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11.（2024·达州期末）如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 2, BC = 3$，若点$E$是边$CD$的中点，连接$AE$，过点$B$作$BF \perp AE$于点$F$，则$BF$的长为_______.
答案
$\frac{3\sqrt{10}}{5}$ 解析：如图，连接 BE，在矩形 ABCD 中，$\because AB = 2$，$BC = 3$，$\therefore CD = AB = 2$，$AD = BC = 3$，$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$. $\because E$是边 CD 的中点，$\therefore CE = DE=\frac{1}{2}CD = 1$，$\therefore AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{10}$. $\because S_{\triangle ADE}+S_{\triangle BCE}+S_{\triangle ABE}=S_{矩形 ABCD}$，$BF\perp AE$，$\therefore\frac{1}{2}AD\cdot DE+\frac{1}{2}BC\cdot CE+\frac{1}{2}AE\cdot BF = AB\cdot BC$，即$\frac{1}{2}\times3\times1+\frac{1}{2}\times3\times1+\frac{1}{2}\times\sqrt{10}BF = 2\times3$，解得$BF=\frac{3\sqrt{10}}{5}$.
12. 计算：
(1)$\frac{-\sqrt{45y^2}}{3\sqrt{5y}}(y ＞ 0)$；
(2)$\sqrt{\frac{2}{45}} \div \frac{3}{2}\sqrt{1\frac{3}{5}}$；
(3)$\frac{1}{2}a\sqrt{ab^2} \div 4a\sqrt{\frac{a}{b}}(a ＞ 0, b ＞ 0)$.
(1)$\frac{-\sqrt{45y^2}}{3\sqrt{5y}}(y ＞ 0)$；
(2)$\sqrt{\frac{2}{45}} \div \frac{3}{2}\sqrt{1\frac{3}{5}}$；
(3)$\frac{1}{2}a\sqrt{ab^2} \div 4a\sqrt{\frac{a}{b}}(a ＞ 0, b ＞ 0)$.
答案
(1) 原式$=-\frac{1}{3}\cdot\sqrt{9y}=-\sqrt{y}$.
(2) 原式$=\sqrt{\frac{2}{45}}\div\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}\times\frac{8}{5}}=\sqrt{\frac{2}{45}}\div\sqrt{\frac{18}{5}}=\sqrt{\frac{2}{45}\times\frac{5}{18}}=\frac{1}{9}$.
(3) 原式$=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}\cdot ab^{2}}\div\sqrt{(4a)^{2}\cdot\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{a^{3}b^{2}}{4}}\div\sqrt{\frac{16a^{3}}{b}}=\sqrt{\frac{a^{3}b^{2}}{4}\cdot\frac{b}{16a^{3}}}=\frac{b}{8}\sqrt{b}$.
(2) 原式$=\sqrt{\frac{2}{45}}\div\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}\times\frac{8}{5}}=\sqrt{\frac{2}{45}}\div\sqrt{\frac{18}{5}}=\sqrt{\frac{2}{45}\times\frac{5}{18}}=\frac{1}{9}$.
(3) 原式$=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}\cdot ab^{2}}\div\sqrt{(4a)^{2}\cdot\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{a^{3}b^{2}}{4}}\div\sqrt{\frac{16a^{3}}{b}}=\sqrt{\frac{a^{3}b^{2}}{4}\cdot\frac{b}{16a^{3}}}=\frac{b}{8}\sqrt{b}$.
13. (1) 已知$y = \frac{\sqrt{(x - 1)^2}}{x - 1} + 3$，若$x ＜ 1$，求$y \cdot \sqrt{3y} \div \sqrt{\frac{1}{y^4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}$的值；
(2) 已知$y = \sqrt{2x - 5} + \sqrt{10 - 4x} + 1$，$x、y$均为实数，求$x\sqrt{2x} \div \sqrt{\frac{x}{y}}$的值；
(3) 已知$\sqrt{\frac{9 - x}{x - 6}} = \frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{x - 6}}$，且$x$为偶数，求$(1 + x) \cdot \sqrt{\frac{1 - 2x + x^2}{x^2 - 1}}$的值.
(2) 已知$y = \sqrt{2x - 5} + \sqrt{10 - 4x} + 1$，$x、y$均为实数，求$x\sqrt{2x} \div \sqrt{\frac{x}{y}}$的值；
(3) 已知$\sqrt{\frac{9 - x}{x - 6}} = \frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{x - 6}}$，且$x$为偶数，求$(1 + x) \cdot \sqrt{\frac{1 - 2x + x^2}{x^2 - 1}}$的值.
答案
(1) $\because x＜1$，$\therefore y=\frac{|x - 1|}{x - 1}+3=\frac{-(x - 1)}{x - 1}+3 = 2$. 原式$=y\cdot\sqrt{3y}\cdot\sqrt{y^{4}}\cdot\sqrt{\frac{1}{y}}=\sqrt{3}y^{3}$. 当$y = 2$时，原式$=8\sqrt{3}$.
(2) 由题意，得$\begin{cases}2x - 5\geq0\\10 - 4x\geq0\end{cases}$，解得$x=\frac{5}{2}$，$\therefore y = 1$. $\because x\sqrt{2x}\div\sqrt{\frac{x}{y}}=x\sqrt{2x\div\frac{x}{y}}=x\sqrt{2y}$，$\therefore$当$x=\frac{5}{2}$，$y = 1$时，原式$=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
(3) 由题意，得$\begin{cases}9 - x\geq0\\x - 6＞0\end{cases}$，解得$6＜x\leq9$. $\because x$为偶数，$\therefore x = 8$，$\therefore(1 + x)\cdot\sqrt{\frac{1 - 2x + x^{2}}{x^{2}-1}}=(1 + x)\cdot\sqrt{\frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}}=\sqrt{\frac{(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}}=\sqrt{(x + 1)(x - 1)}=\sqrt{9\times7}=3\sqrt{7}$.
(2) 由题意，得$\begin{cases}2x - 5\geq0\\10 - 4x\geq0\end{cases}$，解得$x=\frac{5}{2}$，$\therefore y = 1$. $\because x\sqrt{2x}\div\sqrt{\frac{x}{y}}=x\sqrt{2x\div\frac{x}{y}}=x\sqrt{2y}$，$\therefore$当$x=\frac{5}{2}$，$y = 1$时，原式$=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
(3) 由题意，得$\begin{cases}9 - x\geq0\\x - 6＞0\end{cases}$，解得$6＜x\leq9$. $\because x$为偶数，$\therefore x = 8$，$\therefore(1 + x)\cdot\sqrt{\frac{1 - 2x + x^{2}}{x^{2}-1}}=(1 + x)\cdot\sqrt{\frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}}=\sqrt{\frac{(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}}=\sqrt{(x + 1)(x - 1)}=\sqrt{9\times7}=3\sqrt{7}$.
14. 原创题 阅读下列材料，回答问题.
我们知道一次函数$y = kx + b(k \neq 0, k、b$是常数)的图像是一条直线，到高中学习时，直线通常写成$Ax + By + C = 0(A \neq 0, A、B、C$是常数)的形式，点$P(x_0, y_0)$到直线$Ax + By + C = 0$的距离可用公式$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$计算.
根据以上材料解答下列问题：
(1) 求点$Q(-1, 3)$到直线$y = 2x + 6$的距离；
(2) 直线$x + \sqrt{6}y = 5$沿$y$轴向上平移2个单位长度得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离.
我们知道一次函数$y = kx + b(k \neq 0, k、b$是常数)的图像是一条直线，到高中学习时，直线通常写成$Ax + By + C = 0(A \neq 0, A、B、C$是常数)的形式，点$P(x_0, y_0)$到直线$Ax + By + C = 0$的距离可用公式$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$计算.
根据以上材料解答下列问题：
(1) 求点$Q(-1, 3)$到直线$y = 2x + 6$的距离；
(2) 直线$x + \sqrt{6}y = 5$沿$y$轴向上平移2个单位长度得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离.
答案
(1) $y = 2x + 6$可变形为$2x - y+6 = 0$，即$A = 2$，$B=-1$，$C = 6$，$\therefore$点$Q(-1,3)$到直线$2x - y+6 = 0$的距离$d=\frac{|2\times(-1)-3 + 6|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\therefore$点$Q(-1,3)$到直线$y = 2x + 6$的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
(2) 直线$x+\sqrt{6}y = 5$可变形为$y=-\frac{\sqrt{6}}{6}x+\frac{5\sqrt{6}}{6}$. 直线$y=-\frac{\sqrt{6}}{6}x+\frac{5\sqrt{6}}{6}$沿$y$轴向上平移 2 个单位长度得到另一条直线$y=-\frac{\sqrt{6}}{6}x+\frac{5\sqrt{6}}{6}+2$. 当$x = 0$时，$y=\frac{5\sqrt{6}}{6}+2$，即点$(0,\frac{5\sqrt{6}}{6}+2)$在直线$y=-\frac{\sqrt{6}}{6}x+\frac{5\sqrt{6}}{6}+2$上. $x+\sqrt{6}y = 5$可变形为$x+\sqrt{6}y - 5 = 0$，$\therefore$点$(0,\frac{5\sqrt{6}}{6}+2)$到直线$x+\sqrt{6}y - 5 = 0$的距离$d=\frac{|1\times0+\sqrt{6}\times(\frac{5\sqrt{6}}{6}+2)-5|}{\sqrt{1^{2}+(\sqrt{6})^{2}}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{42}}{7}$. $\because$两直线平行，$\therefore$这两条直线之间的距离为$\frac{2\sqrt{42}}{7}$.
(2) 直线$x+\sqrt{6}y = 5$可变形为$y=-\frac{\sqrt{6}}{6}x+\frac{5\sqrt{6}}{6}$. 直线$y=-\frac{\sqrt{6}}{6}x+\frac{5\sqrt{6}}{6}$沿$y$轴向上平移 2 个单位长度得到另一条直线$y=-\frac{\sqrt{6}}{6}x+\frac{5\sqrt{6}}{6}+2$. 当$x = 0$时，$y=\frac{5\sqrt{6}}{6}+2$，即点$(0,\frac{5\sqrt{6}}{6}+2)$在直线$y=-\frac{\sqrt{6}}{6}x+\frac{5\sqrt{6}}{6}+2$上. $x+\sqrt{6}y = 5$可变形为$x+\sqrt{6}y - 5 = 0$，$\therefore$点$(0,\frac{5\sqrt{6}}{6}+2)$到直线$x+\sqrt{6}y - 5 = 0$的距离$d=\frac{|1\times0+\sqrt{6}\times(\frac{5\sqrt{6}}{6}+2)-5|}{\sqrt{1^{2}+(\sqrt{6})^{2}}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{42}}{7}$. $\because$两直线平行，$\therefore$这两条直线之间的距离为$\frac{2\sqrt{42}}{7}$.
