1.某公司为了方便市民绿色出行，推出了如图①所示的共享单车，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，$∠ BCD=62°$，$∠ BAC=53°$。要使AM与CB平行，$∠ MAC$的大小为（）


A.$62°$
B.$65°$
C.$75°$
D.$115°$

B

【分析】
解题时首先根据AB、CD都与地面l平行，可推出AB//CD，利用平行线的内错角相等得到∠ABC的度数；再在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数；最后根据平行线的判定，要使AM//CB，只需内错角∠MAC与∠ACB相等，即可求出∠MAC的大小。
【解析】
1. 由题意知AB//l，CD//l，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$\boldsymbol{AB// CD}$；
2. AB//CD，BC为截线，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ABC=∠ BCD=62°$；
3. 在△ABC中，三角形内角和为$180°$，已知$∠ BAC=53°$，则$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-53°-62°=65°$；
4. 要使AM//CB，AC为两条直线的截线，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$∠ MAC=∠ ACB=65°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质与判定，三角形内角和定理
【点评】
本题结合共享单车的生活场景考查几何基础知识点的综合应用，解题的关键是找准平行线对应的截线，明确角的位置关系，是典型的基础应用型考题。
【难度系数】
0.7

2.如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G。若∠MFD=∠BEF=62°，射线GP⊥EG，交AB于点P，则∠PGF=°。

121

【分析】
首先观察已知角的位置关系，∠MFD和∠BEF是直线AB、CD被MN所截形成的同位角，二者相等可判定AB//CD；接着利用角平分线的定义，由∠BEF的度数求出∠BEG的度数；再根据平行线的内错角相等性质，得到∠EGF的度数；最后结合GP⊥EG的垂直关系，将∠EGF和直角∠EGP相加即可求出∠PGF的度数。
【解析】
解：
∵ ∠MFD=∠BEF=62°，
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行），
∵ EG平分∠BEF，
∴ ∠BEG=$\frac{1}{2}$∠BEF=$\frac{1}{2}$×62°=31°，
∵ AB//CD，
∴ ∠EGF=∠BEG=31°（两直线平行，内错角相等），
∵ GP⊥EG，
∴ ∠EGP=90°，
∴ ∠PGF=∠EGF + ∠EGP=31°+90°=121°。
【答案】
121
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；垂直的定义
【点评】
本题是角度计算的基础综合题，解题核心是熟练运用平行线的判定和性质，结合角平分线、垂直的定义逐步推导角度，需要注意找准角的位置关系，避免混淆同位角、内错角的对应关系。
【难度系数】
0.7

3.如图，$AB// CD$，$OE$平分$∠ AOC$，$CF$平分$∠ OCD$。求证：$∠ EOF+∠ OFC=180°$。请完成下面的证明过程。
证明：$\because AB// CD$(已知)，
$\therefore ∠ AOC=$（）。
$\because OE$平分$∠ AOC$(已知)，
$\therefore ∠ EOC=\frac{1}{2}$（角平分线的定义）。
同理，$∠ OCF=\frac{1}{2}$。
$\therefore ∠ EOC=∠ OCF$()。
$\therefore OE//$()。
$\therefore ∠ EOF+∠ OFC=180°$()。

∠OCD；两直线平行，内错角相等
∠AOC
∠OCD
等量代换
CF；内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补

【分析】
本题是平行线性质与判定结合的填空类证明题，解题逻辑可按顺序梳理：首先根据已知的$AB// CD$，利用平行线的性质得到一组内错角相等；再结合角平分线的定义，推导得出两个半角相等，得到新的一组内错角相等，进而判定两条直线平行；最后利用平行线的性质即可得到同旁内角互补的结论，按推导顺序依次填写对应内容即可。
【解析】
1. 已知$AB// CD$，直线$CH$截$AB$、$CD$得到内错角$∠ AOC$和$∠ OCD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ AOC=∠ OCD$，因此第一空填$∠ OCD$，依据为两直线平行，内错角相等。
2. 已知$OE$平分$∠ AOC$，根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的部分，因此$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，第二空填$∠ AOC$。
3. 同理，$CF$平分$∠ OCD$，因此$∠ OCF=\frac{1}{2}∠ OCD$，第三空填$∠ OCD$。
4. 由$∠ AOC=∠ OCD$，可得它们的半角也相等，即$∠ EOC=∠ OCF$，该推导依据为等量代换，第四空填等量代换。
5. $∠ EOC$和$∠ OCF$是直线$OE$、$CF$被$CH$截得的内错角，内错角相等可判定两直线平行，因此$OE// CF$，第五空填$CF$，依据为内错角相等，两直线平行。
6. 已知$OE// CF$，$∠ EOF$和$∠ OFC$是两条平行线被$OF$截得的同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ EOF+∠ OFC=180°$，最后一空依据为两直线平行，同旁内角互补。
【答案】
$∠ OCD$；两直线平行，内错角相等
$∠ AOC$
$∠ OCD$
等量代换
$CF$；内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是几何证明的基础题型，侧重考察平行线性质与判定的区分及应用，同时结合了角平分线定义的考察，解题时需要准确识别不同位置关系的角，理清证明的逻辑链条，是巩固平行线证明基础的典型习题。
【难度系数】
0.8

4. 提升题 2022年北京冬奥会掀起了滑雪热潮。正确的滑雪姿势要求上身挺直略前倾，与小腿平行，如图①所示。将该姿势抽象为几何图形如图②所示。已知$AF// DE$，$AB// CD$，$∠ CDE=60°$，求$∠ BAF$的度数。

解:如图②,过点B作$BM// AF$,过点C作$CN// DE$。
$\because AF// DE,\therefore AF// BM// CN// DE$。
$\therefore ∠ BAF=∠ ABM,∠ MBC=∠ BCN,$
$∠ CDE=∠ DCN$。
$\because AB// CD,\therefore ∠ ABC=∠ BCD$。
$\therefore ∠ ABC-∠ MBC=∠ BCD-∠ BCN$。
$\therefore ∠ ABM=∠ DCN$。
$\therefore ∠ BAF=∠ CDE=60°$。

【分析】
本题属于平行线间存在拐点的几何问题，解题思路如下：首先观察到已知条件给出两组平行直线，但∠BAF和∠CDE没有直接联系，因此需要通过作辅助线转化角的关系，这是平行线拐点问题的常用解法。我们可以过两个拐点B、C分别作已知平行线的平行线，利用平行公理的推论得到多条互相平行的直线，再结合平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，推导角之间的等量关系，最终将∠BAF和已知的∠CDE建立联系，求出∠BAF的度数。
【解析】
解：如图②，过点B作$BM// AF$，过点C作$CN// DE$。
$\because AF// DE$，
$\therefore AF// BM// CN// DE$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ BAF=∠ ABM$，$∠ MBC=∠ BCN$，$∠ CDE=∠ DCN$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC=∠ BCD$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ ABC-∠ MBC=∠ BCD-∠ BCN$，即$∠ ABM=∠ DCN$，
$\therefore ∠ BAF=∠ CDE$。
$\because ∠ CDE=60°$，
$\therefore ∠ BAF=60°$。
【答案】
$∠ BAF=60°$
【知识点】
1.平行线的性质
2.平行公理的推论
3.角度等量代换
【点评】
本题是平行线性质应用的典型题型，核心考查平行线间拐点问题的处理方法，解题关键是通过过拐点作平行线构造内错角，实现角的关系的转化，这类问题是平行线章节的高频考点，熟练掌握辅助线的作法可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6