例1 在下列式子中，$x$可以取1和2的是 （）

A.$\dfrac{1}{x-1}$
B.$\sqrt{x-1}$
C.$\sqrt{x-2}$
D.$\dfrac{1}{x-2}$

B

【分析】
要判断x可以取1和2的选项，需分别求出每个选项中x的取值范围，再看哪个范围同时包含1和2。
【解析】
选项A：分式$\dfrac{1}{x-1}$有意义的条件是分母不为0，即$x-1≠0$，得$x≠1$，因此x不能取1，排除A；
选项B：二次根式$\sqrt{x-1}$有意义的条件是被开方数非负，即$x-1≥0$，得$x≥1$，该范围包含1和2，符合要求；
选项C：二次根式$\sqrt{x-2}$有意义的条件是$x-2≥0$，得$x≥2$，不包含1，排除C；
选项D：分式$\dfrac{1}{x-2}$有意义的条件是$x-2≠0$，得$x≠2$，因此x不能取2，排除D。
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查分式和二次根式的定义域，属于基础题型，只需牢记两种式子有意义的条件，逐个分析选项即可得出答案。
【难度系数】
0.8

练 1-1 当$x=$时，$\sqrt{x-3}$的值最小。

3

【分析】首先回忆二次根式的性质：二次根式$\sqrt{a}$（$a≥0$）的值是非负的，即$\sqrt{a}≥0$，当且仅当被开方数$a=0$时，二次根式的值取得最小值0。要找到使$\sqrt{x-3}$最小的$x$，只需让被开方数$x-3=0$，此时二次根式的值为0，是最小的非负数。
【解析】根据二次根式的非负性，$\sqrt{x-3}≥0$，当被开方数$x-3=0$时，$\sqrt{x-3}$取得最小值0。解方程$x-3=0$，得$x=3$。
【答案】3
【知识点】二次根式的非负性
【点评】本题考查二次根式的基本性质，属于基础题，掌握二次根式的值为非负数、最小值为0的知识点即可快速求解。
【难度系数】0.8

练1-2 已知$x,y$均为实数，$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+5$，则$x+y$的值为________。

7

【分析】
要解决本题，需依据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）确定x的取值，再代入原式求出y的值，最后计算x+y。具体思路：先根据两个二次根式的被开方数均非负，列不等式组求出x，再代入原式得y，进而计算x+y。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，因此：
对于$\sqrt{x-2}$，有$x-2≥0$，即$x≥2$；
对于$\sqrt{2-x}$，有$2-x≥0$，即$x≤2$。
联立两个不等式得$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+5$，得：
$y=\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}+5=0+0+5=5$。
因此$x+y=2+5=7$。
【答案】
7
【知识点】
二次根式有意义的条件，代数式求值
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件及代数式求值，核心是利用被开方数非负求出x的值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8

例2 下列化简正确的是 （）

A.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
B.$\sqrt{4+9}=2+3=5$
C.$(-\sqrt{2})^2=4$
D.$\sqrt{\dfrac{2}{9}}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

D

【分析】本题需根据二次根式的相关性质逐一分析各选项，判断化简是否正确。核心性质包括：$\sqrt{a^2}=|a|$，$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，且只有被开方数为乘积或商时才能拆分根号，和的形式不可拆分。
【解析】
选项A：$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3≠-3$，化简错误；
选项B：$\sqrt{4+9}=\sqrt{13}≠\sqrt{4}+\sqrt{9}=5$，被开方数为和的形式，不能拆分根号，化简错误；
选项C：$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2≠4$，化简错误；
选项D：$\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，符合二次根式除法性质，化简正确。
【答案】D
【知识点】二次根式的性质、二次根式的化简
【点评】本题考查二次根式的基础化简，需牢记二次根式的核心性质，避免常见错误（如混淆$\sqrt{a^2}$与$a$、错误拆分和的被开方数），属于基础题型。
【难度系数】0.6