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7. (2025·大连期末)如图，平行四边形$ABCD$的顶点$A$，$B$在$x$轴上，顶点$D$在$y$轴的正半轴上，$AD=5$，$AB=8$，点$A$的坐标为$(-3,0)$，则点$C$的坐标为.
答案
(8,4)
解析
∵点A的坐标为(-3,0)，AD=5，D在y轴正半轴上，设D(0,d)，d＞0。
由勾股定理，AD²=AO²+OD²，AO=3，∴5²=3²+d²，d²=16，d=4，即D(0,4)。
∵AB=8，A(-3,0)，B在x轴上，∴AB长度为8，OB=AB-OA=8-3=5，即B(5,0)。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD平行且等于BC，AD向量为(3,4)，∴B(5,0)向右平移3个单位，向上平移4个单位得C(5+3,0+4)=(8,4)。
由勾股定理，AD²=AO²+OD²，AO=3，∴5²=3²+d²，d²=16，d=4，即D(0,4)。
∵AB=8，A(-3,0)，B在x轴上，∴AB长度为8，OB=AB-OA=8-3=5，即B(5,0)。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD平行且等于BC，AD向量为(3,4)，∴B(5,0)向右平移3个单位，向上平移4个单位得C(5+3,0+4)=(8,4)。
8. 如图，在$□ ABCD$中，$AE⊥ BC$于点$E$，$AF⊥ CD$于点$F$.若$AE=4$，$AF=6$，$□ ABCD$的周长为$40$，则$□ ABCD$的面积为.
答案
48
解析
设$BC=x$，$CD=y$。
∵平行四边形$ABCD$的周长为40，
∴$2(x+y)=40$，即$x+y=20$。
∵$AE⊥BC$，$AF⊥CD$，$AE=4$，$AF=6$，
∴平行四边形面积$S=BC·AE=CD·AF$，即$4x=6y$，化简得$2x=3y$。
联立$\begin{cases}x+y=20\\2x=3y\end{cases}$，解得$x=12$，$y=8$。
∴面积$S=4x=4×12=48$。
∵平行四边形$ABCD$的周长为40，
∴$2(x+y)=40$，即$x+y=20$。
∵$AE⊥BC$，$AF⊥CD$，$AE=4$，$AF=6$，
∴平行四边形面积$S=BC·AE=CD·AF$，即$4x=6y$，化简得$2x=3y$。
联立$\begin{cases}x+y=20\\2x=3y\end{cases}$，解得$x=12$，$y=8$。
∴面积$S=4x=4×12=48$。
9. （2025·龙川县期末）如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$分别在边$BC$，$AD$上，$∠ AFB=∠ CED$.
（1）请判断$BF$与$DE$的位置关系，并说明理由；
（2）求证：$△ ABF≌△ CDE$.
（1）请判断$BF$与$DE$的位置关系，并说明理由；
（2）求证：$△ ABF≌△ CDE$.
答案
(1) $BF // DE$。
理由：
由于$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD // BC$。
$\therefore ∠ AFB = ∠ FBC$（内错角相等）。
又$\because ∠ AFB = ∠ CED$，
$\therefore ∠ FBC = ∠ CED$，
$\therefore BF // DE$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 证明：
$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB = CD$，$∠ A = ∠ C$。
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ C, \\ ∠ AFB = ∠ CED, \\ AB = CD.\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CDE (AAS)$。
理由：
由于$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD // BC$。
$\therefore ∠ AFB = ∠ FBC$（内错角相等）。
又$\because ∠ AFB = ∠ CED$，
$\therefore ∠ FBC = ∠ CED$，
$\therefore BF // DE$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 证明：
$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB = CD$，$∠ A = ∠ C$。
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ C, \\ ∠ AFB = ∠ CED, \\ AB = CD.\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CDE (AAS)$。
10. 如图，点$E$在$□ ABCD$内部，$AF// BE$，$DF// CE$.
（1）求证：$△ BCE≌△ ADF$；
（2）设$□ ABCD$的面积为$6$，求四边形$AEDF$的面积.
（1）求证：$△ BCE≌△ ADF$；
（2）设$□ ABCD$的面积为$6$，求四边形$AEDF$的面积.
答案
（1）
证明：
$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AD// BC$，
$\because AF// BE$，$DF// CE$，
$\therefore ∠ AFD = ∠ BEC$，$ ∠ FAD=∠ EBC$，
在$△ BCE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases}∠ EBC = ∠ FAD,\\ ∠ BEC = ∠ AFD, \\BC = AD.\end{cases}$
$\therefore △ BCE ≌ △ ADF (AAS)$。
（2）
由（1）得$△ BCE ≌ △ ADF$，
$\therefore S_{△ BCE} = S_{△ ADF}$，
$\therefore$四边形$AEDF$的面积为$S_{AEDF} = S_{△ ADE} + S_{△ ADF} = S_{△ ADE} + S_{△ BCE}$，
$\because$四边形$ABCD$的面积为$6$，
$\therefore S_{AEDF} = \frac{1}{2}S_{ABCD} =\frac{1}{2}×6= 3$。
四边形$AEDF$的面积为$3$。
证明：
$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AD// BC$，
$\because AF// BE$，$DF// CE$，
$\therefore ∠ AFD = ∠ BEC$，$ ∠ FAD=∠ EBC$，
在$△ BCE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases}∠ EBC = ∠ FAD,\\ ∠ BEC = ∠ AFD, \\BC = AD.\end{cases}$
$\therefore △ BCE ≌ △ ADF (AAS)$。
（2）
由（1）得$△ BCE ≌ △ ADF$，
$\therefore S_{△ BCE} = S_{△ ADF}$，
$\therefore$四边形$AEDF$的面积为$S_{AEDF} = S_{△ ADE} + S_{△ ADF} = S_{△ ADE} + S_{△ BCE}$，
$\because$四边形$ABCD$的面积为$6$，
$\therefore S_{AEDF} = \frac{1}{2}S_{ABCD} =\frac{1}{2}×6= 3$。
四边形$AEDF$的面积为$3$。
11. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=5$，$AD=3\sqrt{2}$，$∠ A=45^{\circ}$.
（1）求出对角线$BD$的长；
（2）尺规作图：将四边形$ABCD$沿着经过$A$点的某条直线翻折，使点$B$落在$CD$边上的点$E$处，请作出折痕.（不写作法，保留作图痕迹）
（1）求出对角线$BD$的长；
（2）尺规作图：将四边形$ABCD$沿着经过$A$点的某条直线翻折，使点$B$落在$CD$边上的点$E$处，请作出折痕.（不写作法，保留作图痕迹）
答案
11.解:(1)如答图①,过点D作DH⊥AB于点H.
∵AD=3√2,∠A=45°,
∴AH=DH=1/√2 AD=3.
又
∵AB=5,
∴HB=AB - AH=2.
在Rt△BDH中,由勾股定理,得BD=√(DH²+HB²)=√(3²+2²)=√13.
(2)如答图②,直线AF即为所求.
