典例6（2024·南京秦淮模拟）如图，正方形ABCD的顶点A，C在函数y=$\frac{6}{x}$(x＞0)的图像上，顶点B在函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)的图像上，AB//x轴，正方形ABCD的面积为25，则k的值是________.

典例6 ∵AB//x轴，正方形ABCD的面积为25，∴AB = BC = 5. 设B(a，b)，则A(a - 5，b)，C(a，b - 5). ∵点A，C在函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图像上，∴$\begin{cases}ab - 5b = 6,\\ab - 5a = 6.\end{cases}$ ∴a = b. ∴$a^{2}-5a - 6 = 0$，解得a = 6或a = -1(不合题意，舍去). ∴B(6，6). ∵点B(6，6)在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图像上，∴k = 6×6 = 36.

典例7（2024·扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B在函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)的图像上，BC⊥x轴于点C，∠BAC = 30°.将△ABC沿AB翻折，如果点C的对应点D正好落在该函数的图像上，那么k的值为________.

典例7 设$B(m,\frac{k}{m})(m＞1)$，则C(m，0). ∵A(1，0)，∴AC = m - 1. 由翻折的性质可知，AD = AC = m - 1，∠BAD = ∠BAC = 30°，∴∠DAC = 60°. 如图，过点D作DG⊥x轴，垂足为G. ∴$AG = AD\cdot\cos60^{\circ}=\frac{m - 1}{2}$，$DG = AD\cdot\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}m-\sqrt{3}}{2}$. ∴$OG=\frac{m - 1}{2}+1=\frac{m + 1}{2}$. ∴$D(\frac{m + 1}{2},\frac{\sqrt{3}m-\sqrt{3}}{2})$.
∵点D在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图像上，∴$\frac{m + 1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}m-\sqrt{3}}{2}=k$①. 在Rt△ABC中，∠BAC = 30°，∴易得$BC=\frac{\sqrt{3}}{3}AC$，即$\frac{k}{m}=\frac{\sqrt{3}}{3}(m - 1)$②. 联立①②，易解得$k = 2\sqrt{3}$.

典例8（2024·苏州）如图，在△ABC中，AC = BC，∠ACB = 90°，点A，C的坐标分别为(-2,0)，(6,0)，反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k≠0,x＞0)的图像与AB交于点D(m,4)，与BC交于点E.
(1)求m，k的值.
(2)P为反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k≠0,x＞0)图像上的一动点(点P在点D，E之间运动，不与点D，E重合)，过点P作PM//AB，交y轴于点M，过点P作PN//x轴，交BC于点N，连接MN.求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标.

典例8 (1) ∵A(-2，0)，C(6，0)，∴AC = 8. 又∵AC = BC，∴BC = 8. ∵∠ACB = 90°，∴B(6，8). 设直线AB对应的函数表达式为y = ax + b. 将A(-2，0)，B(6，8)代入，得$\begin{cases}-2a + b = 0,\\6a + b = 8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 2.\end{cases}$ ∴直线AB对应的函数表达式为y = x + 2. ∵点D(m，4)在直线AB上，∴4 = m + 2，解得m = 2.
∴D(2，4). ∵点D(2，4)在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0,x＞0)$的图像上，∴$4=\frac{k}{2}$，解得k = 8. (2) 延长NP交y轴于点Q，交AB于点L. ∵AC = BC，∠ACB = 90°，∴∠BAC = 45°.
∵PN//x轴，∴∠BLN = ∠BAC = 45°，∠NQM = 90°.
∵AB//MP，∴∠MPL = ∠BLP = 45°. ∴∠QMP = ∠QPM = 45°. ∴QM = PQ. 由(1)知，反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}(x＞0)$. 设$P(t,\frac{8}{t})(2＜t＜6)$，则PQ = t，PN = 6 - t. ∴MQ = PQ = t. ∴$S_{\triangle PMN}=\frac{1}{2}PN\cdot MQ=\frac{1}{2}(6 - t)\cdot t=-\frac{1}{2}(t - 3)^{2}+\frac{9}{2}$. ∴当t = 3时，$S_{\triangle PMN}$取得最大值，为$\frac{9}{2}$，此时点P的坐标为$(3,\frac{8}{3})$.

1.（2024·扬州）在平面直角坐标系中，函数$y=\frac{4}{x + 2}$的图像与坐标轴的交点有（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 4个

B

2.（2024·泰州泰兴二模）已知点$A(m^{2},y_{1})$，$B(m^{2}+2,y_{2})$在反比例函数$y=\frac{k - 2024}{x}$的图像上. 若$y_{1}＜y_{2}$，则$k$的取值范围是（ ）
A. $k＞2024$
B. $k＜2024$
C. $k＞-2024$
D. $k＜-2024$

B

3.（2024·徐州模拟）如图，函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图像经过$Rt\triangle OAB$直角边$AB$上的一点$C$，且$AC = 2BC$，连接$OC$，则$\triangle AOC$的面积为（ ）

A. 2
B. 3
C. 4
D. 6

A