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28.（12分）若一个点的横、纵坐标都是关于某个相同变量的一次式，则这个点必定在一条固定的直线上.如：点$A(a,2a)$，易知点$A$在直线$y=2x$上；又如：$B(m - 1,4 - 2m)$，令$x=m - 1$，$y=4 - 2m$，消去$m$得$2x+y=2$，故点$B$在直线$y=-2x+2$上.
（1）点$(a, -4a)$所在直线的解析式为________；
点$(2m+1, 4m - 5)$所在直线的解析式为________；
（2）已知点$A(-2, 0)$，$P(n, -2n+4)$，$Q(m, 0.5m+2)$三点. ①判断$P$和$Q$两点所在直线的位置关系，证明你的结论；
②当$m=0$时，直接写出$AP+PQ$的最小值；
（3）一次函数$y=2x+b$与$y=ax+4b$（$a$，$b$是常数且$a≠2$）交于点$M$，对于$a$的某个确定的值，当$b$变化时，点$M$到直线$y=-x+4$的距离是一个定值，求$a$的值.
（1）点$(a, -4a)$所在直线的解析式为________；
点$(2m+1, 4m - 5)$所在直线的解析式为________；
（2）已知点$A(-2, 0)$，$P(n, -2n+4)$，$Q(m, 0.5m+2)$三点. ①判断$P$和$Q$两点所在直线的位置关系，证明你的结论；
②当$m=0$时，直接写出$AP+PQ$的最小值；
（3）一次函数$y=2x+b$与$y=ax+4b$（$a$，$b$是常数且$a≠2$）交于点$M$，对于$a$的某个确定的值，当$b$变化时，点$M$到直线$y=-x+4$的距离是一个定值，求$a$的值.
答案
（1）令$x=a$，$y= - 4a$，
$\therefore y= - 4x$；
令$x=2m+1$，$y=4m - 5$，
$\therefore 2m=x - 1$，
$\therefore y=2（x - 1） - 5=2x - 7$；
故答案为：$y= - 4x$；$y=2x - 7$；
（2）①令$x=n$，$y= - 2n+4$，
$\therefore y= - 2x+4$，
$\therefore P$点在直线$y= - 2x+4$上；
令$x=m$，$y=0.5m+2$，
$\therefore Q$点在直线$y=0.5x+2$上；
设直线$y= - 2x+4$与$x$轴交于$C$点，与$y$轴交于$D$点，直线$y=0.5x+2$与$x$轴交于$G$点，与$y$轴交于$B$点，两直线交于$E$点，
$\because OG=OD=2$，$OB=OC=4$，
$\therefore △ GOB≌△ DOC$（SAS），
$\therefore ∠ GBO=∠ OCD$，
$\therefore ∠ GBO+∠ BGO=∠ OCD+∠ BGO=90°$，
$\therefore GB⊥ CD$，
$\therefore P$和$Q$两点所在直线互相垂直；
②当$m=0$时，$Q（0，2）$，
作$A$点关于直线$y= - 2x+4$的对称点$A'$，
$\therefore AP+PQ=A'P+PQ≥ A'Q$，
当$P$、$Q$、$A'$三点共线时，$AP+PQ$的值最小，
$\because P$和$Q$两点所在直线互相垂直，
$\therefore A$关于直线$y= - 2x+4$的对称点$A'$所在的直线与$y=0.5x+2$平行，
$\therefore A'$所在的直线为$y=0.5x+1$，
设$A'（m，0.5m+1）$，
$\because C（2，0）$，
$\therefore AC=4$，
$\therefore 4=\sqrt{(m - 2)^2 + (\frac{1}{2}m + 1)^2}$，
解得$m= - 2$（舍）或$m=\frac{22}{5}$，
$\therefore A'（\frac{22}{5}，\frac{16}{5}）$，
$\therefore A'Q=\frac{2}{5}\sqrt{130}$，
$\therefore AP+PQ$的最小值为$\frac{2}{5}\sqrt{130}$；
（3）$2x+b=ax+4b$时，解得$x=\frac{3b}{2 - a}$，
$\therefore M（\frac{3b}{2 - a}，\frac{b(8 - a)}{2 - a}）$，
$\therefore M$点所在的直线为$y=\frac{1}{3}(8 - a) x$，
$\because$点$M$到直线$y= - x+4$的距离是一个定值，
$\therefore$直线$y=\frac{1}{3}(8 - a) x$与直线$y= - x+4$平行，
$\therefore \frac{1}{3}(8 - a) = - 1$，解得$a=11$。
$\therefore y= - 4x$；
令$x=2m+1$，$y=4m - 5$，
$\therefore 2m=x - 1$，
$\therefore y=2（x - 1） - 5=2x - 7$；
故答案为：$y= - 4x$；$y=2x - 7$；
（2）①令$x=n$，$y= - 2n+4$，
$\therefore y= - 2x+4$，
$\therefore P$点在直线$y= - 2x+4$上；
令$x=m$，$y=0.5m+2$，
$\therefore Q$点在直线$y=0.5x+2$上；
设直线$y= - 2x+4$与$x$轴交于$C$点，与$y$轴交于$D$点，直线$y=0.5x+2$与$x$轴交于$G$点，与$y$轴交于$B$点，两直线交于$E$点，
$\because OG=OD=2$，$OB=OC=4$，
$\therefore △ GOB≌△ DOC$（SAS），
$\therefore ∠ GBO=∠ OCD$，
$\therefore ∠ GBO+∠ BGO=∠ OCD+∠ BGO=90°$，
$\therefore GB⊥ CD$，
$\therefore P$和$Q$两点所在直线互相垂直；
②当$m=0$时，$Q（0，2）$，
作$A$点关于直线$y= - 2x+4$的对称点$A'$，
$\therefore AP+PQ=A'P+PQ≥ A'Q$，
当$P$、$Q$、$A'$三点共线时，$AP+PQ$的值最小，
$\because P$和$Q$两点所在直线互相垂直，
$\therefore A$关于直线$y= - 2x+4$的对称点$A'$所在的直线与$y=0.5x+2$平行，
$\therefore A'$所在的直线为$y=0.5x+1$，
设$A'（m，0.5m+1）$，
$\because C（2，0）$，
$\therefore AC=4$，
$\therefore 4=\sqrt{(m - 2)^2 + (\frac{1}{2}m + 1)^2}$，
解得$m= - 2$（舍）或$m=\frac{22}{5}$，
$\therefore A'（\frac{22}{5}，\frac{16}{5}）$，
$\therefore A'Q=\frac{2}{5}\sqrt{130}$，
$\therefore AP+PQ$的最小值为$\frac{2}{5}\sqrt{130}$；
（3）$2x+b=ax+4b$时，解得$x=\frac{3b}{2 - a}$，
$\therefore M（\frac{3b}{2 - a}，\frac{b(8 - a)}{2 - a}）$，
$\therefore M$点所在的直线为$y=\frac{1}{3}(8 - a) x$，
$\because$点$M$到直线$y= - x+4$的距离是一个定值，
$\therefore$直线$y=\frac{1}{3}(8 - a) x$与直线$y= - x+4$平行，
$\therefore \frac{1}{3}(8 - a) = - 1$，解得$a=11$。
解析
【分析】
本题是一次函数的综合应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：通过消去参数，将点的横、纵坐标的关系转化为一次函数，得到点所在直线的解析式；
2. 第(2)问：①先求出P、Q两点所在直线的解析式，根据两直线斜率的乘积判断位置关系；②利用对称点转化最短路径，结合两直线垂直的性质求最小值；
3. 第(3)问：联立两直线解析式求出交点M的坐标，消去参数b得到M所在直线，根据点到直线距离为定值的条件，确定直线平行，进而求出a的值。
【解析】
（1）令点$(a, -4a)$中$x=a$，$y=-4a$，消去参数$a$得$y=-4x$；
令点$(2m+1, 4m-5)$中$x=2m+1$，$y=4m-5$，由$x=2m+1$得$m=\frac{x-1}{2}$，代入$y$得：
$y=4×\frac{x-1}{2}-5=2(x-1)-5=2x-7$；
（2）①对于点$P(n, -2n+4)$，令$x=n$，$y=-2n+4$，得$P$所在直线解析式为$y=-2x+4$；
对于点$Q(m, 0.5m+2)$，令$x=m$，$y=0.5m+2$，得$Q$所在直线解析式为$y=0.5x+2$；
两直线斜率分别为$-2$和$0.5$，乘积为$-2×0.5=-1$，故$P$和$Q$两点所在直线互相垂直；
②当$m=0$时，$Q(0,2)$，作$A(-2,0)$关于直线$y=-2x+4$的对称点$A'$，由两直线垂直的性质，$A'$所在直线与$y=0.5x+2$平行，设为$y=0.5x+b$；
根据对称点性质，$AA'$中点在直线$y=-2x+4$上，且$AA'$斜率为$\frac{1}{2}$，解得$b=1$，即$A'$所在直线为$y=0.5x+1$；
结合$AC=4$（$C$为直线$y=-2x+4$与$x$轴交点$(2,0)$），解得$A'(\frac{22}{5},\frac{16}{5})$；
则$A'Q=\sqrt{(\frac{22}{5}-0)^2+(\frac{16}{5}-2)^2}=\frac{2\sqrt{130}}{5}$，即$AP+PQ$的最小值为$\frac{2\sqrt{130}}{5}$；
（3）联立$y=2x+b$与$y=ax+4b$，得$2x+b=ax+4b$，解得$x=\frac{3b}{2-a}$，代入得$y=\frac{b(8-a)}{2-a}$，即$M(\frac{3b}{2-a},\frac{b(8-a)}{2-a})$；
消去参数$b$，得$M$所在直线为$y=\frac{8-a}{3}x$；
因点$M$到直线$y=-x+4$的距离为定值，故两直线平行，斜率相等，即$\frac{8-a}{3}=-1$，解得$a=11$。
【答案】
（1）$y=-4x$；$y=2x-7$；
（2）①$P$和$Q$两点所在直线互相垂直；②$\frac{2\sqrt{130}}{5}$；
（3）$a=11$。
【知识点】
一次函数解析式、直线垂直判定、最短路径、点到直线距离
【点评】
本题为一次函数综合题，涵盖参数消元、直线位置关系、最短路径及点到直线距离的应用，综合性较强，需掌握一次函数的核心性质及几何转化方法。
【难度系数】
0.3
本题是一次函数的综合应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：通过消去参数，将点的横、纵坐标的关系转化为一次函数，得到点所在直线的解析式；
2. 第(2)问：①先求出P、Q两点所在直线的解析式，根据两直线斜率的乘积判断位置关系；②利用对称点转化最短路径，结合两直线垂直的性质求最小值；
3. 第(3)问：联立两直线解析式求出交点M的坐标，消去参数b得到M所在直线，根据点到直线距离为定值的条件，确定直线平行，进而求出a的值。
【解析】
（1）令点$(a, -4a)$中$x=a$，$y=-4a$，消去参数$a$得$y=-4x$；
令点$(2m+1, 4m-5)$中$x=2m+1$，$y=4m-5$，由$x=2m+1$得$m=\frac{x-1}{2}$，代入$y$得：
$y=4×\frac{x-1}{2}-5=2(x-1)-5=2x-7$；
（2）①对于点$P(n, -2n+4)$，令$x=n$，$y=-2n+4$，得$P$所在直线解析式为$y=-2x+4$；
对于点$Q(m, 0.5m+2)$，令$x=m$，$y=0.5m+2$，得$Q$所在直线解析式为$y=0.5x+2$；
两直线斜率分别为$-2$和$0.5$，乘积为$-2×0.5=-1$，故$P$和$Q$两点所在直线互相垂直；
②当$m=0$时，$Q(0,2)$，作$A(-2,0)$关于直线$y=-2x+4$的对称点$A'$，由两直线垂直的性质，$A'$所在直线与$y=0.5x+2$平行，设为$y=0.5x+b$；
根据对称点性质，$AA'$中点在直线$y=-2x+4$上，且$AA'$斜率为$\frac{1}{2}$，解得$b=1$，即$A'$所在直线为$y=0.5x+1$；
结合$AC=4$（$C$为直线$y=-2x+4$与$x$轴交点$(2,0)$），解得$A'(\frac{22}{5},\frac{16}{5})$；
则$A'Q=\sqrt{(\frac{22}{5}-0)^2+(\frac{16}{5}-2)^2}=\frac{2\sqrt{130}}{5}$，即$AP+PQ$的最小值为$\frac{2\sqrt{130}}{5}$；
（3）联立$y=2x+b$与$y=ax+4b$，得$2x+b=ax+4b$，解得$x=\frac{3b}{2-a}$，代入得$y=\frac{b(8-a)}{2-a}$，即$M(\frac{3b}{2-a},\frac{b(8-a)}{2-a})$；
消去参数$b$，得$M$所在直线为$y=\frac{8-a}{3}x$；
因点$M$到直线$y=-x+4$的距离为定值，故两直线平行，斜率相等，即$\frac{8-a}{3}=-1$，解得$a=11$。
【答案】
（1）$y=-4x$；$y=2x-7$；
（2）①$P$和$Q$两点所在直线互相垂直；②$\frac{2\sqrt{130}}{5}$；
（3）$a=11$。
【知识点】
一次函数解析式、直线垂直判定、最短路径、点到直线距离
【点评】
本题为一次函数综合题，涵盖参数消元、直线位置关系、最短路径及点到直线距离的应用，综合性较强，需掌握一次函数的核心性质及几何转化方法。
【难度系数】
0.3
