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6.（2023·盐城）定义：若一次函数的图像与二次函数的图像有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数.
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①$y = x^{2} - 1$；②$y = x^{2} - x$. 其中，________为一次函数$y = x - 1$的轴点函数（填序号）.
【尝试应用】
（2）一次函数$y = x + c$（$c$为常数，$c ＞ 0$）的图像与$x$轴交于点$A$，其轴点函数$y = ax^{2} + bx + c$的图像与$x$轴的另一交点为$B$. 若$OB = \frac{1}{4}OA$，求$b$的值.
【拓展延伸】
（3）如图，一次函数$y = \frac{1}{2}x + t$（$t$为常数，$t ＞ 0$）的图像与$x$轴、$y$轴分别交于$M$，$C$两点，在$x$轴的正半轴上取一点$N$，使得$ON = OC$. 以线段$MN$的长度为长、线段$MO$的长度为宽，在$x$轴的上方作矩形$MNDE$. 若一次函数$y = \frac{1}{2}x + t$（$t$为常数，$t ＞ 0$）的轴点函数$y = mx^{2} + nx + t$图像的顶点$P$在矩形$MNDE$的边上，求$n$的值.
6.（2023·盐城）定义：若一次函数的图像与二次函数的图像有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数.
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①$y = x^{2} - 1$；②$y = x^{2} - x$. 其中，________为一次函数$y = x - 1$的轴点函数（填序号）.
【尝试应用】
（2）一次函数$y = x + c$（$c$为常数，$c ＞ 0$）的图像与$x$轴交于点$A$，其轴点函数$y = ax^{2} + bx + c$的图像与$x$轴的另一交点为$B$. 若$OB = \frac{1}{4}OA$，求$b$的值.
【拓展延伸】
（3）如图，一次函数$y = \frac{1}{2}x + t$（$t$为常数，$t ＞ 0$）的图像与$x$轴、$y$轴分别交于$M$，$C$两点，在$x$轴的正半轴上取一点$N$，使得$ON = OC$. 以线段$MN$的长度为长、线段$MO$的长度为宽，在$x$轴的上方作矩形$MNDE$. 若一次函数$y = \frac{1}{2}x + t$（$t$为常数，$t ＞ 0$）的轴点函数$y = mx^{2} + nx + t$图像的顶点$P$在矩形$MNDE$的边上，求$n$的值.
答案
（1）①.（2）在$y = x + c$中，令$y = 0$，得$x + c = 0$，解得$x = - c$；令$x = 0$，得$y = c$.$\therefore$点$A$的坐标为$(-c,0)$，一次函数$y = x + c$（$c$为常数，$c＞0$）的图像与$y$轴交于点$(0,c)$.$\because$其轴点函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像经过点$A(-c,0)$，$\therefore ac^{2}-bc + c = 0$，且$c＞0$.$\therefore ac - b + 1 = 0$，即$b = ac + 1$.$\therefore$其轴点函数的表达式为$y = ax^{2}+(ac + 1)x + c$.设点$B$的坐标为$(x',0)$.由$ax^{2}+(ac + 1)x + c = 0$，得$x'(-c)=\frac{c}{a}$.$\therefore x'=-\frac{1}{a}$.$\therefore$点$B$的坐标为$(-\frac{1}{a},0)$.$\therefore OB=\vert\frac{1}{a}\vert$，$OA = c$.$\because OB=\frac{1}{4}OA$，$\therefore\vert\frac{1}{a}\vert=\frac{1}{4}c$.$\therefore ac=\pm4$.当$ac = 4$时，$b = ac + 1 = 5$；当$ac = - 4$时，$b = ac + 1 = - 3$.$\therefore b$的值为$5$或$-3$.（3）根据题意，得点$M$的坐标为$(-2t,0)$，点$C$的坐标为$(0,t)$，点$N$的坐标为$(t,0)$.$\because$四边形$MNDE$是矩形，$\therefore ME = OM = 2t$.$\therefore$点$D$的坐标为$(t,2t)$，点$E$的坐标为$(-2t,2t)$.当$m＞0$时，轴点函数$y = mx^{2}+nx + t$图像的顶点$P$与点$M$重合，如图①，$\therefore\begin{cases}4mt^{2}-2nt + t = 0\\-\frac{n}{2m}=-2t\end{cases}$，消去$m$，$t$，得$n - 2n + 1 = 0$，解得$n = 1$.当$m＜0$时，轴点函数$y = mx^{2}+nx + t$图像的顶点$P$在边$DE$上，如图②，$\therefore\begin{cases}4mt^{2}-2nt + t = 0\\\frac{4mt - n^{2}}{4m}=2t\end{cases}$，消去$m$，$t$，得$n^{2}+2n - 1 = 0$，解得$n_{1}=\sqrt{2}-1$，$n_{2}=-\sqrt{2}-1$.$\because$轴点函数$y = mx^{2}+nx + t$图像的对称轴在$y$轴的左侧，$\therefore n$与$m$同号，即$n＜0$.$\therefore n = -\sqrt{2}-1$.当$m＜0$时，轴点函数$y = mx^{2}+nx + t$图像的顶点$P$在边$DN$上，如图③，$\therefore\begin{cases}4mt^{2}-2nt + t = 0\\-\frac{n}{2m}=t\end{cases}$，消去$m$，$t$，得$-2n - 2n + 1 = 0$，解得$n=\frac{1}{4}$.综上所述，$n$的值为$1$或$-\sqrt{2}-1$或$\frac{1}{4}$.
