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一、选择题
1. 根据下列表述，不能确定位置的是
（）
A.东经 $118°$，北纬 $40°$
B.南昌市红谷滩区学府大道299号
C.北偏东 $40°$
D.会议室第2排第6座
1. 根据下列表述，不能确定位置的是
（）
A.东经 $118°$，北纬 $40°$
B.南昌市红谷滩区学府大道299号
C.北偏东 $40°$
D.会议室第2排第6座
答案
C
解析
【分析】
要判断能否确定位置，首先明确核心规则：在平面内确定一个点的唯一位置，必须同时具备两个互相独立的有效数据，缺一不可。解题时只需逐个分析每个选项是否满足“有两个独立有效数据”这一条件即可：满足则能确定位置，不满足则不能确定位置。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 东经$118°$，北纬$40°$，经纬度是两个独立的数据，可以唯一确定地球表面的对应位置，不符合题意；
B. 南昌市红谷滩区学府大道299号，给出了具体道路和门牌号两个信息，可唯一对应具体地址，不符合题意；
C. 北偏东$40°$，仅给出了方向信息，没有给出距离观测点的距离，沿该方向有无数个点，无法确定唯一位置，符合题意；
D. 会议室第2排第6座，排数和座位号是两个独立数据，可唯一确定会议室中的座位位置，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
位置的确定
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是掌握平面内确定唯一位置需要两个独立有效数据的规则，结合生活常识就能快速判断，不易出错。
【难度系数】
0.9
要判断能否确定位置，首先明确核心规则：在平面内确定一个点的唯一位置，必须同时具备两个互相独立的有效数据，缺一不可。解题时只需逐个分析每个选项是否满足“有两个独立有效数据”这一条件即可：满足则能确定位置，不满足则不能确定位置。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 东经$118°$，北纬$40°$，经纬度是两个独立的数据，可以唯一确定地球表面的对应位置，不符合题意；
B. 南昌市红谷滩区学府大道299号，给出了具体道路和门牌号两个信息，可唯一对应具体地址，不符合题意；
C. 北偏东$40°$，仅给出了方向信息，没有给出距离观测点的距离，沿该方向有无数个点，无法确定唯一位置，符合题意；
D. 会议室第2排第6座，排数和座位号是两个独立数据，可唯一确定会议室中的座位位置，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
位置的确定
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是掌握平面内确定唯一位置需要两个独立有效数据的规则，结合生活常识就能快速判断，不易出错。
【难度系数】
0.9
2.下列运算正确的是()
A.$\sqrt[3]{-64}=-4$
B.$(-1)^{2025}=-2025$
C.$-2^2÷2=2$
D.$\sqrt{9}=\pm3$
A.$\sqrt[3]{-64}=-4$
B.$(-1)^{2025}=-2025$
C.$-2^2÷2=2$
D.$\sqrt{9}=\pm3$
答案
A
解析
【分析】
这是一道实数基础运算的判断题，解题时需逐一根据对应运算法则验证每个选项的运算结果是否正确，分别回忆立方根、有理数乘方、有理数除法、算术平方根的相关运算规则，逐个排查错误选项即可得出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：根据立方根的性质，负数的立方根是负数，因为$(-4)^3=-64$，所以$\sqrt[3]{-64}=-4$，该选项运算正确。
B选项：$-1$的奇数次幂结果为$-1$，2025是奇数，故$(-1)^{2025}=-1≠-2025$，该选项错误。
C选项：有理数乘方运算优先于除法，且$-2^2$表示$2^2$的相反数，即$-2^2=-4$，因此$-2^2÷2=-4÷2=-2≠2$，该选项错误。
D选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，故$\sqrt{9}=3≠\pm3$，$\pm3$是9的平方根，该选项错误。
综上，运算正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
立方根运算，乘方运算，算术平方根概念
【点评】
本题属于基础运算类题型，主要考查实数相关的基础运算法则，易错点在于混淆乘方的符号运算、平方根和算术平方根的区别，日常学习中要熟记各类运算法则，注意区分易混淆的概念。
【难度系数】
0.8
这是一道实数基础运算的判断题，解题时需逐一根据对应运算法则验证每个选项的运算结果是否正确，分别回忆立方根、有理数乘方、有理数除法、算术平方根的相关运算规则，逐个排查错误选项即可得出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：根据立方根的性质，负数的立方根是负数，因为$(-4)^3=-64$，所以$\sqrt[3]{-64}=-4$，该选项运算正确。
B选项：$-1$的奇数次幂结果为$-1$，2025是奇数，故$(-1)^{2025}=-1≠-2025$，该选项错误。
C选项：有理数乘方运算优先于除法，且$-2^2$表示$2^2$的相反数，即$-2^2=-4$，因此$-2^2÷2=-4÷2=-2≠2$，该选项错误。
D选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，故$\sqrt{9}=3≠\pm3$，$\pm3$是9的平方根，该选项错误。
综上，运算正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
立方根运算，乘方运算，算术平方根概念
【点评】
本题属于基础运算类题型，主要考查实数相关的基础运算法则，易错点在于混淆乘方的符号运算、平方根和算术平方根的区别，日常学习中要熟记各类运算法则，注意区分易混淆的概念。
【难度系数】
0.8
3.下图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A，B，C，D的边长分别是4，8，2，4，则正方形E的边长是()
A.12
B.10
C.9
D.8
A.12
B.10
C.9
D.8
答案
B
解析
【分析】
本题可利用勾股定理的几何意义求解：直角三角形两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。观察勾股树的结构可知：①正方形A、B的面积和等于二者下方相邻直角三角形斜边对应的正方形面积；②正方形C、D的面积和等于二者下方相邻直角三角形斜边对应的正方形面积；③上述两个中间正方形的面积和恰好等于正方形E的面积，因此四个小正方形的面积总和就是E的面积，再对E的面积开平方即可得到E的边长。
【解析】
第一步：计算四个小正方形的面积
正方形A的面积：$S_A=4^2=16$
正方形B的面积：$S_B=8^2=64$
正方形C的面积：$S_C=2^2=4$
正方形D的面积：$S_D=4^2=16$
第二步：根据勾股定理的几何意义推导正方形E的面积
根据勾股定理，直角三角形两直角边的正方形面积和等于斜边的正方形面积，可得：
$S_E=S_A+S_B+S_C+S_D=16+64+4+16=100$
第三步：计算正方形E的边长
设E的边长为$a$，则$a^2=S_E=100$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{100}=10$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何应用的经典题型，解题核心是理解勾股树中正方形面积的传递规律，将分散的小正方形面积合并得到最大正方形的面积，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
本题可利用勾股定理的几何意义求解：直角三角形两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。观察勾股树的结构可知：①正方形A、B的面积和等于二者下方相邻直角三角形斜边对应的正方形面积；②正方形C、D的面积和等于二者下方相邻直角三角形斜边对应的正方形面积；③上述两个中间正方形的面积和恰好等于正方形E的面积，因此四个小正方形的面积总和就是E的面积，再对E的面积开平方即可得到E的边长。
【解析】
第一步：计算四个小正方形的面积
正方形A的面积：$S_A=4^2=16$
正方形B的面积：$S_B=8^2=64$
正方形C的面积：$S_C=2^2=4$
正方形D的面积：$S_D=4^2=16$
第二步：根据勾股定理的几何意义推导正方形E的面积
根据勾股定理，直角三角形两直角边的正方形面积和等于斜边的正方形面积，可得：
$S_E=S_A+S_B+S_C+S_D=16+64+4+16=100$
第三步：计算正方形E的边长
设E的边长为$a$，则$a^2=S_E=100$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{100}=10$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何应用的经典题型，解题核心是理解勾股树中正方形面积的传递规律，将分散的小正方形面积合并得到最大正方形的面积，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
4.如图，数轴上的点P表示的无理数可能是()
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{\dfrac{π}{2}}$
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{\dfrac{π}{2}}$
答案
C
解析
【分析】首先观察数轴确定点P的取值范围：点P在2和3之间，即$2 ＜ P ＜ 3$，将不等式两边同时平方可得$4 ＜ P^2 ＜ 9$。接下来只需估算每个选项中无理数的大小，或计算各无理数的平方，判断哪个数的平方在4到9之间，对应的数就符合点P的取值范围，即为正确答案。
【解析】
第一步：确定点P的取值范围
由数轴可知，点P位于2和3之间，因此$2 ＜ P ＜ 3$，不等式两边同时平方得$4 ＜ P^2 ＜ 9$。
第二步：逐一分析选项
选项A：$\sqrt{2}$，因为$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$，不在2~3范围内，不符合要求；
选项B：$\sqrt{3}$，因为$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，不在2~3范围内，不符合要求；
选项C：$\sqrt{5}$，因为$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，刚好在2~3范围内，符合点P的位置特征；
选项D：$\sqrt{\dfrac{π}{2}}$，$π\approx3.14$，则$\dfrac{π}{2}\approx1.57＜4$，所以$\sqrt{\dfrac{π}{2}}＜2$，不在2~3范围内，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】C
【知识点】数轴的认识；无理数的估算
【点评】本题考查数轴与无理数估算的结合，解题核心是通过平方运算将无理数的范围转化为有理数的范围进行判断，属于基础类考点，熟练掌握常见平方根的估算方法即可快速解题。
【难度系数】0.85
【解析】
第一步：确定点P的取值范围
由数轴可知，点P位于2和3之间，因此$2 ＜ P ＜ 3$，不等式两边同时平方得$4 ＜ P^2 ＜ 9$。
第二步：逐一分析选项
选项A：$\sqrt{2}$，因为$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$，不在2~3范围内，不符合要求；
选项B：$\sqrt{3}$，因为$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，不在2~3范围内，不符合要求；
选项C：$\sqrt{5}$，因为$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，刚好在2~3范围内，符合点P的位置特征；
选项D：$\sqrt{\dfrac{π}{2}}$，$π\approx3.14$，则$\dfrac{π}{2}\approx1.57＜4$，所以$\sqrt{\dfrac{π}{2}}＜2$，不在2~3范围内，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】C
【知识点】数轴的认识；无理数的估算
【点评】本题考查数轴与无理数估算的结合，解题核心是通过平方运算将无理数的范围转化为有理数的范围进行判断，属于基础类考点，熟练掌握常见平方根的估算方法即可快速解题。
【难度系数】0.85
5.在平面直角坐标系中,若点$P(a-1,4)$与点$Q(7+3a,-5)$的连线平行于$y$轴,则$a$的值为()
A.$-4$
B.$5$
C.$4$
D.$-5$
A.$-4$
B.$5$
C.$4$
D.$-5$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆平行于y轴的直线上的点的坐标特征：所有点的横坐标相等，纵坐标互不相等（若纵坐标也相等则两点重合）。本题中点P和Q的连线平行于y轴，说明两点横坐标相等，因此我们可以令两点的横坐标相等，列出关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值，本题中两点纵坐标分别为4和-5，本身不相等，无需额外排除重合情况。
【解析】
解：
∵点P(a-1,4)与点Q(7+3a,-5)的连线平行于y轴，
∴两点横坐标相等，纵坐标不相等，据此列方程：
$a - 1 = 7 + 3a$
移项得：$a - 3a = 7 + 1$
合并同类项得：$-2a = 8$
系数化为1得：$a = -4$
验证：此时P、Q横坐标均为-5，纵坐标分别为4、-5，符合连线平行于y轴的要求。
【答案】
A
【知识点】
平行于y轴的点的坐标特征；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行于坐标轴的点的坐标规律，解题时要注意区分平行于x轴和y轴的点的坐标特征，避免混淆二者规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行于y轴的直线上的点的坐标特征：所有点的横坐标相等，纵坐标互不相等（若纵坐标也相等则两点重合）。本题中点P和Q的连线平行于y轴，说明两点横坐标相等，因此我们可以令两点的横坐标相等，列出关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值，本题中两点纵坐标分别为4和-5，本身不相等，无需额外排除重合情况。
【解析】
解：
∵点P(a-1,4)与点Q(7+3a,-5)的连线平行于y轴，
∴两点横坐标相等，纵坐标不相等，据此列方程：
$a - 1 = 7 + 3a$
移项得：$a - 3a = 7 + 1$
合并同类项得：$-2a = 8$
系数化为1得：$a = -4$
验证：此时P、Q横坐标均为-5，纵坐标分别为4、-5，符合连线平行于y轴的要求。
【答案】
A
【知识点】
平行于y轴的点的坐标特征；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行于坐标轴的点的坐标规律，解题时要注意区分平行于x轴和y轴的点的坐标特征，避免混淆二者规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
6.关于一次函数$y=-3x+2$，下列说法正确的是()
A.图象经过第二、三、四象限
B.图象可由直线$y=-3x$向下平移2个单位长度得到
C.若点$A(-2,y_1),B(-1,y_2)$都在直线$y=-3x+2$上，则$y_1＜y_2$
D.$x$每增加1，$y$相应减少3
A.图象经过第二、三、四象限
B.图象可由直线$y=-3x$向下平移2个单位长度得到
C.若点$A(-2,y_1),B(-1,y_2)$都在直线$y=-3x+2$上，则$y_1＜y_2$
D.$x$每增加1，$y$相应减少3
答案
D
解析
【分析】
这道题考查一次函数的相关性质，解题时我们先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$、$b$的几何意义、平移规律、增减性等知识点，再逐一分析每个选项，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：一次函数$y=-3x+2$中，$k=-3＜0$，$b=2＞0$，因此函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A错误；
B选项：根据一次函数平移“上加下减常数项”的规律，直线$y=-3x$向下平移2个单位得到的解析式为$y=-3x-2$，不是$y=-3x+2$，故B错误；
C选项：由于$k=-3＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，已知$-2＜-1$，因此对应的函数值$y_1＞y_2$，故C错误；
D选项：$k=-3$的含义为$x$每增加1个单位，$y$相应变化$-3$个单位，即$y$减少3，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象平移；一次函数增减性
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，熟练掌握一次函数中$k$、$b$对图象和性质的影响，以及平移、增减性等规律，就能快速准确完成判断。
【难度系数】
0.8
这道题考查一次函数的相关性质，解题时我们先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$、$b$的几何意义、平移规律、增减性等知识点，再逐一分析每个选项，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：一次函数$y=-3x+2$中，$k=-3＜0$，$b=2＞0$，因此函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A错误；
B选项：根据一次函数平移“上加下减常数项”的规律，直线$y=-3x$向下平移2个单位得到的解析式为$y=-3x-2$，不是$y=-3x+2$，故B错误；
C选项：由于$k=-3＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，已知$-2＜-1$，因此对应的函数值$y_1＞y_2$，故C错误；
D选项：$k=-3$的含义为$x$每增加1个单位，$y$相应变化$-3$个单位，即$y$减少3，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象平移；一次函数增减性
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，熟练掌握一次函数中$k$、$b$对图象和性质的影响，以及平移、增减性等规律，就能快速准确完成判断。
【难度系数】
0.8
7.若二次根式$\sqrt{m-3}$有意义，则$m$的值可以是（写出一个即可）。
答案
解：
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此可得：
$m-3 ≥ 0$
解得 $m ≥ 3$
取满足条件的一个值，例如$m=4$（答案不唯一，任意大于等于3的数均可）。
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此可得：
$m-3 ≥ 0$
解得 $m ≥ 3$
取满足条件的一个值，例如$m=4$（答案不唯一，任意大于等于3的数均可）。
解析
【分析】
要确定二次根式有意义时m的可取数值，首先需要回忆二次根式的成立条件：只有被开方数为非负数时，二次根式才有意义。据此我们可以列出关于m的不等式，解出m的取值范围后，在范围内任意选取一个数就是符合要求的答案。
【解析】
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此可得：
$m-3 ≥ 0$
解得 $m ≥ 3$
取满足上述范围的任意一个值即可，例如$m=4$（答案不唯一）。
【答案】
4（答案不唯一，任意大于等于3的数均可）
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式有意义的判定规则，只要牢记被开方数为非负数的要求就能快速求解，是基础得分题。
【难度系数】
0.9
要确定二次根式有意义时m的可取数值，首先需要回忆二次根式的成立条件：只有被开方数为非负数时，二次根式才有意义。据此我们可以列出关于m的不等式，解出m的取值范围后，在范围内任意选取一个数就是符合要求的答案。
【解析】
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此可得：
$m-3 ≥ 0$
解得 $m ≥ 3$
取满足上述范围的任意一个值即可，例如$m=4$（答案不唯一）。
【答案】
4（答案不唯一，任意大于等于3的数均可）
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式有意义的判定规则，只要牢记被开方数为非负数的要求就能快速求解，是基础得分题。
【难度系数】
0.9
8. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a,b,c$。若$a+b=14$，$c=10$，则$△ ABC$的面积为。
答案
$\boldsymbol{24}$
解析
【分析】
本题要求直角三角形的面积，直角三角形面积公式为$\frac{1}{2}ab$，因此解题核心是求出$ab$的值。已知$a+b=14$和斜边$c=10$，首先结合直角三角形的勾股定理得到$a^2+b^2=c^2$，再利用完全平方公式将$(a+b)^2$展开，将$a^2+b^2$替换为$c^2$，即可通过整体代入求出$ab$的值，最终计算得到面积。
【解析】
解：
∵ 在$△ABC$中，$∠C=90°$
∴ 根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$
∵ $c=10$，
∴ $a^2 + b^2 = 10^2 = 100$
又
∵ $a+b=14$，将等式两边同时平方得：
$(a+b)^2 = 14^2$
展开得：$a^2 + 2ab + b^2 = 196$
将$a^2 + b^2 = 100$代入上式得：
$100 + 2ab = 196$
解得：$2ab = 96$，即$ab=48$
∴ $△ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×48=24$
【答案】
$24$
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题无需单独求解$a$、$b$的具体数值，利用整体代换的思想结合勾股定理和完全平方公式即可快速求出$ab$的值，简化了计算过程，是处理这类已知直角三角形两边和与第三边求面积问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
本题要求直角三角形的面积，直角三角形面积公式为$\frac{1}{2}ab$，因此解题核心是求出$ab$的值。已知$a+b=14$和斜边$c=10$，首先结合直角三角形的勾股定理得到$a^2+b^2=c^2$，再利用完全平方公式将$(a+b)^2$展开，将$a^2+b^2$替换为$c^2$，即可通过整体代入求出$ab$的值，最终计算得到面积。
【解析】
解：
∵ 在$△ABC$中，$∠C=90°$
∴ 根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$
∵ $c=10$，
∴ $a^2 + b^2 = 10^2 = 100$
又
∵ $a+b=14$，将等式两边同时平方得：
$(a+b)^2 = 14^2$
展开得：$a^2 + 2ab + b^2 = 196$
将$a^2 + b^2 = 100$代入上式得：
$100 + 2ab = 196$
解得：$2ab = 96$，即$ab=48$
∴ $△ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×48=24$
【答案】
$24$
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题无需单独求解$a$、$b$的具体数值，利用整体代换的思想结合勾股定理和完全平方公式即可快速求出$ab$的值，简化了计算过程，是处理这类已知直角三角形两边和与第三边求面积问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
9.我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了这样一个问题，意思是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺（我国古代长度单位）；将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高。若这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索长多少尺。如图，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为 。
答案
解：
设秋千的绳索长为$x$尺，推送秋千后，水平方向直角边长为10尺，竖直方向直角边长为$x+1-5=(x-4)$尺，绳索为该直角三角形的斜边，根据勾股定理可列方程：
$(x-4)^2 + 10^2 = x^2$
设秋千的绳索长为$x$尺，推送秋千后，水平方向直角边长为10尺，竖直方向直角边长为$x+1-5=(x-4)$尺，绳索为该直角三角形的斜边，根据勾股定理可列方程：
$(x-4)^2 + 10^2 = x^2$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先将实际场景转化为直角三角形模型，再用勾股定理列方程。首先明确各段长度关系：设绳索长为x尺，静止时踏板离地1尺，因此秋千顶端到地面的总高度为$(x+1)$尺；当推送后踏板高度为5尺时，顶端到踏板的竖直距离就是总高度减去当前踏板高度。接着找到直角三角形的三条边：水平推送距离10尺是一条直角边，刚才计算的竖直距离是另一条直角边，拉直的绳索是斜边。最后根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列出方程。
【解析】
设秋千的绳索长为$x$尺。
1. 计算竖直方向直角边长度：秋千顶端到地面的高度为$(x+1)$尺，推送后踏板高5尺，因此顶端到踏板的竖直距离为$x+1-5=x-4$尺。
2. 水平方向直角边长度为10尺，绳索长$x$为直角三角形的斜边。
3. 根据勾股定理列方程：
$(x-4)^2 + 10^2 = x^2$
【答案】
$(x-4)^2 + 10^2 = x^2$
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题
【点评】
本题结合古代数学名题考查勾股定理的实际应用，解题核心是准确梳理直角三角形各边对应的实际长度，重点要理清竖直方向的高度差关系，避免对高度计算出现偏差。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要先将实际场景转化为直角三角形模型，再用勾股定理列方程。首先明确各段长度关系：设绳索长为x尺，静止时踏板离地1尺，因此秋千顶端到地面的总高度为$(x+1)$尺；当推送后踏板高度为5尺时，顶端到踏板的竖直距离就是总高度减去当前踏板高度。接着找到直角三角形的三条边：水平推送距离10尺是一条直角边，刚才计算的竖直距离是另一条直角边，拉直的绳索是斜边。最后根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列出方程。
【解析】
设秋千的绳索长为$x$尺。
1. 计算竖直方向直角边长度：秋千顶端到地面的高度为$(x+1)$尺，推送后踏板高5尺，因此顶端到踏板的竖直距离为$x+1-5=x-4$尺。
2. 水平方向直角边长度为10尺，绳索长$x$为直角三角形的斜边。
3. 根据勾股定理列方程：
$(x-4)^2 + 10^2 = x^2$
【答案】
$(x-4)^2 + 10^2 = x^2$
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题
【点评】
本题结合古代数学名题考查勾股定理的实际应用，解题核心是准确梳理直角三角形各边对应的实际长度，重点要理清竖直方向的高度差关系，避免对高度计算出现偏差。
【难度系数】
0.7
