5. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,DE⊥BC,垂足为点E,则DE=.

5.$\frac{24}{5}$

【分析】
要求DE的长度，可按以下思路思考：①先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，求出对角线一半的长度，再通过勾股定理计算出菱形的边长BC；②菱形的面积有两种计算方式：对角线乘积的一半、底乘高，两种方式计算的面积相等，据此列等式即可求出DE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6
∴AC⊥BD，$OC=\frac{1}{2}AC=4$，$OB=\frac{1}{2}BD=3$
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
菱形ABCD的面积可通过两种方式计算：
方法1：$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×8×6=24$
方法2：
∵DE⊥BC，
∴$S_{菱形ABCD}=BC· DE$
∴$5DE=24$，解得$DE=\frac{24}{5}$
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是特殊平行四边形的典型题型，解题的核心是灵活运用菱形的性质和等面积法，需要熟练掌握菱形面积的两种计算方法，结合勾股定理求出边长后即可求解。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在$△ ABC$中,点D是AB边上一点,$AC=AD$,连接CD.点O是CD中点,连接AO并延长AO交BC于点E,连接ED.过点D作$DF// BC$交AE于点F,连接CF.求证:四边形CEDF是菱形.

6. 解:$\because AC=AD$,点O是CD中点,$\therefore AO⊥CD$,$\therefore CF=DF$,$\therefore ∠FCD=∠FDC$,
$\because DF// BC$,$\therefore ∠FDC=∠DCE$,
$\therefore ∠FCD=∠ECD$,在$△ FCO$与$△ ECO$中$\begin{cases} ∠FCO=ECO,\\ CO=CO,\\ ∠FOD=EOD=90°, \end{cases}$
$\therefore △ FCO≌△ ECO(ASA)$,$\therefore FC=CE$,$\therefore CE=DF$,$\because DF// CE$,$\therefore$ 四边形CEDF是菱形.

【分析】
要证明四边形CEDF是菱形，可先证明它是平行四边形，再证明一组邻边相等（或证明对角线互相垂直平分）。首先由已知AC=AD、O是CD中点，可联想到等腰三角形三线合一，得到AE垂直平分CD，推出CF=DF、∠FCD=∠FDC；再结合DF//BC的条件，可得内错角∠FDC=∠DCE，进而推出∠FCD=∠ECD；接下来通过证明△FCO和△ECO全等，得到FC=CE，即可推出CE=DF，结合DF//CE先判定CEDF为平行四边形，最后结合邻边相等即可判定为菱形。
【解析】
$\because AC=AD$，点O是CD中点，
$\therefore AO⊥ CD$（等腰三角形三线合一），
$\therefore CF=DF$，$\therefore ∠ FCD=∠ FDC$，
$\because DF// BC$，
$\therefore ∠ FDC=∠ DCE$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ FCD=∠ ECD$，
在$△ FCO$与$△ ECO$中：
$\begin{cases}∠ FCO=∠ ECO \\CO=CO \\∠ FOC=∠ EOC=90°\end{cases}$
$\therefore △ FCO≌△ ECO(\mathrm{ASA})$，
$\therefore FC=CE$，
$\therefore CE=DF$，
$\because DF// CE$，
$\therefore$ 四边形CEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又$\because CF=CE$，
$\therefore$ 平行四边形CEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
四边形CEDF是菱形
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于几何证明的常考题型，综合考查了等腰三角形、平行线、全等三角形、菱形判定的相关知识，解题的关键是优先利用等腰三角形三线合一得到垂直和边相等的关系，再逐步推导边和角的等量关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7