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1.(真题·宁波北仑)计算$\sqrt{6^2}$的结果是 …………………… (
A.$-6$
B.$6$
C.$\pm 6$
D.$\sqrt{6}$
B
)A.$-6$
B.$6$
C.$\pm 6$
D.$\sqrt{6}$
答案
B
解析
【分析】
要计算$\sqrt{6^2}$，需明确二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数），且算术平方根的结果是非负的。先计算被开方数$6^2$，再根据二次根式的性质化简即可得出结果。
【解析】
1. 先计算被开方数：$6^2 = 36$；
2. 根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根是其正的平方根，因此$\sqrt{36}=6$，即$\sqrt{6^2}=6$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、算术平方根
【点评】
本题考查二次根式的基础性质，属于概念类基础题，只需掌握$\sqrt{a^2}=|a|$及算术平方根的非负性即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
要计算$\sqrt{6^2}$，需明确二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数），且算术平方根的结果是非负的。先计算被开方数$6^2$，再根据二次根式的性质化简即可得出结果。
【解析】
1. 先计算被开方数：$6^2 = 36$；
2. 根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根是其正的平方根，因此$\sqrt{36}=6$，即$\sqrt{6^2}=6$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、算术平方根
【点评】
本题考查二次根式的基础性质，属于概念类基础题，只需掌握$\sqrt{a^2}=|a|$及算术平方根的非负性即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
2.(真题·温州苍南)二次根式$\sqrt{x-3}$中,字母$x$的取值范围为………………（
A.$x≥ 3$
B.$x＞3$
C.$x＜3$
D.$x≤ 3$
A
）A.$x≥ 3$
B.$x＞3$
C.$x＜3$
D.$x≤ 3$
答案
A
解析
【分析】要确定二次根式中字母的取值范围，需依据二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数（即大于或等于0）。本题中二次根式的被开方数是$x-3$，因此只需让$x-3≥0$，解这个不等式即可得到$x$的取值范围，再对应选项选出正确答案。
【解析】根据二次根式的定义，二次根式的被开方数需为非负数，因此对于$\sqrt{x-3}$，有$x - 3 ≥ 0$，解该不等式得$x ≥ 3$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件、一元一次不等式的解法
【点评】本题为基础题型，直接考查二次根式有意义的条件，解题思路清晰，只需牢记被开方数非负的规则，解简单不等式即可得出结果，属于易得分题。
【难度系数】0.9
【解析】根据二次根式的定义，二次根式的被开方数需为非负数，因此对于$\sqrt{x-3}$，有$x - 3 ≥ 0$，解该不等式得$x ≥ 3$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件、一元一次不等式的解法
【点评】本题为基础题型，直接考查二次根式有意义的条件，解题思路清晰，只需牢记被开方数非负的规则，解简单不等式即可得出结果，属于易得分题。
【难度系数】0.9
3.(真题·台州临海)下列二次根式属于最简二次根式的是（
A.$\sqrt{0.1}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{4}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B
）A.$\sqrt{0.1}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{4}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
答案
B
解析
【分析】
判断最简二次根式需依据其定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。逐一分析各选项：
选项A：√0.1可化为√(1/10)，被开方数含分母，不符合最简二次根式条件；
选项B：√3的被开方数是整数，不含分母，且3无法分解出能开得尽方的因数，符合定义；
选项C：√4=2，被开方数4能开得尽方，不符合；
选项D：√(1/2)的被开方数含分母，不符合。
【解析】
最简二次根式需满足两个核心条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
对各选项逐一判定：
A. √0.1 = √(1/10)，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B. √3，被开方数不含分母，且3不能开方，满足最简二次根式的定义；
C. √4 = 2，被开方数4是2的平方，能开得尽方，不是最简二次根式；
D. √(1/2)，被开方数含分母，不是最简二次根式。
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式
【点评】
本题考查最简二次根式的概念，属于基础题型，只需牢记最简二次根式的两个判定条件，逐一分析选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
判断最简二次根式需依据其定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。逐一分析各选项：
选项A：√0.1可化为√(1/10)，被开方数含分母，不符合最简二次根式条件；
选项B：√3的被开方数是整数，不含分母，且3无法分解出能开得尽方的因数，符合定义；
选项C：√4=2，被开方数4能开得尽方，不符合；
选项D：√(1/2)的被开方数含分母，不符合。
【解析】
最简二次根式需满足两个核心条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
对各选项逐一判定：
A. √0.1 = √(1/10)，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B. √3，被开方数不含分母，且3不能开方，满足最简二次根式的定义；
C. √4 = 2，被开方数4是2的平方，能开得尽方，不是最简二次根式；
D. √(1/2)，被开方数含分母，不是最简二次根式。
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式
【点评】
本题考查最简二次根式的概念，属于基础题型，只需牢记最简二次根式的两个判定条件，逐一分析选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4.(真题·绍兴上虞)关于数“$\sqrt{2}-1$”,下列说法正确的是 （
A.它是一个有理数
B.它是一个无理数
C.它是一个整数
D.它是一个无限循环小数
B
）A.它是一个有理数
B.它是一个无理数
C.它是一个整数
D.它是一个无限循环小数
答案
B
解析
【分析】要判断$\sqrt{2}-1$的属性，需先明确有理数、无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，包括有限小数、无限循环小数；无理数是无限不循环小数，开方开不尽的数属于无理数。先判断$\sqrt{2}$的属性，再推导$\sqrt{2}-1$的属性，最后逐一分析选项。
【解析】首先，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数。根据无理数的性质：无理数与有理数的和或差仍为无理数，因此$\sqrt{2}-1$（1是有理数）是无理数。逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{2}-1$不能表示为两个整数的比，不是有理数，错误；
B选项：符合无理数定义，正确；
C选项：$\sqrt{2}\approx1.414$，则$\sqrt{2}-1\approx0.414$，不是整数，错误；
D选项：无理数是无限不循环小数，不是无限循环小数，错误。
【答案】B
【知识点】无理数的定义、有理数的分类
【点评】本题考查无理数与有理数的基本概念，属于基础概念应用类题目，只要准确掌握定义即可快速判断，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】首先，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数。根据无理数的性质：无理数与有理数的和或差仍为无理数，因此$\sqrt{2}-1$（1是有理数）是无理数。逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{2}-1$不能表示为两个整数的比，不是有理数，错误；
B选项：符合无理数定义，正确；
C选项：$\sqrt{2}\approx1.414$，则$\sqrt{2}-1\approx0.414$，不是整数，错误；
D选项：无理数是无限不循环小数，不是无限循环小数，错误。
【答案】B
【知识点】无理数的定义、有理数的分类
【点评】本题考查无理数与有理数的基本概念，属于基础概念应用类题目，只要准确掌握定义即可快速判断，难度较低。
【难度系数】0.8
5.(真题·宁波余姚)在$-\sqrt{3^2},(-\sqrt{3})^2,-(\sqrt{3})^2,0$四个数中,最大的数是 ……………………………………………………（
A.$-\sqrt{3^2}$
B.$(-\sqrt{3})^2$
C.$-(\sqrt{3})^2$
D.0
B
）A.$-\sqrt{3^2}$
B.$(-\sqrt{3})^2$
C.$-(\sqrt{3})^2$
D.0
答案
B
解析
【分析】要找出四个数中的最大数，需先对每个带根号的数进行化简计算，明确每个数的具体值，再根据实数大小比较规则（正数大于0，0大于负数，正数中数值大的更大）判断。
【解析】先分别化简四个数：
1. $-\sqrt{3^2} = -\sqrt{9} = -3$；
2. $(-\sqrt{3})^2 = (-\sqrt{3}) × (-\sqrt{3}) = 3$；
3. $-(\sqrt{3})^2 = -3$；
4. 第四个数为0。
将四个数排序：$3 ＞ 0 ＞ -3 = -3$，因此最大的数是$(-\sqrt{3})^2$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】二次根式运算、实数大小比较
【点评】本题考查二次根式基本运算和实数大小比较，核心是区分带符号的二次根式运算，避免符号错误，化简后直接比较即可，属于基础题。
【难度系数】0.7
【解析】先分别化简四个数：
1. $-\sqrt{3^2} = -\sqrt{9} = -3$；
2. $(-\sqrt{3})^2 = (-\sqrt{3}) × (-\sqrt{3}) = 3$；
3. $-(\sqrt{3})^2 = -3$；
4. 第四个数为0。
将四个数排序：$3 ＞ 0 ＞ -3 = -3$，因此最大的数是$(-\sqrt{3})^2$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】二次根式运算、实数大小比较
【点评】本题考查二次根式基本运算和实数大小比较，核心是区分带符号的二次根式运算，避免符号错误，化简后直接比较即可，属于基础题。
【难度系数】0.7
6.(真题·台州椒江)下列各式不成立的是 ……………………（
A.$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
B.$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$
C.$\sqrt{4\dfrac{4}{17}}=4\sqrt{\dfrac{4}{17}}$
D.$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
C
）A.$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
B.$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$
C.$\sqrt{4\dfrac{4}{17}}=4\sqrt{\dfrac{4}{17}}$
D.$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
答案
C
解析
【分析】要判断各选项中的等式是否成立，需将每个选项的带分数化为假分数，再利用二次根式的性质分别计算等式左右两边的值，比较是否相等。这类带分数的二次根式变形可通过“带分数化假分数+二次根式化简”的方法验证，核心是掌握√(a²b)=a√b（a≥0）的性质。
【解析】逐个验证选项：
A选项：左边√(2又2/3)=√(8/3)，右边2√(2/3)=√(2²×2/3)=√(8/3)，左右相等，成立；
B选项：左边√(3又3/8)=√(27/8)，右边3√(3/8)=√(3²×3/8)=√(27/8)，左右相等，成立；
C选项：左边√(4又4/17)=√((4×17+4)/17)=√(72/17)，右边4√(4/17)=√(4²×4/17)=√(64/17)，72≠64，左右不相等，不成立；
D选项：左边√(5又5/24)=√((5×24+5)/24)=√(125/24)，右边5√(5/24)=√(5²×5/24)=√(125/24)，左右相等，成立；
综上，不成立的是C选项。
【答案】C
【知识点】二次根式的化简、带分数的二次根式变形
【点评】本题属于二次根式化简的基础题，关键是熟练掌握带分数化假分数及二次根式的性质，计算时需注意分子分母的运算，避免因粗心出错。
【难度系数】0.5
【解析】逐个验证选项：
A选项：左边√(2又2/3)=√(8/3)，右边2√(2/3)=√(2²×2/3)=√(8/3)，左右相等，成立；
B选项：左边√(3又3/8)=√(27/8)，右边3√(3/8)=√(3²×3/8)=√(27/8)，左右相等，成立；
C选项：左边√(4又4/17)=√((4×17+4)/17)=√(72/17)，右边4√(4/17)=√(4²×4/17)=√(64/17)，72≠64，左右不相等，不成立；
D选项：左边√(5又5/24)=√((5×24+5)/24)=√(125/24)，右边5√(5/24)=√(5²×5/24)=√(125/24)，左右相等，成立；
综上，不成立的是C选项。
【答案】C
【知识点】二次根式的化简、带分数的二次根式变形
【点评】本题属于二次根式化简的基础题，关键是熟练掌握带分数化假分数及二次根式的性质，计算时需注意分子分母的运算，避免因粗心出错。
【难度系数】0.5
7.(真题·金华金东)下列计算中正确的是 ……………………（
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{3}-\sqrt{2}=1$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=±3$
C
）A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{3}-\sqrt{2}=1$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=±3$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减、乘除运算，解题思路是依据二次根式的运算法则，逐一分析每个选项的计算是否正确，进而选出正确答案。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法直接合并，因此$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，该选项错误；
选项B：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法直接相减，因此$\sqrt{3}-\sqrt{2}≠1$，该选项错误；
选项C：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，该选项正确；
选项D：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$，二次根式除法结果为非负数，不存在负根，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的基本运算法则，解题关键是牢记：只有同类二次根式才能合并，二次根式乘除运算时被开方数按法则运算，且结果为非负数，熟练掌握法则即可准确判断。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的加减、乘除运算，解题思路是依据二次根式的运算法则，逐一分析每个选项的计算是否正确，进而选出正确答案。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法直接合并，因此$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，该选项错误；
选项B：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法直接相减，因此$\sqrt{3}-\sqrt{2}≠1$，该选项错误；
选项C：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，该选项正确；
选项D：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$，二次根式除法结果为非负数，不存在负根，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的基本运算法则，解题关键是牢记：只有同类二次根式才能合并，二次根式乘除运算时被开方数按法则运算，且结果为非负数，熟练掌握法则即可准确判断。
【难度系数】
0.8
8.(真题·杭州钱塘)若二次根式$\sqrt{a^2}=5$,则$a$的值是 … (
A.$\sqrt{5}$
B.$\pm\sqrt{5}$
C.$5$
D.$\pm5$
D
)A.$\sqrt{5}$
B.$\pm\sqrt{5}$
C.$5$
D.$\pm5$
答案
D
解析
【分析】本题考查二次根式的性质，需明确二次根式$\sqrt{x^2}$的化简结果为$x$的绝对值，而非$x$本身。解题时，先利用该性质将原式转化为关于$a$的绝对值方程，再根据绝对值的定义求解$a$的值，最后对应选项得出答案。
【解析】根据二次根式的性质：对于任意实数$a$，$\sqrt{a^2}=|a|$，因此原式$\sqrt{a^2}=5$可转化为$|a|=5$。根据绝对值的定义，绝对值等于5的数有两个，即$5$和$-5$，所以$a=\pm5$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】二次根式的性质、绝对值的概念
【点评】本题属于基础题，直接考察二次根式的核心性质，需注意区分$\sqrt{a^2}$与$(\sqrt{a})^2$的差异（后者要求$a≥0$，结果为$a$），此处$a$可为任意实数，化简后为绝对值，进而求解$a$的值，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】根据二次根式的性质：对于任意实数$a$，$\sqrt{a^2}=|a|$，因此原式$\sqrt{a^2}=5$可转化为$|a|=5$。根据绝对值的定义，绝对值等于5的数有两个，即$5$和$-5$，所以$a=\pm5$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】二次根式的性质、绝对值的概念
【点评】本题属于基础题，直接考察二次根式的核心性质，需注意区分$\sqrt{a^2}$与$(\sqrt{a})^2$的差异（后者要求$a≥0$，结果为$a$），此处$a$可为任意实数，化简后为绝对值，进而求解$a$的值，难度较低。
【难度系数】0.7
9.(真题·杭州滨江)已知$a=\sqrt{18}-\sqrt{2}$,则实数$a$满足…… (
A.$2＜a＜3$
B.$3≤ a＜4$
C.$4≤ a＜5$
D.$5＜a＜6$
A
)A.$2＜a＜3$
B.$3≤ a＜4$
C.$4≤ a＜5$
D.$5＜a＜6$
答案
解析:$a=\sqrt{18}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}=\sqrt{8}$,因为$\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$即$2＜\sqrt{8}＜3$,所以$2＜a＜3$。故选:A。
解析
【分析】要确定实数$a=\sqrt{18}-\sqrt{2}$的范围，需先化简二次根式，合并同类二次根式后，将结果转化为带根号的形式，再通过比较被开方数估算其大小，进而选出正确选项。
【解析】先化简二次根式：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，则$a=\sqrt{18}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$；再将$2\sqrt{2}$转化为根号形式：$2\sqrt{2}=\sqrt{2^2×2}=\sqrt{8}$；因为$4＜8＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{8}＜3$，也就是$2＜ a＜3$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】二次根式化简、同类二次根式合并、无理数估算
【点评】本题考查二次根式的化简与无理数的估算，解题关键是正确化简二次根式并合理估算无理数的取值范围，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】先化简二次根式：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，则$a=\sqrt{18}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$；再将$2\sqrt{2}$转化为根号形式：$2\sqrt{2}=\sqrt{2^2×2}=\sqrt{8}$；因为$4＜8＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{8}＜3$，也就是$2＜ a＜3$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】二次根式化简、同类二次根式合并、无理数估算
【点评】本题考查二次根式的化简与无理数的估算，解题关键是正确化简二次根式并合理估算无理数的取值范围，属于基础题型。
【难度系数】0.7
