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1. 如图，给出下列条件：①$∠ 1 = ∠ 3$；②$∠ 2 = ∠ 3$；③$∠ 4 = ∠ 5$；④$∠ 2 + ∠ 4 = 180°$。其中能判定直线$c // d$的有
（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
要判断哪些条件能判定直线c//d，需结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行），逐个分析每个条件中的两个角是否是直线c、d被同一条截线所截形成的对应角，再判断能否推出平行即可。
【解析】
我们逐个验证4个条件：
1. 条件①：∠1与∠3是直线c、d被三角形斜边所截形成的内错角，∠1=∠3满足“内错角相等，两直线平行”，可判定c//d；
2. 条件②：∠2与∠3不是直线c、d被同一条直线截得的同位角或内错角，∠2=∠3无法推出c//d，不能判定；
3. 条件③：∠4与∠5是直线c、d被斜截线所截形成的同位角，∠4=∠5满足“同位角相等，两直线平行”，可判定c//d；
4. 条件④：∠2与∠4是直线c、d被斜截线所截形成的同旁内角，∠2+∠4=180°满足“同旁内角互补，两直线平行”，可判定c//d。
综上，能判定c//d的条件有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
内错角相等两直线平行；同位角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
【点评】
本题核心考查平行线的判定，解题的关键是准确识别两条直线被第三条直线所截形成的三类角，再对应判定定理验证即可，注意不要混淆角的位置关系。
【难度系数】
0.7
要判断哪些条件能判定直线c//d，需结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行），逐个分析每个条件中的两个角是否是直线c、d被同一条截线所截形成的对应角，再判断能否推出平行即可。
【解析】
我们逐个验证4个条件：
1. 条件①：∠1与∠3是直线c、d被三角形斜边所截形成的内错角，∠1=∠3满足“内错角相等，两直线平行”，可判定c//d；
2. 条件②：∠2与∠3不是直线c、d被同一条直线截得的同位角或内错角，∠2=∠3无法推出c//d，不能判定；
3. 条件③：∠4与∠5是直线c、d被斜截线所截形成的同位角，∠4=∠5满足“同位角相等，两直线平行”，可判定c//d；
4. 条件④：∠2与∠4是直线c、d被斜截线所截形成的同旁内角，∠2+∠4=180°满足“同旁内角互补，两直线平行”，可判定c//d。
综上，能判定c//d的条件有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
内错角相等两直线平行；同位角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
【点评】
本题核心考查平行线的判定，解题的关键是准确识别两条直线被第三条直线所截形成的三类角，再对应判定定理验证即可，注意不要混淆角的位置关系。
【难度系数】
0.7
2.小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，使CE位于∠ACB的内部。三角尺ABC的位置保持不变，改变三角尺CDE的位置，当∠ECB=
30
°时，DE//BC。答案
30
解析
【分析】
要使DE//BC，可根据平行线的判定定理思考：两直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行。观察图形可知，直线DE、BC被直线CE所截，形成的内错角为∠DEC和∠ECB，因此只需让∠ECB=∠DEC即可满足平行条件，结合一副三角尺的固定角度就能求出∠ECB的度数。
【解析】
根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。
观察图形可得，若DE//BC，需满足内错角∠ECB=∠DEC。
已知三角尺CDE是含30°角的直角三角尺，∠DEC=30°，因此当∠ECB=30°时，DE//BC。
【答案】
30
【知识点】
平行线的判定、三角尺的角度特征
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查平行线的判定，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，熟悉常见三角尺的角度大小。
【难度系数】
0.7
要使DE//BC，可根据平行线的判定定理思考：两直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行。观察图形可知，直线DE、BC被直线CE所截，形成的内错角为∠DEC和∠ECB，因此只需让∠ECB=∠DEC即可满足平行条件，结合一副三角尺的固定角度就能求出∠ECB的度数。
【解析】
根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。
观察图形可得，若DE//BC，需满足内错角∠ECB=∠DEC。
已知三角尺CDE是含30°角的直角三角尺，∠DEC=30°，因此当∠ECB=30°时，DE//BC。
【答案】
30
【知识点】
平行线的判定、三角尺的角度特征
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查平行线的判定，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，熟悉常见三角尺的角度大小。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$∠ ABC = ∠ ACB$，BD平分$∠ ABC$，CE平分$∠ ACB$，$∠ DBF = ∠ F$。求证：$CE // DF$。
证明：$\because BD$平分$∠ ABC$，$CE$平分$∠ ACB$(已知)，
$\therefore ∠ DBC=\dfrac{1}{2}∠$
又$\because ∠ ABC=∠ ACB$(已知)，
$\therefore ∠$
又$\because ∠ DBF=∠ F$(已知)，
$\therefore ∠$
$\therefore CE // DF$(
证明：$\because BD$平分$∠ ABC$，$CE$平分$∠ ACB$(已知)，
$\therefore ∠ DBC=\dfrac{1}{2}∠$
ABC
，$∠ ECB=\dfrac{1}{2}∠$ACB
(角平分线的定义
)。又$\because ∠ ABC=∠ ACB$(已知)，
$\therefore ∠$
DBC
$=∠$ECB
(等量代换)。又$\because ∠ DBF=∠ F$(已知)，
$\therefore ∠$
ECB
$=∠$F
(等量代换)。$\therefore CE // DF$(
同位角相等,两直线平行
)。答案
ABC；ACB；角平分线的定义
DBC；ECB
ECB；F
同位角相等,两直线平行
DBC；ECB
ECB；F
同位角相等,两直线平行
解析
【分析】
要证明$CE// DF$，可通过判定平行线的“同位角相等，两直线平行”定理推导。首先根据角平分线的定义，可得$∠ DBC$、$∠ ECB$分别是$∠ ABC$、$∠ ACB$的一半；结合已知$∠ ABC=∠ ACB$，可推出$∠ DBC=∠ ECB$；再结合已知$∠ DBF=∠ F$，通过等量代换得到同位角$∠ ECB=∠ F$，最终即可证明两直线平行。
【解析】
证明：$\because BD$平分$∠ ABC$，$CE$平分$∠ ACB$(已知)，
$\therefore ∠ DBC=\dfrac{1}{2}∠\boldsymbol{ABC}$ ，$∠ ECB=\dfrac{1}{2}∠\boldsymbol{ACB}$ (角平分线的定义)。
又$\because ∠ ABC=∠ ACB$(已知)，
$\therefore ∠\boldsymbol{DBC}=∠\boldsymbol{ECB}$ (等量代换)。
又$\because ∠ DBF=∠ F$(已知)，
$\therefore ∠\boldsymbol{ECB}=∠\boldsymbol{F}$ (等量代换)。
$\therefore CE // DF$(同位角相等,两直线平行)。
【答案】
ABC；ACB；角平分线的定义；DBC；ECB；ECB；F；同位角相等，两直线平行
【知识点】
角平分线的定义；等量代换；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，侧重考察基础概念和定理的应用，解题时只需逐步梳理已知条件，通过等量代换得到判定平行所需的角的关系即可，熟练掌握相关定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明$CE// DF$，可通过判定平行线的“同位角相等，两直线平行”定理推导。首先根据角平分线的定义，可得$∠ DBC$、$∠ ECB$分别是$∠ ABC$、$∠ ACB$的一半；结合已知$∠ ABC=∠ ACB$，可推出$∠ DBC=∠ ECB$；再结合已知$∠ DBF=∠ F$，通过等量代换得到同位角$∠ ECB=∠ F$，最终即可证明两直线平行。
【解析】
证明：$\because BD$平分$∠ ABC$，$CE$平分$∠ ACB$(已知)，
$\therefore ∠ DBC=\dfrac{1}{2}∠\boldsymbol{ABC}$ ，$∠ ECB=\dfrac{1}{2}∠\boldsymbol{ACB}$ (角平分线的定义)。
又$\because ∠ ABC=∠ ACB$(已知)，
$\therefore ∠\boldsymbol{DBC}=∠\boldsymbol{ECB}$ (等量代换)。
又$\because ∠ DBF=∠ F$(已知)，
$\therefore ∠\boldsymbol{ECB}=∠\boldsymbol{F}$ (等量代换)。
$\therefore CE // DF$(同位角相等,两直线平行)。
【答案】
ABC；ACB；角平分线的定义；DBC；ECB；ECB；F；同位角相等，两直线平行
【知识点】
角平分线的定义；等量代换；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，侧重考察基础概念和定理的应用，解题时只需逐步梳理已知条件，通过等量代换得到判定平行所需的角的关系即可，熟练掌握相关定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 提升题 如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD，垂足为H，∠2=30°，∠1=60°。求证：AB//CD。
答案
证明:$\because GH\bot CD$(已知),
$\therefore ∠ CHG=90°$(垂直的定义)。
又$\because ∠ 2=30°$(已知),$\therefore ∠ 3=60°$。
$\therefore ∠ 4=∠ 3=60°$(对顶角相等)。
又$\because ∠ 1=60°$(已知),$\therefore ∠ 1=∠ 4$。
$\therefore AB// CD$(同位角相等,两直线平行)。
$\therefore ∠ CHG=90°$(垂直的定义)。
又$\because ∠ 2=30°$(已知),$\therefore ∠ 3=60°$。
$\therefore ∠ 4=∠ 3=60°$(对顶角相等)。
又$\because ∠ 1=60°$(已知),$\therefore ∠ 1=∠ 4$。
$\therefore AB// CD$(同位角相等,两直线平行)。
解析
【分析】
要证明AB//CD，可利用“同位角相等，两直线平行”的判定定理推导，因此需要先证明∠1和直线EF与CD相交形成的同位角度数相等。已知GH⊥CD可得90°角，结合∠2=30°可先求出与该同位角为对顶角的角的度数，再利用对顶角相等得到同位角的度数，对比∠1的度数即可完成证明。
【解析】
证明:$\because GH\bot CD$(已知),
$\therefore ∠ CHG=90°$(垂直的定义)。
又$\because ∠ 2=30°$(已知),
$\therefore ∠ 3=90°-∠2=60°$。
$\therefore ∠ 4=∠ 3=60°$(对顶角相等)。
又$\because ∠ 1=60°$(已知),
$\therefore ∠ 1=∠ 4$(等量代换)。
$\therefore AB// CD$(同位角相等,两直线平行)。
【答案】
证明:$\because GH\bot CD$(已知),
$\therefore ∠ CHG=90°$(垂直的定义)。
又$\because ∠ 2=30°$(已知),$\therefore ∠ 3=60°$。
$\therefore ∠ 4=∠ 3=60°$(对顶角相等)。
又$\because ∠ 1=60°$(已知),$\therefore ∠ 1=∠ 4$。
$\therefore AB// CD$(同位角相等,两直线平行)。
【知识点】
垂直的定义；对顶角的性质；平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的典型应用题型，需要结合垂直的定义、对顶角相等的性质完成角度推导，解题核心是找到能判定两直线平行的相等同位角，侧重对基础定理的运用能力考察。
【难度系数】
0.7
要证明AB//CD，可利用“同位角相等，两直线平行”的判定定理推导，因此需要先证明∠1和直线EF与CD相交形成的同位角度数相等。已知GH⊥CD可得90°角，结合∠2=30°可先求出与该同位角为对顶角的角的度数，再利用对顶角相等得到同位角的度数，对比∠1的度数即可完成证明。
【解析】
证明:$\because GH\bot CD$(已知),
$\therefore ∠ CHG=90°$(垂直的定义)。
又$\because ∠ 2=30°$(已知),
$\therefore ∠ 3=90°-∠2=60°$。
$\therefore ∠ 4=∠ 3=60°$(对顶角相等)。
又$\because ∠ 1=60°$(已知),
$\therefore ∠ 1=∠ 4$(等量代换)。
$\therefore AB// CD$(同位角相等,两直线平行)。
【答案】
证明:$\because GH\bot CD$(已知),
$\therefore ∠ CHG=90°$(垂直的定义)。
又$\because ∠ 2=30°$(已知),$\therefore ∠ 3=60°$。
$\therefore ∠ 4=∠ 3=60°$(对顶角相等)。
又$\because ∠ 1=60°$(已知),$\therefore ∠ 1=∠ 4$。
$\therefore AB// CD$(同位角相等,两直线平行)。
【知识点】
垂直的定义；对顶角的性质；平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的典型应用题型，需要结合垂直的定义、对顶角相等的性质完成角度推导，解题核心是找到能判定两直线平行的相等同位角，侧重对基础定理的运用能力考察。
【难度系数】
0.7
