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1 先填表，再填空。
(1)18 和 30 的公因数有()，最大公因数是()。
(2)18 和 54 的公因数有()，最大公因数是()。
(3)30 和 54 的公因数有()，最大公因数是()。
(4)18、30 和 54 的公因数有()，最大公因数是()。
(5)可以发现，所有的公因数都是最大公因数的()。
(1)18 和 30 的公因数有()，最大公因数是()。
(2)18 和 54 的公因数有()，最大公因数是()。
(3)30 和 54 的公因数有()，最大公因数是()。
(4)18、30 和 54 的公因数有()，最大公因数是()。
(5)可以发现，所有的公因数都是最大公因数的()。
答案
18的所有因数：1、2、3、6、9、18
30的所有因数：1、2、3、5、6、10、15、30
54的所有因数：1、2、3、6、9、18、27、54
(1) 1、2、3、6；6
(2) 1、2、3、6、9、18；18
(3) 1、2、3、6；6
(4) 1、2、3、6；6
(5) 因数
30的所有因数：1、2、3、5、6、10、15、30
54的所有因数：1、2、3、6、9、18、27、54
(1) 1、2、3、6；6
(2) 1、2、3、6、9、18；18
(3) 1、2、3、6；6
(4) 1、2、3、6；6
(5) 因数
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路逐步思考：
1. 先掌握找一个数所有因数的方法：从1开始，依次找出能整除该数的数，采用一对一对找的方式（如找18的因数，可通过1×18=18、2×9=18、3×6=18，这样能避免重复或遗漏）。
2. 找两个数的公因数，就是找出这两个数因数集合中相同的数，其中最大的数就是最大公因数；找三个数的公因数则是找出三个数因数共有的部分。
3. 最后观察所有公因数和最大公因数的关系，总结规律。
【解析】
1. 找出各数的所有因数：
18：通过一对一对找的方法，可得18的因数为1、2、3、6、9、18。
30：同理，30的因数为1、2、3、5、6、10、15、30。
54：用相同方法，54的因数为1、2、3、6、9、18、27、54。
2. 找公因数和最大公因数：
(1) 对比18和30的因数，相同的数是1、2、3、6，其中最大的是6，因此18和30的公因数是1、2、3、6，最大公因数是6。
(2) 对比18和54的因数，相同的数是1、2、3、6、9、18，其中最大的是18，因此18和54的公因数是1、2、3、6、9、18，最大公因数是18。
(3) 对比30和54的因数，相同的数是1、2、3、6，其中最大的是6，因此30和54的公因数是1、2、3、6，最大公因数是6。
(4) 对比18、30、54的因数，三个数共有的数是1、2、3、6，其中最大的是6，因此它们的公因数是1、2、3、6，最大公因数是6。
3. 观察发现：所有公因数都能整除最大公因数，所以所有的公因数都是最大公因数的因数。
【答案】
18的所有因数：1、2、3、6、9、18
30的所有因数：1、2、3、5、6、10、15、30
54的所有因数：1、2、3、6、9、18、27、54
(1) 1、2、3、6；6
(2) 1、2、3、6、9、18；18
(3) 1、2、3、6；6
(4) 1、2、3、6；6
(5) 因数
【知识点】
找因数的方法、公因数与最大公因数、公因数的性质
【点评】
本题围绕因数、公因数和最大公因数展开，通过找因数、对比找公因数的过程，帮助学生巩固因数概念，理解公因数与最大公因数的关系，提升对整数整除特性的认知。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，可按以下思路逐步思考：
1. 先掌握找一个数所有因数的方法：从1开始，依次找出能整除该数的数，采用一对一对找的方式（如找18的因数，可通过1×18=18、2×9=18、3×6=18，这样能避免重复或遗漏）。
2. 找两个数的公因数，就是找出这两个数因数集合中相同的数，其中最大的数就是最大公因数；找三个数的公因数则是找出三个数因数共有的部分。
3. 最后观察所有公因数和最大公因数的关系，总结规律。
【解析】
1. 找出各数的所有因数：
18：通过一对一对找的方法，可得18的因数为1、2、3、6、9、18。
30：同理，30的因数为1、2、3、5、6、10、15、30。
54：用相同方法，54的因数为1、2、3、6、9、18、27、54。
2. 找公因数和最大公因数：
(1) 对比18和30的因数，相同的数是1、2、3、6，其中最大的是6，因此18和30的公因数是1、2、3、6，最大公因数是6。
(2) 对比18和54的因数，相同的数是1、2、3、6、9、18，其中最大的是18，因此18和54的公因数是1、2、3、6、9、18，最大公因数是18。
(3) 对比30和54的因数，相同的数是1、2、3、6，其中最大的是6，因此30和54的公因数是1、2、3、6，最大公因数是6。
(4) 对比18、30、54的因数，三个数共有的数是1、2、3、6，其中最大的是6，因此它们的公因数是1、2、3、6，最大公因数是6。
3. 观察发现：所有公因数都能整除最大公因数，所以所有的公因数都是最大公因数的因数。
【答案】
18的所有因数：1、2、3、6、9、18
30的所有因数：1、2、3、5、6、10、15、30
54的所有因数：1、2、3、6、9、18、27、54
(1) 1、2、3、6；6
(2) 1、2、3、6、9、18；18
(3) 1、2、3、6；6
(4) 1、2、3、6；6
(5) 因数
【知识点】
找因数的方法、公因数与最大公因数、公因数的性质
【点评】
本题围绕因数、公因数和最大公因数展开，通过找因数、对比找公因数的过程，帮助学生巩固因数概念，理解公因数与最大公因数的关系，提升对整数整除特性的认知。
【难度系数】
0.9
(1)如果 $ a = 2×3×3 $，$ b = 2×3×5 $，那么 $ a $ 和 $ b $ 的最大公因数是()。
A.4
B.6
C.9
D.15
A.4
B.6
C.9
D.15
答案
B
解析
先找出a和b公有的质因数，a的质因数为2、3、3，b的质因数为2、3、5，二者公有的质因数是2和3，将公有的质因数相乘：2×3=6，即a和b的最大公因数是6。
(2)甲、乙两个数都是非零自然数，并且甲数 $ ÷ $ 乙数 $ = 6 $，甲数和 6 的最大公因数是()。
A.甲数
B.乙数
C.6
D.无法确定
A.甲数
B.乙数
C.6
D.无法确定
答案
C
解析
由甲数÷乙数=6可知，甲数=6×乙数，即甲数是6的倍数。当两个数为倍数关系时，最大公因数是较小的数，因此甲数和6的最大公因数是6。
3 在括号里写出下列分数分子和分母的最大公因数。
$ \frac{16}{24} $() $ \frac{20}{35} $() $ \frac{22}{33} $() $ \frac{17}{51} $() $ \frac{13}{12} $()
$ \frac{16}{24} $() $ \frac{20}{35} $() $ \frac{22}{33} $() $ \frac{17}{51} $() $ \frac{13}{12} $()
答案
$\frac{16}{24}$：
16的因数：1、2、4、8、16
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
（8）
$\frac{20}{35}$：
20的因数：1、2、4、5、10、20
35的因数：1、5、7、35
（5）
$\frac{22}{33}$：
22的因数：1、2、11、22
33的因数：1、3、11、33
（11）
$\frac{17}{51}$：
17的因数：1、17
51的因数：1、3、17、51
（17）
$\frac{13}{12}$：
13的因数：1、13
12的因数：1、2、3、4、6、12
（1）
16的因数：1、2、4、8、16
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
（8）
$\frac{20}{35}$：
20的因数：1、2、4、5、10、20
35的因数：1、5、7、35
（5）
$\frac{22}{33}$：
22的因数：1、2、11、22
33的因数：1、3、11、33
（11）
$\frac{17}{51}$：
17的因数：1、17
51的因数：1、3、17、51
（17）
$\frac{13}{12}$：
13的因数：1、13
12的因数：1、2、3、4、6、12
（1）
解析
【分析】
要找出每个分数分子和分母的最大公因数，我们可以采用列举法：先分别写出分子和分母的所有因数，再找出它们的公因数，其中最大的那个就是最大公因数。同时要注意特殊情况：若两个数是倍数关系，较小数就是它们的最大公因数；若两个数互质（只有公因数1），它们的最大公因数就是1。我们逐个分析每个分数：
1. 对于$\frac{16}{24}$，先列举16和24的所有因数，再筛选出最大公因数；
2. 对于$\frac{20}{35}$，同样通过列举因数找出共有的最大因数；
3. 对于$\frac{22}{33}$，列举因数后确定最大公因数；
4. 对于$\frac{17}{51}$，51是17的倍数，可直接判断最大公因数为较小数17；
5. 对于$\frac{13}{12}$，13和12互质，最大公因数为1。
【解析】
1. 针对$\frac{16}{24}$：
16的因数：1、2、4、8、16
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
两者的公因数为1、2、4、8，其中最大的是8，故括号填8。
2. 针对$\frac{20}{35}$：
20的因数：1、2、4、5、10、20
35的因数：1、5、7、35
两者的公因数为1、5，其中最大的是5，故括号填5。
3. 针对$\frac{22}{33}$：
22的因数：1、2、11、22
33的因数：1、3、11、33
两者的公因数为1、11，其中最大的是11，故括号填11。
4. 针对$\frac{17}{51}$：
17的因数：1、17
51的因数：1、3、17、51
两者的公因数为1、17，其中最大的是17，故括号填17。
5. 针对$\frac{13}{12}$：
13的因数：1、13
12的因数：1、2、3、4、6、12
两者的公因数只有1，故括号填1。
【答案】
8；5；11；17；1
【知识点】
1. 最大公因数求解
2. 因数的列举
3. 互质数性质
【点评】
本题考查最大公因数的基础求解方法，列举法直观易懂，同时涵盖倍数关系、互质关系的特殊情况判断，帮助学生巩固因数与最大公因数的核心概念，是小学阶段夯实数论基础的典型题目。
【难度系数】
0.8
要找出每个分数分子和分母的最大公因数，我们可以采用列举法：先分别写出分子和分母的所有因数，再找出它们的公因数，其中最大的那个就是最大公因数。同时要注意特殊情况：若两个数是倍数关系，较小数就是它们的最大公因数；若两个数互质（只有公因数1），它们的最大公因数就是1。我们逐个分析每个分数：
1. 对于$\frac{16}{24}$，先列举16和24的所有因数，再筛选出最大公因数；
2. 对于$\frac{20}{35}$，同样通过列举因数找出共有的最大因数；
3. 对于$\frac{22}{33}$，列举因数后确定最大公因数；
4. 对于$\frac{17}{51}$，51是17的倍数，可直接判断最大公因数为较小数17；
5. 对于$\frac{13}{12}$，13和12互质，最大公因数为1。
【解析】
1. 针对$\frac{16}{24}$：
16的因数：1、2、4、8、16
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
两者的公因数为1、2、4、8，其中最大的是8，故括号填8。
2. 针对$\frac{20}{35}$：
20的因数：1、2、4、5、10、20
35的因数：1、5、7、35
两者的公因数为1、5，其中最大的是5，故括号填5。
3. 针对$\frac{22}{33}$：
22的因数：1、2、11、22
33的因数：1、3、11、33
两者的公因数为1、11，其中最大的是11，故括号填11。
4. 针对$\frac{17}{51}$：
17的因数：1、17
51的因数：1、3、17、51
两者的公因数为1、17，其中最大的是17，故括号填17。
5. 针对$\frac{13}{12}$：
13的因数：1、13
12的因数：1、2、3、4、6、12
两者的公因数只有1，故括号填1。
【答案】
8；5；11；17；1
【知识点】
1. 最大公因数求解
2. 因数的列举
3. 互质数性质
【点评】
本题考查最大公因数的基础求解方法，列举法直观易懂，同时涵盖倍数关系、互质关系的特殊情况判断，帮助学生巩固因数与最大公因数的核心概念，是小学阶段夯实数论基础的典型题目。
【难度系数】
0.8
4 找出下列每组数的最大公因数，你发现了什么？
9 和 27() 18 和 36() 11 和 19() 12 和 48()
我发现：当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数就是两个数中()；当两个数的公因数只有 1 时，它们的最大公因数就是()。
我会做：如果甲数和乙数是相邻的两个自然数(甲、乙两数均不为 0)，那么甲、乙两数的最大公因数是()。
9 和 27() 18 和 36() 11 和 19() 12 和 48()
我发现：当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数就是两个数中()；当两个数的公因数只有 1 时，它们的最大公因数就是()。
我会做：如果甲数和乙数是相邻的两个自然数(甲、乙两数均不为 0)，那么甲、乙两数的最大公因数是()。
答案
9的因数：1、3、9
27的因数：1、3、9、27
9和27的最大公因数是9
18的因数：1、2、3、6、9、18
36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36
18和36的最大公因数是18
11的因数：1、11
19的因数：1、19
11和19的最大公因数是1
12的因数：1、2、3、4、6、12
48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
12和48的最大公因数是12
我发现：当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数就是两个数中(较小的数)；当两个数的公因数只有 1 时，它们的最大公因数就是(1)。
我会做：如果甲数和乙数是相邻的两个自然数(甲、乙两数均不为 0)，那么甲、乙两数的最大公因数是(1)。
27的因数：1、3、9、27
9和27的最大公因数是9
18的因数：1、2、3、6、9、18
36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36
18和36的最大公因数是18
11的因数：1、11
19的因数：1、19
11和19的最大公因数是1
12的因数：1、2、3、4、6、12
48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
12和48的最大公因数是12
我发现：当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数就是两个数中(较小的数)；当两个数的公因数只有 1 时，它们的最大公因数就是(1)。
我会做：如果甲数和乙数是相邻的两个自然数(甲、乙两数均不为 0)，那么甲、乙两数的最大公因数是(1)。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先通过列举法分别找出每组数的所有因数，再从中找出它们共有的最大因数，也就是最大公因数。接着观察每组数的关系：第一、二、四组数中，较大数是较小数的倍数，第三组数的两个数都是质数，公因数只有1。我们可以根据这些情况总结规律，最后利用总结的规律解决相邻自然数的最大公因数问题。
【解析】
1. 求9和27的最大公因数：
9的因数：1、3、9
27的因数：1、3、9、27
它们共有的因数中最大的是9，所以9和27的最大公因数是9。
2. 求18和36的最大公因数：
18的因数：1、2、3、6、9、18
36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36
它们共有的因数中最大的是18，所以18和36的最大公因数是18。
3. 求11和19的最大公因数：
11的因数：1、11
19的因数：1、19
它们共有的因数只有1，所以11和19的最大公因数是1。
4. 求12和48的最大公因数：
12的因数：1、2、3、4、6、12
48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
它们共有的因数中最大的是12，所以12和48的最大公因数是12。
观察上述结果可得：当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数就是两个数中（较小的数）；当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数就是（1）。
因为相邻的两个自然数（均不为0）的公因数只有1，属于公因数只有1的情况，所以甲、乙两数的最大公因数是（1）。
【答案】
9；18；1；12；较小的数；1；1
【知识点】
最大公因数求法；倍数关系数的最大公因数；互质数的最大公因数
【点评】
本题通过列举法求解最大公因数，引导学生总结不同关系的两个数的最大公因数规律，既巩固了最大公因数的基本求法，又培养了归纳总结能力，为后续快速求解特殊关系数的最大公因数奠定基础。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以先通过列举法分别找出每组数的所有因数，再从中找出它们共有的最大因数，也就是最大公因数。接着观察每组数的关系：第一、二、四组数中，较大数是较小数的倍数，第三组数的两个数都是质数，公因数只有1。我们可以根据这些情况总结规律，最后利用总结的规律解决相邻自然数的最大公因数问题。
【解析】
1. 求9和27的最大公因数：
9的因数：1、3、9
27的因数：1、3、9、27
它们共有的因数中最大的是9，所以9和27的最大公因数是9。
2. 求18和36的最大公因数：
18的因数：1、2、3、6、9、18
36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36
它们共有的因数中最大的是18，所以18和36的最大公因数是18。
3. 求11和19的最大公因数：
11的因数：1、11
19的因数：1、19
它们共有的因数只有1，所以11和19的最大公因数是1。
4. 求12和48的最大公因数：
12的因数：1、2、3、4、6、12
48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
它们共有的因数中最大的是12，所以12和48的最大公因数是12。
观察上述结果可得：当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数就是两个数中（较小的数）；当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数就是（1）。
因为相邻的两个自然数（均不为0）的公因数只有1，属于公因数只有1的情况，所以甲、乙两数的最大公因数是（1）。
【答案】
9；18；1；12；较小的数；1；1
【知识点】
最大公因数求法；倍数关系数的最大公因数；互质数的最大公因数
【点评】
本题通过列举法求解最大公因数，引导学生总结不同关系的两个数的最大公因数规律，既巩固了最大公因数的基本求法，又培养了归纳总结能力，为后续快速求解特殊关系数的最大公因数奠定基础。
【难度系数】
0.8
5 阅读教材第 61 页的“你知道吗？”，试着用短除法求出下列每组数的最大公因数。
60 和 45 18 和 24 18，30 和 36
60 和 45 18 和 24 18，30 和 36
答案
60和45：
5 | 60 45
---------
3 | 12 9
-------
4 3
最大公因数：5×3=15
18和24：
2 | 18 24
---------
3 | 9 12
-------
3 4
最大公因数：2×3=6
18、30和36：
2 | 18 30 36
-------------
3 | 9 15 18
-------------
3 5 6
最大公因数：2×3=6
5 | 60 45
---------
3 | 12 9
-------
4 3
最大公因数：5×3=15
18和24：
2 | 18 24
---------
3 | 9 12
-------
3 4
最大公因数：2×3=6
18、30和36：
2 | 18 30 36
-------------
3 | 9 15 18
-------------
3 5 6
最大公因数：2×3=6
解析
【分析】
要解决用短除法求每组数的最大公因数的问题，思路如下：
1. 对于两个数或多个数，先找出所有数共有的质因数，用这个质因数去除每个数，得到一组商；
2. 再观察这组商是否还有共同的质因数，若有则继续用这个质因数去除，直到得到的商之间互质（没有共同质因数）为止；
3. 最后把所有用来除的质因数相乘，所得的积就是这组数的最大公因数。
具体到每组数：
60和45：先找共同质因数5，除后得到12和9，再找共同质因数3，除后得到4和3（互质），将除数5和3相乘就是最大公因数；
18和24：先找共同质因数2，除后得到9和12，再找共同质因数3，除后得到3和4（互质），将除数2和3相乘就是最大公因数；
18、30和36：先找共同质因数2，除后得到9、15和18，再找共同质因数3，除后得到3、5和6（这三个数无共同质因数），将除数2和3相乘就是最大公因数。
【解析】
1. 求60和45的最大公因数：
```
5 | 60 45
---------
3 | 12 9
-------
4 3
```
最大公因数：$5×3=15$
2. 求18和24的最大公因数：
```
2 | 18 24
---------
3 | 9 12
-------
3 4
```
最大公因数：$2×3=6$
3. 求18、30和36的最大公因数：
```
2 | 18 30 36
-------------
3 | 9 15 18
-------------
3 5 6
```
最大公因数：$2×3=6$
【答案】
60和45的最大公因数是15；18和24的最大公因数是6；18、30和36的最大公因数是6。
【知识点】
短除法求最大公因数；质因数分解；公因数与最大公因数
【点评】
本题主要考查短除法求最大公因数的方法，无论是两个数还是多个数，核心都是逐步找出所有数共有的质因数，直到商互质，再将所有除数相乘。解题时需注意每次都要用所有数的共同质因数去除，避免遗漏或错误选择除数，是巩固最大公因数求法的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决用短除法求每组数的最大公因数的问题，思路如下：
1. 对于两个数或多个数，先找出所有数共有的质因数，用这个质因数去除每个数，得到一组商；
2. 再观察这组商是否还有共同的质因数，若有则继续用这个质因数去除，直到得到的商之间互质（没有共同质因数）为止；
3. 最后把所有用来除的质因数相乘，所得的积就是这组数的最大公因数。
具体到每组数：
60和45：先找共同质因数5，除后得到12和9，再找共同质因数3，除后得到4和3（互质），将除数5和3相乘就是最大公因数；
18和24：先找共同质因数2，除后得到9和12，再找共同质因数3，除后得到3和4（互质），将除数2和3相乘就是最大公因数；
18、30和36：先找共同质因数2，除后得到9、15和18，再找共同质因数3，除后得到3、5和6（这三个数无共同质因数），将除数2和3相乘就是最大公因数。
【解析】
1. 求60和45的最大公因数：
```
5 | 60 45
---------
3 | 12 9
-------
4 3
```
最大公因数：$5×3=15$
2. 求18和24的最大公因数：
```
2 | 18 24
---------
3 | 9 12
-------
3 4
```
最大公因数：$2×3=6$
3. 求18、30和36的最大公因数：
```
2 | 18 30 36
-------------
3 | 9 15 18
-------------
3 5 6
```
最大公因数：$2×3=6$
【答案】
60和45的最大公因数是15；18和24的最大公因数是6；18、30和36的最大公因数是6。
【知识点】
短除法求最大公因数；质因数分解；公因数与最大公因数
【点评】
本题主要考查短除法求最大公因数的方法，无论是两个数还是多个数，核心都是逐步找出所有数共有的质因数，直到商互质，再将所有除数相乘。解题时需注意每次都要用所有数的共同质因数去除，避免遗漏或错误选择除数，是巩固最大公因数求法的基础题型。
【难度系数】
0.8
