4. 若一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 的图象与直线 $ y = -x + 1 $ 平行，且过点 $ (8,2) $，则此一次函数的表达式为()

A.$ y = -x - 2 $
B.$ y = -x - 6 $
C.$ y = -x - 1 $
D.$ y = -x + 10 $

D

一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与直线 $ y = -x + 1 $ 平行，因此斜率相同，即 $ k = -1 $。
将点 $ (8, 2) $ 代入 $ y = -x + b $，得 $ 2 = -8 + b $，解得 $ b = 10 $。
因此一次函数的表达式为 $ y = -x + 10 $。

5. 写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式(写出一个即可)。
(1) $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；
(2) 图象经过点 $ (0,2) $。

（多种可能答案中的一种，这里以 $ y = -x + 2 $ 为例填 Boxed）\boxed{y=-x+2}

设该一次函数的表达式为 $ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
根据条件 (1)，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，因此 $ k ＜ 0 $。
根据条件 (2)，图象经过点 $ (0,2) $，代入得 $ b = 2 $。
取 $ k = -1 $（满足 $ k ＜ 0 $），则函数表达式为 $ y = -x + 2 $。

6. 在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，某弹簧不挂物体时长 $ 15 cm $，当所挂物体质量为 $ 3 kg $ 时，弹簧长 $ 16.8 cm $。写出弹簧长度 $ L(cm) $ 与所挂物体质量 $ x(kg) $ 之间的函数表达式：。

$L = 0.6x + 15$

设弹簧长度 $L(cm)$ 与所挂物体质量 $x(kg)$ 之间的函数关系为 $L = kx + b$。
根据题意，当不挂物体时，弹簧长度为 $15 cm$，即当 $x = 0$ 时，$L = 15$，所以 $b = 15$。
当所挂物体质量为 $3 kg$ 时，弹簧长度为 $16.8 cm$，代入得：
$16.8 = 3k + 15$，
解得$k = 0.6$，
所以弹簧长度 $L(cm)$ 与所挂物体质量 $x(kg)$ 之间的函数关系为 $L = 0.6x + 15$。

7. 一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0) $，当 $ -2 ≤ x ≤ 2 $ 时，$ -3 ≤ y ≤ 5 $，则 $ kb = $。

±2

分两种情况讨论：
1. 当 $ k ＞ 0 $ 时，函数单调递增，$ x=-2 $ 时 $ y=-3 $，$ x=2 $ 时 $ y=5 $，得方程组：$\begin{cases}-2k + b = -3 \\ 2k + b = 5\end{cases}$，解得 $ k=2 $，$ b=1 $，$ kb=2×1=2 $；
2. 当 $ k ＜ 0 $ 时，函数单调递减，$ x=-2 $ 时 $ y=5 $，$ x=2 $ 时 $ y=-3 $，得方程组：$\begin{cases}-2k + b = 5 \\ 2k + b = -3\end{cases}$，解得 $ k=-2 $，$ b=1 $，$ kb=-2×1=-2 $。
综上，$ kb=±2 $。

8. 已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点 $ A(-1,-1) $ 和点 $ B(1,-3) $，求：
(1) 一次函数的表达式；
(2) 直线 $ AB $ 与坐标轴围成的三角形的面积；
(3) 请在 $ x $ 轴上找到一点 $ P $，使得 $ PA + PB $ 最小，并写出点 $ P $ 的坐标。

(1)
将 $A(-1, -1)$ 和 $B(1, -3)$ 代入 $y = kx + b$，得到方程组：
$\begin{cases}-k + b = -1, \\k + b = -3.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -1, \\b = -2.\end{cases}$
因此，一次函数的表达式为 $y = -x - 2$，也可以写成$x + y + 2 = 0$。
(2)
对于直线 $y = -x - 2$，
令$x=0$，得$y=-2$，
则此直线与$y$轴的交点为$(0, -2)$，
令$y=0$，得$x=-2$，
则此直线与$x$轴的交点为$(-2, 0)$，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：
$\frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$。
(3)
作点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A^{\prime}(-1, 1)$，
连接 $A^{\prime}B$，交 $x$ 轴于点 $P$，
设点 $P$ 的坐标为$(x, 0)$，
设直线 $A^{\prime}B$ 的方程为 $y = mx + n$，
将 $A^{\prime}(-1, 1)$ 和 $B(1, -3)$ 代入，得到方程组：
$\begin{cases}-m + n = 1, \\m + n = -3.\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = -2, \\n= -1.\end{cases}$
因此直线 $A^{\prime}B$ 的方程为 $y = -2x - 1$，
令$y=0$，得$x=-\frac{1}{2}$，
因此点 $P$ 的坐标为 $( -\frac{1}{2}, 0 )$，
综上所述，使得 $PA + PB$ 最小的点 $P$ 的坐标为 $( -\frac{1}{2}, 0 )$。

9. （模型观念）已知 $ A $、$ B $ 两地相距 $ 4800 $ 米，甲从 $ A $ 地出发步行到 $ B $ 地，$ 20 $ 分钟后乙从 $ B $ 地出发骑自行车到 $ A $ 地，设甲步行的时间为 $ x $ 分钟，甲、乙两人离 $ A $ 地的距离分别为 $ y_1 $ 米、$ y_2 $ 米，$ y_1 $、$ y_2 $ 与 $ x $ 的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1) 直接写出 $ y_1 $、$ y_2 $ 与 $ x $ 的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2) 求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离 $ A $ 地多少米？

(1) 对于 $y_1$：
由图象，甲步行全程，所以 $y_1$ 随 $x$ 增加而线性增加，直到 4800 米。
设 $y_1 = kx$，由图象知，当 $x = 60$ 时，$y_1 = 4800$，所以 $k = 80$。
因此，$y_1 = 80x$（$0 ≤ x ≤ 60$）。
对于 $y_2$：
乙从 $B$ 地出发，所以初始时 $y_2 = 4800$。
乙骑自行车到 $A$ 地，设 $y_2 = mx + b$。
由图象知，当 $x = 20$ 时，$y_2 = 4800$；当 $x = 60$ 时，$y_2 = 0$。
代入得：
$\begin{cases}20m + b = 4800, \\60m + b = 0.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}m = -120, \\b = 7200.\end{cases}$
因此，$y_2 = -120x + 7200$（$20 ≤ x ≤ 60$）。
(2) 两人相遇时，$y_1 = y_2$。
即 $80x = -120x + 7200$。
解得 $x = 36$。
将 $x = 36$ 代入 $y_1$ 或 $y_2$ 得 $y = 2880$。
因此，甲出发后 36 分钟两人相遇，相遇时乙离 $A$ 地 2880 米。