14.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用。
例:已知$x$可取任何实数,试求二次三项式$x^2+6x-1$的最小值。
解:$x^2+6x-1$
$=x^2+2×3·x+3^2-3^2-1$
$=(x+3)^2-10$。
∵无论$x$取何实数,总有$(x+3)^2≥0$,
∴$(x+3)^2-10≥-10$,即$x^2+6x-1$的最小值是$-10$。
【问题】
(1)已知$y=x^2-4x+7$,求证:$y$是正数;
【知识迁移】
(2)如图,在$Rt△ABC$中,$∠C=90°,AC=6 cm,BC=4 cm$,点$P$在边$AC$上,从点$A$向点$C$以$2 cm/s$的速度移动,点$Q$在边$CB$上,从点$C$向点$B$以$\sqrt{3} cm/s$的速度移动。若点$P,Q$同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止移动,设$△PCQ$的面积为$S cm^2$,运动时间为$t s$,求$S$的最大值。

14.(1) 证明:$y=x^2-4x+7$
$=x^2-4x+4+3$
$=(x-2)^2+3$。
$\because (x-2)^2≥ 0$,
$\therefore y≥ 3$。
$\therefore y＞0$,
即$y$是正数。
14.(2) 解:由题意,得 $AP=2t\ \mathrm{cm},CQ=\sqrt{3}t\ \mathrm{cm}$,
则 $PC=(6-2t)\ \mathrm{cm}[0≤ t≤ \frac{4\sqrt{3}}{3}]$。
$\therefore S=\frac{1}{2}PC· CQ$
$=\frac{1}{2}(6-2t)· \sqrt{3}t$
$=-\sqrt{3}t^2+3\sqrt{3}t$
$=-\sqrt{3}(t^2-3t)$
$=-\sqrt{3}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
$\because (t-\frac{3}{2})^2≥ 0$,
$\therefore$ 当 $t=\frac{3}{2}$ 时,$S$ 的最大值为 $\frac{9\sqrt{3}}{4}$。