：
FG = AB - AF - BG = x - 3 - 2 = x - 5；
KG = BC - CH = y - 5；
MN = 3 - (x - 5) = 8 - x，MQ = 5 - (y - 3) = 8 - y。
因此阴影部分面积：S₁=(8 - x)(8 - y)，S₂=(x - 5)(y - 5)。
因为S₁=S₂，所以：
(8 - x)(8 - y) = (x - 5)(y - 5)
展开等式两边：
左边：64 - 8x - 8y + xy
右边：xy - 5x - 5y + 25
消去xy后整理得：
64 - 8x - 8y = -5x -5y +25
移项合并同类项：
39 = 3(x + y)
解得x + y =13。
长方形ABCD的周长为2(x + y)=2×13=26。
【答案】
26
【知识点】
长方形周长、代数式化简、几何线段关系
【点评】
本题结合几何图形与代数运算，通过设未知数表示线段长度和阴影面积，利用等式化简求解，考察学生的几何分析能力和代数运算能力，是一道综合性较强的中等难度题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先设长方形ABCD的长和宽为未知数，结合已知正方形的边长，用未知数表示出两个阴影部分的面积S₁和S₂，再根据S₁=S₂的条件建立等式，化简得到长与宽的和，最后利用长方形周长公式计算结果。
【解析】
设长方形ABCD的长AB=x，宽AD=y。
根据三个正方形的边长（GBIR边长为2，AFNE边长为3，CJQH边长为5），推导得：
FG = AB - AF - BG = x - 3 - 2 = x - 5；
KG = BC - CH = y - 5；
MN = 3 - (x - 5) = 8 - x，MQ = 5 - (y - 3) = 8 - y。
因此阴影部分面积：S₁=(8 - x)(8 - y)，S₂=(x - 5)(y - 5)。
因为S₁=S₂，所以：
(8 - x)(8 - y) = (x - 5)(y - 5)
展开等式两边：
左边：64 - 8x - 8y + xy
右边：xy - 5x - 5y + 25
消去xy后整理得：
64 - 8x - 8y = -5x -5y +25
移项合并同类项：
39 = 3(x + y)
解得x + y =13。
长方形ABCD的周长为2(x + y)=2×13=26。
【答案】
26
【知识点】
长方形周长、代数式化简、几何线段关系
【点评】
本题结合几何图形与代数运算，通过设未知数表示线段长度和阴影面积，利用等式化简求解，考察学生的几何分析能力和代数运算能力，是一道综合性较强的中等难度题。
【难度系数】
0.5
