8 核心素养 几何直观 [较难](1)分别计算图(1)、图(2)、图(3)中阴影部分的面积，并写出关于$a$，$b$的等量关系式.
(2)尝试解决：①已知$m + n = 2$，$m^{2}+n^{2}=7$，则$mn=$；
②已知$2a + b = 3$，$ab = 1$，求$(2a - b)^{2}$的值；
③已知$(4 - x)(5 - x)=6$，求$(4 - x)^{2}+(5 - x)^{2}$的值.
(3)填数游戏：如图(4)，把数字$1∼9$填入构成三角形的$9$个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于$21$，将每边四个数字的平方和分别记为$A$，$B$，$C$，已知$A + B + C = 411$.如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为$x$，$y$，$x + y$，求$xy$的值.

8. 【解】(1) 由题图(1)可得阴影部分面积既可以表示为 $ (a + b)^{2} $，又可以表示为 $ a^{2}+2ab + b^{2} $，则 $ (a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2} $；由题图(2)可得阴影部分面积既可以表示为 $ (a - b)^{2} $，又可以表示为 $ a^{2}-2ab + b^{2} $，则 $ (a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2} $；由题图(3)可得阴影部分面积既可以表示为 $ 4ab $，又可以表示为 $ (a + b)^{2}-(a - b)^{2} $，则 $ 4ab=(a + b)^{2}-(a - b)^{2} $。
(2) ①因为 $ m + n = 2 $，所以 $ (m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}=4 $。因为 $ m^{2}+n^{2}=7 $，所以 $ 7 + 2mn = 4 $，所以 $ mn = -\dfrac {3}{2} $，故答案为 $ -\dfrac {3}{2} $。
②因为 $ ab = 1 $，所以 $ 8ab = 8 $。因为 $ (2a - b)^{2}=(2a + b)^{2}-8ab $，$ 2a + b = 3 $，$ 8ab = 8 $，所以 $ (2a - b)^{2}=3^{2}-8 = 1 $。
③因为 $ (4 - x)-(5 - x)=-1 $，所以 $ [(4 - x)-(5 - x)]^{2}=1 $。因为 $ (4 - x)(5 - x)=6 $，所以 $ (4 - x)^{2}+(5 - x)^{2}=1 + 2(4 - x)(5 - x)=1 + 12 = 13 $。
(3) 数字 $ 1～9 $ 的和为 $ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 $。
因为各边上的四个数字的和都等于 21，所以 $ 21×3 - 45 = 18 $，所以 $ x + y+(x + y)=18 $，即 $ x + y = 9 $。
因为每边四个数字的平方和分别记为 $ A $，$ B $，$ C $，满足 $ A + B + C = 411 $，且 $ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}=285 $，所以 $ x^{2}+y^{2}+(x + y)^{2}=411 - 285 = 126 $，所以 $ x^{2}+y^{2}+81 = 126 $，所以 $ x^{2}+y^{2}=45 $，所以 $ (x + y)^{2}-2xy = 45 $，所以 $ xy = 18 $。

1 [2025湖南衡阳期中，中]已知$(a + b)^{2}=9$，$(a - b)^{2}=25$，求$a^{2}+b^{2}$与$ab$的值.

1. 【解】因为 $ (a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab = 9 $，①
$ (a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab = 25 $，②
所以 ①+②得 $ 2(a^{2}+b^{2})=34 $，即 $ a^{2}+b^{2}=17 $，① - ②得 $ 4ab = -16 $，即 $ ab = -4 $。

2 [2025广东河源校级期中，中]已知$x - y = 5$，$xy = 2$，求$x^{2}+y^{2}$及$(x + y)^{2}-6$的值.

2. 【解】因为 $ x - y = 5 $，$ xy = 2 $，所以 $ x^{2}+y^{2}=(x - y)^{2}+2xy = 5^{2}+2×2 = 29 $，$ (x + y)^{2}-6=(x - y)^{2}+4xy - 6 = 5^{2}+4×2 - 6 = 25 + 8 - 6 = 27 $。

3 [2025江西吉安质检，中]已知$m$，$n$满足$m^{2}+n^{2}=40$，$m + n = -4$.
（1）求$mn$的值；
（2）求$m - n$的值.

3. 【解】(1) 因为 $ m^{2}+n^{2}=40 $，$ m + n = -4 $，所以 $ (m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}=40 + 2mn = 16 $，所以 $ mn = -12 $。
(2) 由(1)得 $ mn = -12 $。因为 $ m^{2}+n^{2}=40 $，所以 $ (m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}=40 + 24 = 64 $，所以 $ m - n = 8 $ 或 $ m - n = -8 $。

1 [2025四川成都期末，中]若$m-\dfrac{1}{m}=5$，则$m^{2}+\dfrac{1}{m^{2}}$的值为.

1. 27 【解析】因为 $ m-\dfrac {1}{m}=5 $，所以 $ m^{2}-2×m×\dfrac {1}{m}+\dfrac {1}{m^{2}}=25 $，所以 $ m^{2}-2+\dfrac {1}{m^{2}}=25 $，所以 $ m^{2}+\dfrac {1}{m^{2}}=25 + 2 = 27 $，故 $ m^{2}+\dfrac {1}{m^{2}} $ 的值为 27。

2 [2025浙江宁波调研，中]已知$a+\dfrac{1}{a}=-2$，则$a^{4}+\dfrac{1}{a^{4}}=$.

2. 2 【解析】因为 $ a+\dfrac {1}{a}=-2 $，所以 $ a^{2}+\dfrac {1}{a^{2}}+2 = 4 $，即 $ a^{2}+\dfrac {1}{a^{2}}=2 $，所以 $ a^{4}+\dfrac {1}{a^{4}}+2 = 4 $，即 $ a^{4}+\dfrac {1}{a^{4}}=2 $。故答案为 2。