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25.（4分）对于函数$y=|2 - 2x|+2$的图象及性质，有下列描述：
①函数$y=|2 - 2x|+2$的图象可由函数$y=|2 - 2x|$的图象向上平移2个单位长度得到；
②当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
③当$-6≤ x≤ 2$时，$4≤ y≤ 16$；
④若直线$y=kx+k$与$y=|2 - 2x|+2$的图象至少有一个公共点，则$k≥ 1$或$k＜ -2$。
其中正确的是________（填序号）。
①函数$y=|2 - 2x|+2$的图象可由函数$y=|2 - 2x|$的图象向上平移2个单位长度得到；
②当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
③当$-6≤ x≤ 2$时，$4≤ y≤ 16$；
④若直线$y=kx+k$与$y=|2 - 2x|+2$的图象至少有一个公共点，则$k≥ 1$或$k＜ -2$。
其中正确的是________（填序号）。
答案
解：画出函数$y=|2 - 2x|+2$的图象如图24：
①函数$y=|2 - 2x|+2$的图象可由函数$y=|2 - 2x|$的图象向上平移2个单位长度得到，故正确；
②当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，故正确；
③$x= - 6$时，$y=|2 - 2x|+2=14+2=16$，所以当$ - 6≤ x≤2$时，$2≤ y≤16$，故错误；
④把点（1，2）代入$y=kx+k$，解得$k=1$，由图象可知，若直线$y=kx+k$与$y=|2 - 2x|+2$的图象至少有一个公共点，则$k≥ 1$或$k＜ - 2$。故正确。
故答案为：①②④。
①函数$y=|2 - 2x|+2$的图象可由函数$y=|2 - 2x|$的图象向上平移2个单位长度得到，故正确；
②当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，故正确；
③$x= - 6$时，$y=|2 - 2x|+2=14+2=16$，所以当$ - 6≤ x≤2$时，$2≤ y≤16$，故错误；
④把点（1，2）代入$y=kx+k$，解得$k=1$，由图象可知，若直线$y=kx+k$与$y=|2 - 2x|+2$的图象至少有一个公共点，则$k≥ 1$或$k＜ - 2$。故正确。
故答案为：①②④。
解析
【分析】
首先将函数$y=|2 - 2x|+2$化简为$y=2|x-1|+2$，明确其顶点为$(1,2)$，分$x≥1$和$x＜1$两段讨论函数的增减性；再结合函数图像平移规则、给定区间内的函数值范围、直线过定点的性质，逐一判断四个描述的正确性。
【解析】
先化简函数：$y=|2 - 2x|+2=2|x-1|+2$，其顶点坐标为$(1,2)$，当$x≥1$时，$y=2x$，是增函数；当$x＜1$时，$y=4-2x$，是减函数。
①根据函数图像平移规则“上加下减”，函数$y=|2 - 2x|$的图像向上平移2个单位长度，即整体加2，得到$y=|2 - 2x|+2$，故①正确；
②当$x＞1$时，函数为$y=2x$，斜率为$2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，故②正确；
③计算区间端点的函数值：当$x=-6$时，$y=|2-2×(-6)|+2=16$；当$x=2$时，$y=|2-2×2|+2=4$；又因为顶点$x=1$时$y=2$，所以当$-6≤x≤2$时，$y$的取值范围是$2≤y≤16$，并非$4≤y≤16$，故③错误；
④直线$y=kx+k=k(x+1)$恒过定点$(-1,0)$，结合函数$y=2|x-1|+2$的图像：当直线过顶点$(1,2)$时，代入得$2=k(1+1)$，解得$k=1$；当直线与函数左半段（$x＜1$时，$y=4-2x$）相交时，联立方程可得，当$k＜-2$时直线与函数有交点，因此直线与函数图像至少有一个公共点时，$k≥1$或$k＜-2$，故④正确。
【答案】①②④
【知识点】绝对值函数的图像与性质，函数图像的平移，一次函数与绝对值函数的交点问题
【点评】本题综合考查绝对值函数的图像与性质，需要掌握函数化简、平移规律、增减性判断以及函数交点的求解，解题时需逐一分析每个选项，避免遗漏关键信息。
【难度系数】0.5
首先将函数$y=|2 - 2x|+2$化简为$y=2|x-1|+2$，明确其顶点为$(1,2)$，分$x≥1$和$x＜1$两段讨论函数的增减性；再结合函数图像平移规则、给定区间内的函数值范围、直线过定点的性质，逐一判断四个描述的正确性。
【解析】
先化简函数：$y=|2 - 2x|+2=2|x-1|+2$，其顶点坐标为$(1,2)$，当$x≥1$时，$y=2x$，是增函数；当$x＜1$时，$y=4-2x$，是减函数。
①根据函数图像平移规则“上加下减”，函数$y=|2 - 2x|$的图像向上平移2个单位长度，即整体加2，得到$y=|2 - 2x|+2$，故①正确；
②当$x＞1$时，函数为$y=2x$，斜率为$2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，故②正确；
③计算区间端点的函数值：当$x=-6$时，$y=|2-2×(-6)|+2=16$；当$x=2$时，$y=|2-2×2|+2=4$；又因为顶点$x=1$时$y=2$，所以当$-6≤x≤2$时，$y$的取值范围是$2≤y≤16$，并非$4≤y≤16$，故③错误；
④直线$y=kx+k=k(x+1)$恒过定点$(-1,0)$，结合函数$y=2|x-1|+2$的图像：当直线过顶点$(1,2)$时，代入得$2=k(1+1)$，解得$k=1$；当直线与函数左半段（$x＜1$时，$y=4-2x$）相交时，联立方程可得，当$k＜-2$时直线与函数有交点，因此直线与函数图像至少有一个公共点时，$k≥1$或$k＜-2$，故④正确。
【答案】①②④
【知识点】绝对值函数的图像与性质，函数图像的平移，一次函数与绝对值函数的交点问题
【点评】本题综合考查绝对值函数的图像与性质，需要掌握函数化简、平移规律、增减性判断以及函数交点的求解，解题时需逐一分析每个选项，避免遗漏关键信息。
【难度系数】0.5
26.（10分）某学校计划租用客车送284名学生和16名老师去春游，为了安全，既要保证所有师生都有座位，又要保证每辆客车上至少有2名教师，现有甲，乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：
（1）共需租
（2）设租用x辆甲种客车，租车总费用为y元，求y关于x的函数解析式；
（3）若租车总费用不超过3100元，请你给出最节省费用的方案.
（1）共需租
8
辆客车；（2）设租用x辆甲种客车，租车总费用为y元，求y关于x的函数解析式；
（3）若租车总费用不超过3100元，请你给出最节省费用的方案.
答案
（1）共需租$a$辆客车，
由题意可得：$\begin{cases}42a ≥ 284 + 16 \\a ≤ 16 ÷ 2\end{cases}$，
解得$7\frac{1}{7}≤ a ≤8$，
$\because a$为整数，
$\therefore a=8$，
即共需租8辆车，
故答案为：8；
（2）由题意得，
$y=300x+400（8 - x）= - 100x+3200$，
即$y$关于$x$的函数解析式为$y= - 100x+3200$；
（3）由题意得，
$\begin{cases}-100x + 3200 ≤ 3100 \\30x + 42(8 - x) ≥ 284 + 16\end{cases}$，
解得$1≤ x≤3$，
由（2）知：$y= - 100x+3200$，
$\therefore y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x=3$时，$y$取得最小值，此时$y=2900$，$8 - x=5$，
答：最节省费用的方案为租用3辆甲种客车，租用5辆乙种客车。
由题意可得：$\begin{cases}42a ≥ 284 + 16 \\a ≤ 16 ÷ 2\end{cases}$，
解得$7\frac{1}{7}≤ a ≤8$，
$\because a$为整数，
$\therefore a=8$，
即共需租8辆车，
故答案为：8；
（2）由题意得，
$y=300x+400（8 - x）= - 100x+3200$，
即$y$关于$x$的函数解析式为$y= - 100x+3200$；
（3）由题意得，
$\begin{cases}-100x + 3200 ≤ 3100 \\30x + 42(8 - x) ≥ 284 + 16\end{cases}$，
解得$1≤ x≤3$，
由（2）知：$y= - 100x+3200$，
$\therefore y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x=3$时，$y$取得最小值，此时$y=2900$，$8 - x=5$，
答：最节省费用的方案为租用3辆甲种客车，租用5辆乙种客车。
解析
【分析】
要解决这道租车方案选择问题，需分三步梳理思路：
1. 确定总租车数量：需同时满足两个核心条件，一是所有师生有座位（总人数为284+16=300人，乙种客车每辆载客42人，总车数a需保证能坐下300人），二是每辆车至少2名教师（总教师16人，总车数a不能超过教师数除以每车教师数，即a≤8），据此确定a的整数解；
2. 推导函数解析式：设租用x辆甲种客车，乙种客车数量为总车数减去甲种车数，再根据“总费用=甲种车租金+乙种车租金”，代入数据化简得到y与x的函数关系；
3. 寻找最省费用方案：根据费用限制和座位要求列不等式组，确定x的取值范围，再结合一次函数的增减性（系数为负，y随x增大而减小），取x的最大值得到最省方案。
【解析】
（1）设共需租a辆客车，总师生人数为284+16=300人，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}42a ≥ 300 \\a ≤ 16 ÷ 2\end{cases}$
解第一个不等式得$a ≥ 7\frac{1}{7}$，解第二个不等式得a≤8，
因为a为整数，所以a=8，即共需租8辆客车。
（2）设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车$(8-x)$辆，租车总费用y为：
$y = 300x + 400(8 - x) = -100x + 3200$，
因此y关于x的函数解析式为$y = -100x + 3200$。
（3）根据题意，需满足费用不超过3100元且所有师生有座位，列不等式组：
$\begin{cases}-100x + 3200 ≤ 3100 \\30x + 42(8 - x) ≥ 300\end{cases}$
解第一个不等式得$x ≥1$，解第二个不等式得$x ≤3$，
所以x的取值范围是$1≤x≤3$。
由函数$y=-100x+3200$，k=-100＜0，y随x的增大而减小，
因此当x取最大值3时，y最小，此时$y=-100×3 +3200=2900$，乙种车数量为$8-3=5$辆，即最节省费用的方案为租用3辆甲种客车，5辆乙种客车。
【答案】
（1）8；（2）$y=-100x+3200$；（3）租用3辆甲种客车，5辆乙种客车。
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题是典型的方案选择类应用题，需结合不等式确定变量取值范围，再利用一次函数的增减性求解最优方案，关键是挖掘题目隐含条件（每辆车至少2名教师），属于中等难度的实际应用问题。
【难度系数】
0.6
要解决这道租车方案选择问题，需分三步梳理思路：
1. 确定总租车数量：需同时满足两个核心条件，一是所有师生有座位（总人数为284+16=300人，乙种客车每辆载客42人，总车数a需保证能坐下300人），二是每辆车至少2名教师（总教师16人，总车数a不能超过教师数除以每车教师数，即a≤8），据此确定a的整数解；
2. 推导函数解析式：设租用x辆甲种客车，乙种客车数量为总车数减去甲种车数，再根据“总费用=甲种车租金+乙种车租金”，代入数据化简得到y与x的函数关系；
3. 寻找最省费用方案：根据费用限制和座位要求列不等式组，确定x的取值范围，再结合一次函数的增减性（系数为负，y随x增大而减小），取x的最大值得到最省方案。
【解析】
（1）设共需租a辆客车，总师生人数为284+16=300人，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}42a ≥ 300 \\a ≤ 16 ÷ 2\end{cases}$
解第一个不等式得$a ≥ 7\frac{1}{7}$，解第二个不等式得a≤8，
因为a为整数，所以a=8，即共需租8辆客车。
（2）设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车$(8-x)$辆，租车总费用y为：
$y = 300x + 400(8 - x) = -100x + 3200$，
因此y关于x的函数解析式为$y = -100x + 3200$。
（3）根据题意，需满足费用不超过3100元且所有师生有座位，列不等式组：
$\begin{cases}-100x + 3200 ≤ 3100 \\30x + 42(8 - x) ≥ 300\end{cases}$
解第一个不等式得$x ≥1$，解第二个不等式得$x ≤3$，
所以x的取值范围是$1≤x≤3$。
由函数$y=-100x+3200$，k=-100＜0，y随x的增大而减小，
因此当x取最大值3时，y最小，此时$y=-100×3 +3200=2900$，乙种车数量为$8-3=5$辆，即最节省费用的方案为租用3辆甲种客车，5辆乙种客车。
【答案】
（1）8；（2）$y=-100x+3200$；（3）租用3辆甲种客车，5辆乙种客车。
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题是典型的方案选择类应用题，需结合不等式确定变量取值范围，再利用一次函数的增减性求解最优方案，关键是挖掘题目隐含条件（每辆车至少2名教师），属于中等难度的实际应用问题。
【难度系数】
0.6
27.（12分）在正方形ABCD中，F是BC边上一点，PF⊥AF，且PF=AF.
（1）如图（1），过点P作PE⊥BC于点E，求证：PE=CE；
（2）如图（2），连接BD，AP交于点G，求证：AG=PG；
（3）在（2）的条件下，若$FC=6$，$BG = 5\sqrt{2}$，请直接写出AF的长.
（1）如图（1），过点P作PE⊥BC于点E，求证：PE=CE；
（2）如图（2），连接BD，AP交于点G，求证：AG=PG；
（3）在（2）的条件下，若$FC=6$，$BG = 5\sqrt{2}$，请直接写出AF的长.
答案
（1）证明：$\because$四边形ABCD为正方形，
$\therefore AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ BAF+∠ AFB=90°$，
$\because PE⊥ BC$，
$\therefore ∠ PEF=90°$，
$\therefore ∠ ABF=∠ FEP=90°$，
$\because PF⊥ AF$，
$\therefore ∠ AFB+∠ PFE=90°$，
$\therefore ∠ BAF=∠ PFE$。
在$△ BAF$和$△ EFP$中，
$\begin{cases}∠ BAF = ∠ EFP \\∠ ABF = ∠ FEP \\AF = FP\end{cases}$
$\therefore △ BAF≌△ EFP$（AAS），
$\therefore BF=EP$，$AB=FE$，
$\therefore BC=FE$，
$\therefore BF=CE$，
$\therefore PE=CE$；
（2）证明：过点P作$PE⊥ BC$，交BC的延长线于点E，连接GC，PC，如图27，
由（1）知：$PE=CE$，
$\therefore △ PCE$为等腰直角三角形，
$\therefore ∠ PCE=∠ CPE=45°$，
$\because$四边形ABCD为正方形，
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD=45°$，$AB=BC$，
$\therefore ∠ CBD=∠ PCE=45°$，
$\therefore PC// BD$，
$\therefore ∠ BGC=∠ GCP$，$∠ BGA=∠ CPG$。
在$△ ABG$和$△ CBG$中，
$\begin{cases}AB = CB \\∠ ABD = ∠ CBD \\BG = BG\end{cases}$
$\therefore △ ABG≌△ CBG$（SAS），
$\therefore AG=CG$，$∠ BGA=∠ BGC$，
$\therefore ∠ PCG=∠ CPG$，
$\therefore GC=GP$。
$\therefore AG=PG$；
（3）$AF$的长为$2\sqrt{17}$。理由：
过点G作$GM⊥ BC$于点M，$GN⊥ AB$于点N，连接GF，GC，如图28，
由（2）知：$AG=CG$，$AG=PG$，
$\because PF⊥ AF$，且$PF=AF$，
$\therefore △ AFP$为等腰直角三角形，
$\therefore FG⊥ AP$，$FG=AG=GP=\frac{1}{2}AP$，
$\therefore FG=CG$，
$\because GM⊥ BC$，
$\therefore FM=CM=\frac{1}{2}FC=\frac{1}{2} ×6=3$，
$\because ∠ ABC=90°$，$GM⊥ BC$，$GN⊥ AB$，
$\therefore$四边形NBMG为矩形，
$\because ∠ ABD=∠ CBD=45°$，
$\therefore$四边形NBMG为正方形，
$\therefore BG=\sqrt{2} GM=5\sqrt{2}$，
$\therefore GM=5$，
$\therefore FG=\sqrt{FM^2 + GM^2}=\sqrt{3^2 +5^2}=\sqrt{34}$，
$\therefore AG=FG=\sqrt{34}$，
$\therefore AF=\sqrt{2} AG=2\sqrt{17}$。
$\therefore AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ BAF+∠ AFB=90°$，
$\because PE⊥ BC$，
$\therefore ∠ PEF=90°$，
$\therefore ∠ ABF=∠ FEP=90°$，
$\because PF⊥ AF$，
$\therefore ∠ AFB+∠ PFE=90°$，
$\therefore ∠ BAF=∠ PFE$。
在$△ BAF$和$△ EFP$中，
$\begin{cases}∠ BAF = ∠ EFP \\∠ ABF = ∠ FEP \\AF = FP\end{cases}$
$\therefore △ BAF≌△ EFP$（AAS），
$\therefore BF=EP$，$AB=FE$，
$\therefore BC=FE$，
$\therefore BF=CE$，
$\therefore PE=CE$；
（2）证明：过点P作$PE⊥ BC$，交BC的延长线于点E，连接GC，PC，如图27，
由（1）知：$PE=CE$，
$\therefore △ PCE$为等腰直角三角形，
$\therefore ∠ PCE=∠ CPE=45°$，
$\because$四边形ABCD为正方形，
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD=45°$，$AB=BC$，
$\therefore ∠ CBD=∠ PCE=45°$，
$\therefore PC// BD$，
$\therefore ∠ BGC=∠ GCP$，$∠ BGA=∠ CPG$。
在$△ ABG$和$△ CBG$中，
$\begin{cases}AB = CB \\∠ ABD = ∠ CBD \\BG = BG\end{cases}$
$\therefore △ ABG≌△ CBG$（SAS），
$\therefore AG=CG$，$∠ BGA=∠ BGC$，
$\therefore ∠ PCG=∠ CPG$，
$\therefore GC=GP$。
$\therefore AG=PG$；
（3）$AF$的长为$2\sqrt{17}$。理由：
过点G作$GM⊥ BC$于点M，$GN⊥ AB$于点N，连接GF，GC，如图28，
由（2）知：$AG=CG$，$AG=PG$，
$\because PF⊥ AF$，且$PF=AF$，
$\therefore △ AFP$为等腰直角三角形，
$\therefore FG⊥ AP$，$FG=AG=GP=\frac{1}{2}AP$，
$\therefore FG=CG$，
$\because GM⊥ BC$，
$\therefore FM=CM=\frac{1}{2}FC=\frac{1}{2} ×6=3$，
$\because ∠ ABC=90°$，$GM⊥ BC$，$GN⊥ AB$，
$\therefore$四边形NBMG为矩形，
$\because ∠ ABD=∠ CBD=45°$，
$\therefore$四边形NBMG为正方形，
$\therefore BG=\sqrt{2} GM=5\sqrt{2}$，
$\therefore GM=5$，
$\therefore FG=\sqrt{FM^2 + GM^2}=\sqrt{3^2 +5^2}=\sqrt{34}$，
$\therefore AG=FG=\sqrt{34}$，
$\therefore AF=\sqrt{2} AG=2\sqrt{17}$。
解析
【分析】
本题是正方形相关的几何证明与计算问题，解题思路如下：
（1）要证PE=CE，先利用正方形性质得到边和角的关系，结合垂直条件推出角相等，通过AAS证明△BAF≌△EFP，得到对应边相等，再结合正方形边长相等的性质，推导得出PE=CE；
（2）要证AG=PG，先由（1）的结论推出△PCE是等腰直角三角形，得到平行关系，再通过SAS证明△ABG≌△CBG，得到AG=CG，结合等腰直角三角形AFP的性质，推导出GC=GP，从而得到AG=PG；
（3）计算AF的长，通过作辅助线构造正方形和直角三角形，利用已知BG的长度求出相关线段，结合等腰直角三角形的性质求出FG，再根据AF与AG的关系计算出AF的长度。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∵PE⊥BC，
∴∠PEF=90°，
∴∠ABF=∠FEP=90°，
∵PF⊥AF，
∴∠AFB+∠PFE=90°，
∴∠BAF=∠PFE。
在△BAF和△EFP中，
$\begin{cases}∠BAF = ∠EFP \\∠ABF = ∠FEP \\AF = FP\end{cases}$
∴△BAF≌△EFP（AAS），
∴BF=EP，AB=FE，
又
∵AB=BC，
∴BC=FE，
∴BC - FC = FE - FC，即BF=CE，
∴PE=CE；
（2）证明：过点P作PE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接GC，PC，
由（1）知PE=CE，
∴△PCE为等腰直角三角形，
∴∠PCE=∠CPE=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，
∴∠CBD=∠PCE=45°，
∴PC//BD，
在△ABG和△CBG中，
$\begin{cases}AB = CB \\∠ABG = ∠CBG \\BG = BG\end{cases}$
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，∠BGA=∠BGC，
∵PC//BD，
∴∠BGC=∠GCP，∠BGA=∠CPG，
∴∠PCG=∠CPG，
∴GC=GP，
∴AG=PG；
（3）解：过点G作GM⊥BC于点M，GN⊥AB于点N，连接GF，GC，
由（2）知AG=CG，AG=PG，
∵PF⊥AF，且PF=AF，
∴△AFP为等腰直角三角形，
∴FG⊥AP，FG=AG=GP=$\frac{1}{2}$AP，
∴FG=CG，
∵GM⊥BC，
∴FM=CM=$\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}×6=3$，
∵∠ABC=90°，GM⊥BC，GN⊥AB，
∴四边形NBMG为矩形，
又
∵∠ABD=∠CBD=45°，
∴四边形NBMG为正方形，
∴BG=$\sqrt{2}$GM=5$\sqrt{2}$，
∴GM=5，
在Rt△FGM中，FG=$\sqrt{FM^2 + GM^2}$=$\sqrt{3^2 +5^2}$=$\sqrt{34}$，
∴AG=FG=$\sqrt{34}$，
∵△AFP为等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AG=$\sqrt{2}×\sqrt{34}$=2$\sqrt{17}$。
【答案】
$2\sqrt{17}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，综合考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及正方形的性质，需要学生具备较强的逻辑推理能力和辅助线构造能力，解题时需逐步推导角与边的关系，利用几何性质建立线段间的联系。
【难度系数】
0.5
本题是正方形相关的几何证明与计算问题，解题思路如下：
（1）要证PE=CE，先利用正方形性质得到边和角的关系，结合垂直条件推出角相等，通过AAS证明△BAF≌△EFP，得到对应边相等，再结合正方形边长相等的性质，推导得出PE=CE；
（2）要证AG=PG，先由（1）的结论推出△PCE是等腰直角三角形，得到平行关系，再通过SAS证明△ABG≌△CBG，得到AG=CG，结合等腰直角三角形AFP的性质，推导出GC=GP，从而得到AG=PG；
（3）计算AF的长，通过作辅助线构造正方形和直角三角形，利用已知BG的长度求出相关线段，结合等腰直角三角形的性质求出FG，再根据AF与AG的关系计算出AF的长度。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∵PE⊥BC，
∴∠PEF=90°，
∴∠ABF=∠FEP=90°，
∵PF⊥AF，
∴∠AFB+∠PFE=90°，
∴∠BAF=∠PFE。
在△BAF和△EFP中，
$\begin{cases}∠BAF = ∠EFP \\∠ABF = ∠FEP \\AF = FP\end{cases}$
∴△BAF≌△EFP（AAS），
∴BF=EP，AB=FE，
又
∵AB=BC，
∴BC=FE，
∴BC - FC = FE - FC，即BF=CE，
∴PE=CE；
（2）证明：过点P作PE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接GC，PC，
由（1）知PE=CE，
∴△PCE为等腰直角三角形，
∴∠PCE=∠CPE=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，
∴∠CBD=∠PCE=45°，
∴PC//BD，
在△ABG和△CBG中，
$\begin{cases}AB = CB \\∠ABG = ∠CBG \\BG = BG\end{cases}$
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，∠BGA=∠BGC，
∵PC//BD，
∴∠BGC=∠GCP，∠BGA=∠CPG，
∴∠PCG=∠CPG，
∴GC=GP，
∴AG=PG；
（3）解：过点G作GM⊥BC于点M，GN⊥AB于点N，连接GF，GC，
由（2）知AG=CG，AG=PG，
∵PF⊥AF，且PF=AF，
∴△AFP为等腰直角三角形，
∴FG⊥AP，FG=AG=GP=$\frac{1}{2}$AP，
∴FG=CG，
∵GM⊥BC，
∴FM=CM=$\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}×6=3$，
∵∠ABC=90°，GM⊥BC，GN⊥AB，
∴四边形NBMG为矩形，
又
∵∠ABD=∠CBD=45°，
∴四边形NBMG为正方形，
∴BG=$\sqrt{2}$GM=5$\sqrt{2}$，
∴GM=5，
在Rt△FGM中，FG=$\sqrt{FM^2 + GM^2}$=$\sqrt{3^2 +5^2}$=$\sqrt{34}$，
∴AG=FG=$\sqrt{34}$，
∵△AFP为等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AG=$\sqrt{2}×\sqrt{34}$=2$\sqrt{17}$。
【答案】
$2\sqrt{17}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，综合考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及正方形的性质，需要学生具备较强的逻辑推理能力和辅助线构造能力，解题时需逐步推导角与边的关系，利用几何性质建立线段间的联系。
【难度系数】
0.5
