8. (2024昆明官渡区期中)已知$3^n=a,3^m=b$，则$3^{m+n+1}=$.

$\boldsymbol{3ab}$

【分析】
解题时先观察所求式子的指数特征，指数$m+n+1$是三个数相加的形式，可联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逆向使用该法则就能将指数相加的幂拆分为多个同底数幂相乘的形式。我们可以把$3^{m+n+1}$拆成$3^m$、$3^n$、$3^1$三个同底数幂的乘积，再把已知的$3^n=a$、$3^m=b$整体代入计算，即可得到结果。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法法则$a^x· a^y=a^{x+y}$，逆用该法则可得：
$3^{m+n+1}=3^m· 3^n· 3^1$
将$3^n=a$，$3^m=b$代入上式：
原式$=b· a· 3=3ab$
【答案】
$\boldsymbol{3ab}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 代数式代入求值
【点评】
本题是幂运算的基础应用题，解题核心是熟练掌握同底数幂乘法法则，能灵活对法则进行正向、逆向转化，结合整体代入的思想就能快速求解。
【难度系数】
0.9

9. 计算:
(1) $-x^6 · (-x) + (-x)^4 · (-x)^3$;
(2) $(b-a)^2 (a-b)^3 (b-a)^5$.

解：
(1)
$\begin{aligned}-x^6 · (-x) + (-x)^4 · (-x)^3&= x^{6+1} + (-x)^{4+3}\\&= x^7 + (-x^7)\\&= x^7 - x^7\\&= 0\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(b-a)^2(a-b)^3(b-a)^5&=(a-b)^2 · (a-b)^3 · [-(a-b)^5]\\&= -(a-b)^{2+3+5}\\&= -(a-b)^{10}\end{aligned}$

【分析】
(1) 计算第一问时，先观察两个乘积项的底数特征：第一项的两个因式底数都是x，先确定符号（负负得正），再运用同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）计算；第二项的两个因式底数都是(-x)，先按同底数幂乘法法则合并，再根据负数的奇次幂为负化简符号，最后合并同类项得到结果。
(2) 计算第二问时，首先发现三个幂的底数(b-a)和(a-b)互为相反数，需要先统一底数：根据偶次幂的性质，$(b-a)^2=(a-b)^2$；根据奇次幂的性质，$(b-a)^5=-(a-b)^5$，统一底数为(a-b)后，再运用同底数幂的乘法法则计算，注意处理好符号。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}-x^6 · (-x) + (-x)^4 · (-x)^3&= x^{6+1} + (-x)^{4+3}\\&= x^7 + (-x^7)\\&= x^7 - x^7\\&= 0\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(b-a)^2(a-b)^3(b-a)^5&=(a-b)^2 · (a-b)^3 · [-(a-b)^5]\\&= -(a-b)^{2+3+5}\\&= -(a-b)^{10}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{-(a-b)^{10}}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的符号判断；相反数底数幂的转化
【点评】
本题属于同底数幂乘法的常规基础题，解题的关键是先统一幂的底数，尤其要注意区分负数奇次幂、偶次幂的符号规律，避免在符号运算上出现失误。
【难度系数】
0.75

10. 规定 $ m * n = 3^n × 3^m $.
(1)求 $ 2 * 3 $;
(2)若 $ 2 * (x+1) = 81 $,求 $ x $ 的值.

解：
(1) 根据规定 $ m*n = 3^n × 3^m $，可得：
$ 2*3 = 3^3 × 3^2 $
$ = 3^{3+2} $
$ = 3^5 $
$ = 243 $
(2) 将 $ 2*(x+1)=81 $ 按规定运算展开，得：
$ 3^{x+1} × 3^2 = 81 $
由同底数幂的乘法法则，得：
$ 3^{x+1+2} = 3^4 $
即 $ 3^{x+3} = 3^4 $
∴ $ x+3 = 4 $
解得 $ x=1 $

【分析】
本题是新定义运算题型，解题核心是先明确题目给出的*运算规则：$m*n=3^n×3^m$。解决第(1)问时，直接将m=2、n=3代入运算规则，再利用同底数幂的乘法法则计算即可。解决第(2)问时，先按新规则将等式左侧展开，再把右侧的81转化为底数为3的幂，根据“同底数的幂相等时，指数相等”列方程求解x即可。
【解析】
(1) 根据规定的运算规则$m*n = 3^n × 3^m$，代入$m=2$、$n=3$得：
$\begin{aligned}2*3 &= 3^3 × 3^2 \\&= 3^{3+2} \\&= 3^5 \\&= 243\end{aligned}$
(2) 将$2*(x+1)=81$按运算规则展开得：
$3^{x+1} × 3^2 = 81$
由同底数幂的乘法法则计算左侧：
$3^{(x+1)+2}=3^{x+3}$
将右侧81改写为$3^4$，可得：
$3^{x+3}=3^4$
根据同底数幂相等则指数相等，得：
$x+3=4$
解得$x=1$
【答案】
(1) $\boxed{243}$；(2) $\boxed{x=1}$
【知识点】
新定义运算、同底数幂的乘法、一元一次方程求解
【点评】
本题侧重考查知识迁移能力，要求学生能将陌生的新定义运算转化为已掌握的幂运算，核心是准确理解新运算规则，结合同底数幂的性质求解，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85

11.已知$a^3=m$，$a^5=n$，试用含$m,n$的式子表示$2a^8$。

解：
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得
$a^8 = a^{3+5} = a^3 · a^5$
将$a^3=m$，$a^5=n$代入上式，得
$a^8 = m · n = mn$
因此$2a^8 = 2mn$。

【分析】
要推导$2a^8$的表达式，首先需要得到$a^8$的表示形式。观察已知条件给出的是$a^3$和$a^5$的值，而所求幂的指数8恰好等于已知的两个指数3和5的和，因此可以联想到同底数幂的乘法法则，将$a^8$拆分为$a^{3+5}$，再转化为$a^3$与$a^5$的乘积，最后代入已知的$m、n$，乘2即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$a^8 = a^{3+5} = a^3 · a^5$
将$a^3=m$，$a^5=n$代入上式，得：
$a^8 = m · n = mn$
因此$2a^8 = 2 × mn = 2mn$
【答案】
$2mn$
【知识点】
同底数幂的乘法；代数式代入求值
【点评】
本题核心是考查同底数幂乘法法则的灵活运用，解题关键是观察到所求幂的指数与已知幂的指数的和的关系，熟练掌握运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

12. 已知$(a+b)^a · (b+a)^b = (a+b)^5$，且$(a-b)^{a+4} · (a-b)^{4-b} = (a-b)^7$，求$a^a b^b$的值.

解：
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
由$(a+b)^a · (a+b)^b = (a+b)^5$，可得：
$(a+b)^{a+b}=(a+b)^5$
因此 $a + b = 5$。
由$(a-b)^{a+4} · (a-b)^{4-b} = (a-b)^7$，可得：
$(a-b)^{(a+4)+(4-b)}=(a-b)^7$
即 $(a-b)^{a - b + 8}=(a-b)^7$
因此 $a - b + 8 = 7$，整理得 $a - b = -1$。
联立方程组：
$\begin{cases}a + b = 5 \\a - b = -1\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\b=3\end{cases}$
代入计算：
$a^a b^b = 2^2 × 3^3 = 4 × 27 = 108$
最终答案为$\boldsymbol{108}$。

【分析】
解题时先观察等式结构，发现两个等式均为同底数幂相乘的形式，优先运用同底数幂的乘法法则分析：第一个等式左右底数均为$(a+b)$，合并左侧后令指数相等即可得到关于$a$、$b$的第一个方程；第二个等式左右底数均为$(a-b)$，同样合并左侧后令指数相等得到第二个方程，联立两个方程组成二元一次方程组，解出$a$、$b$的值后代入所求代数式计算即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
1. 推导第一个方程：
因为$(a+b)^a · (b+a)^b = (a+b)^a · (a+b)^b = (a+b)^{a+b}$，已知该式等于$(a+b)^5$，可得：
$a + b = 5$
2. 推导第二个方程：
$(a-b)^{a+4} · (a-b)^{4-b} = (a-b)^{(a+4)+(4-b)} = (a-b)^{a - b + 8}$，已知该式等于$(a-b)^7$，可得：
$a - b + 8 = 7$，整理得$a - b = -1$
3. 联立方程组求解：
联立$\begin{cases}a + b = 5 \\a - b = -1\end{cases}$，两式相加得$2a=4$，解得$a=2$，将$a=2$代入$a+b=5$得$b=3$。
4. 代入计算：
把$a=2$、$b=3$代入$a^a b^b$得：
$2^2 × 3^3 = 4 × 27 = 108$
【答案】
$\boldsymbol{108}$
【知识点】
同底数幂的乘法；二元一次方程组的解法；代数式求值
【点评】
本题是幂的运算与方程结合的基础综合题，核心是熟练运用同底数幂的乘法性质得到参数方程，解题时要注意先统一互为相反数的底数（本题中$a+b$与$b+a$相等，可直接合并），再通过解方程、代入求值得到结果。
【难度系数】
0.7

13.(推理能力)阅读材料:
求$1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{2025}$的值.
解:设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{2025}$. ①
将等式两边同时乘2,得
$2S=2+2^2+2^3+2^4+2^5+···+2^{2025}+2^{2026}$. ②
②-①,得$2S-S=2^{2026}-1$.
$\therefore S=2^{2026}-1$,
即$1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{2025}=2^{2026}-1$.
请你仿照此法计算:
$1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^n$(其中$n$为正整数).

解：设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n$. ①
将等式两边同时乘3，得
$3S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+\dots+3^n+3^{n+1}$. ②
②-①，得$3S-S=3^{n+1}-1$.
$\therefore 2S=3^{n+1}-1$，
$\therefore S=\frac{3^{n+1}-1}{2}$，
即$1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$.

【分析】
本题是类比给定材料方法求解的规律探究题，解题思路可参考如下：①先设所求式子的总和为S，简化后续运算的书写；②观察式子可知后一项是前一项的3倍，因此将等式两边同时乘3，得到新的等式，此时新等式中除首项和末项外，其余项都与原S中的项完全重合；③用新等式减去原S，中间重叠的项可全部抵消，仅剩余首尾两项的差；④最后整理所得等式，将S的系数化为1，即可求出原式的结果。
【解析】
解：设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n$. ①
将等式两边同时乘3，得
$3S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+\dots+3^n+3^{n+1}$. ②
②-①，得$3S-S=3^{n+1}-1$.
$\therefore 2S=3^{n+1}-1$，
$\therefore S=\frac{3^{n+1}-1}{2}$，
即$1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$.
【答案】
$1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$
【知识点】
同底数幂的乘法；错位相减求和；整式运算
【点评】
本题属于阅读迁移类题型，重点考查对给定解题方法的理解与迁移应用能力，解题的核心是找准式子的公比，通过乘公比构造可消去中间项的等式，进而简化运算，是规律探究类问题的常见考法。
【难度系数】
0.7