登录
1. 一般地，形如($k$是，$k≠0$)的函数叫做反比例函数。
2. 如果两个变量是反比例函数关系，就可以用设这个函数的函数关系为$y=\frac{k}{x}$($k$是常数，$k≠0$)，再根据条件列出方程求出待定系数的值，就求出了两个变量之间的函数关系。
2. 如果两个变量是反比例函数关系，就可以用设这个函数的函数关系为$y=\frac{k}{x}$($k$是常数，$k≠0$)，再根据条件列出方程求出待定系数的值，就求出了两个变量之间的函数关系。
答案
1. $y = \frac{k}{x}$；常数 2. 待定系数法；$k$
解析
1. 反比例函数的一般形式为$y = \frac{k}{x}$，其中$k$是常数且$k≠0$。2. 确定反比例函数关系时，使用待定系数法，通过已知条件求出$k$的值。
【典例1】已知$y=(m^{2}+2m)x^{|m|-3}$是关于$x$的反比例函数，求$(m - 2)^{2026}$的值。
解析：因为$y=(m^{2}+2m)x^{|m|-3}$是关于$x$的反比例函数，
所以$\begin{cases} |m| - 3 = - 1, \\ m^{2} + 2m ≠ 0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m = ± 2, \\ m ≠ 0,m ≠ - 2, \end{cases}$
所以$m = 2$，
所以$(m - 2)^{2026} = (2 - 2)^{2026} = 0$。
解析：因为$y=(m^{2}+2m)x^{|m|-3}$是关于$x$的反比例函数，
所以$\begin{cases} |m| - 3 = - 1, \\ m^{2} + 2m ≠ 0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m = ± 2, \\ m ≠ 0,m ≠ - 2, \end{cases}$
所以$m = 2$，
所以$(m - 2)^{2026} = (2 - 2)^{2026} = 0$。
答案
$0$
解析
因为$y=(m^{2}+2m)x^{|m|-3}$是关于$x$的反比例函数，所以$\begin{cases} |m| - 3 = -1 \\ m^{2} + 2m ≠ 0 \end{cases}$。
由$|m| - 3 = -1$，得$|m| = 2$，解得$m = ±2$。
由$m^{2} + 2m ≠ 0$，得$m(m + 2) ≠ 0$，所以$m ≠ 0$且$m ≠ -2$。
综上，$m = 2$。
则$(m - 2)^{2026} = (2 - 2)^{2026} = 0$。
由$|m| - 3 = -1$，得$|m| = 2$，解得$m = ±2$。
由$m^{2} + 2m ≠ 0$，得$m(m + 2) ≠ 0$，所以$m ≠ 0$且$m ≠ -2$。
综上，$m = 2$。
则$(m - 2)^{2026} = (2 - 2)^{2026} = 0$。
【对点训练】
1. 已知函数$y=(m - 1)x^{m^{2}-2}$是反比例函数，则$m$的值为。
1. 已知函数$y=(m - 1)x^{m^{2}-2}$是反比例函数，则$m$的值为。
答案
$ - 1$
解析
依题意，函数$y = (m - 1)x^{m^2 - 2}$是反比例函数，反比例函数的一般形式是$y = \frac{k}{x}$，即$y = kx^{-1}$，其中指数为$-1$，
所以有：$m^2 - 2 = -1$，
$m^2 = 1$，
解得$m = \pm 1$，
由于系数$m - 1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$，
所以$m = - 1$。
所以有：$m^2 - 2 = -1$，
$m^2 = 1$，
解得$m = \pm 1$，
由于系数$m - 1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$，
所以$m = - 1$。
【典例2】已知变量$y$与$x$成反比例，且当$x = 2$时，$y = - 6$。求：
（1）$y$与$x$之间的函数表达式。
（2）当$y = 2$时，$x$的值。
解析：（1）$∵$变量$y$与$x$成反比例，
$∴$可设$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，$k≠0$）。
$∵$当$x = 2$时，$y = - 6$，
$∴k = 2×(- 6) = - 12$，
$∴y$与$x$之间的函数关系式是$y = -\frac{12}{x}$。
（2）当$y = 2$时，$y = -\frac{12}{x} = 2$，解得$x = - 6$。
（1）$y$与$x$之间的函数表达式。
（2）当$y = 2$时，$x$的值。
解析：（1）$∵$变量$y$与$x$成反比例，
$∴$可设$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，$k≠0$）。
$∵$当$x = 2$时，$y = - 6$，
$∴k = 2×(- 6) = - 12$，
$∴y$与$x$之间的函数关系式是$y = -\frac{12}{x}$。
（2）当$y = 2$时，$y = -\frac{12}{x} = 2$，解得$x = - 6$。
答案
答题卡：
（1）
$∵$变量$y$与$x$成反比例函数关系（已知），
$∴$设$y = \frac{k}{x}$（$k ≠ 0$），
将$x = 2$，$y = -6$代入得：
$k = 2 × (-6) = -12$，
$∴y$与$x$的函数表达式为$y = - \frac{12}{x}$。
（2）
将$y = 2$代入$y = - \frac{12}{x}$得：
$2 = - \frac{12}{x}$，
解得$x = -6$，
$∴$当$y = 2$时，$x$的值为$-6$。
（1）
$∵$变量$y$与$x$成反比例函数关系（已知），
$∴$设$y = \frac{k}{x}$（$k ≠ 0$），
将$x = 2$，$y = -6$代入得：
$k = 2 × (-6) = -12$，
$∴y$与$x$的函数表达式为$y = - \frac{12}{x}$。
（2）
将$y = 2$代入$y = - \frac{12}{x}$得：
$2 = - \frac{12}{x}$，
解得$x = -6$，
$∴$当$y = 2$时，$x$的值为$-6$。
【对点训练】
2. 已知$y$是$z$的反比例函数，$z$是$x$的正比例函数。
（1）当$z = -\frac{2}{3}$时，$y = 6$。当$x = 6$时，$z = 4$。求$y$与$x$之间的函数关系式；
（2）证明$y$是$x$的反比例函数。
2. 已知$y$是$z$的反比例函数，$z$是$x$的正比例函数。
（1）当$z = -\frac{2}{3}$时，$y = 6$。当$x = 6$时，$z = 4$。求$y$与$x$之间的函数关系式；
（2）证明$y$是$x$的反比例函数。
答案
（1）根据题意，设$y = \frac{k_{1}}{z}(k_{1} ≠ 0)$，$z = k_{2}x(k_{2} ≠ 0)$。
将$z = k_{2}x$代入$y = \frac{k_{1}}{z}$得$y = \frac{k_{1}}{k_{2}x}$。
当$z = - \frac{2}{3}$时，$y = 6$，代入$y = \frac{k_{1}}{z}$得$6 = \frac{k_{1}}{- \frac{2}{3}}$，解得$k_{1} = - 4$。
当$x = 6$时，$z = 4$，代入$z = k_{2}x$得$4 = 6k_{2}$，解得$k_{2} = \frac{2}{3}$。
将$k_{1} = - 4$，$k_{2} = \frac{2}{3}$代入$y = \frac{k_{1}}{k_{2}x}$，得$y = \frac{- 4}{\frac{2}{3}x} = - \frac{6}{x}$。
（2）由（1）得$y = - \frac{6}{x}$，符合反比例函数的一般形式$y = \frac{k}{x}(k ≠ 0)$，所以$y$是$x$的反比例函数。
将$z = k_{2}x$代入$y = \frac{k_{1}}{z}$得$y = \frac{k_{1}}{k_{2}x}$。
当$z = - \frac{2}{3}$时，$y = 6$，代入$y = \frac{k_{1}}{z}$得$6 = \frac{k_{1}}{- \frac{2}{3}}$，解得$k_{1} = - 4$。
当$x = 6$时，$z = 4$，代入$z = k_{2}x$得$4 = 6k_{2}$，解得$k_{2} = \frac{2}{3}$。
将$k_{1} = - 4$，$k_{2} = \frac{2}{3}$代入$y = \frac{k_{1}}{k_{2}x}$，得$y = \frac{- 4}{\frac{2}{3}x} = - \frac{6}{x}$。
（2）由（1）得$y = - \frac{6}{x}$，符合反比例函数的一般形式$y = \frac{k}{x}(k ≠ 0)$，所以$y$是$x$的反比例函数。
