登录
二、填空题
1. 如图4，已知 $ △ ABC $ 中的一边 $ BC $ 与以 $ AC $ 为直径的 $ \odot O $ 相切于点 $ C $，若 $ BC = 4 $，$ AB = 5 $，则 $ \cos B = $，$ \tan B = $。
1. 如图4，已知 $ △ ABC $ 中的一边 $ BC $ 与以 $ AC $ 为直径的 $ \odot O $ 相切于点 $ C $，若 $ BC = 4 $，$ AB = 5 $，则 $ \cos B = $，$ \tan B = $。
答案
解：
∵BC与以AC为直径的⊙O相切于点C，
∴AC⊥BC（圆的切线垂直于过切点的半径），即∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，BC=4，AB=5，
由勾股定理得：AC=√(AB²-BC²)=√(5²-4²)=√9=3。
∴cosB=BC/AB=4/5，
tanB=AC/BC=3/4。
∵BC与以AC为直径的⊙O相切于点C，
∴AC⊥BC（圆的切线垂直于过切点的半径），即∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，BC=4，AB=5，
由勾股定理得：AC=√(AB²-BC²)=√(5²-4²)=√9=3。
∴cosB=BC/AB=4/5，
tanB=AC/BC=3/4。
2. 在 $ △ ABC $ 中，若 $ AC = \sqrt{2} $，$ BC = \sqrt{7} $，$ AB = 3 $，则 $ \cos A = $。
答案
$\frac{\sqrt{2}}{3}$
解析
1. 计算三边的平方：$AC^2=(\sqrt{2})^2=2$，$BC^2=(\sqrt{7})^2=7$，$AB^2=3^2=9$。
2. 验证得$AC^2+BC^2=2+7=9=AB^2$，由勾股定理逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
3. 根据锐角余弦的定义，在$Rt△ ABC$中，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。
2. 验证得$AC^2+BC^2=2+7=9=AB^2$，由勾股定理逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
3. 根据锐角余弦的定义，在$Rt△ ABC$中，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。
3. 在 $ △ ABC $ 中，若 $ ∠ C = 90° $，$ ∠ B = 2 ∠ A $，则 $ \cos A = $。
答案
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
1. 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，因此$∠A+∠B=90°$；
2. 已知$∠B=2∠A$，代入得$∠A+2∠A=90°$，解得$∠A=30°$；
3. 根据特殊角的三角函数值，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 已知$∠B=2∠A$，代入得$∠A+2∠A=90°$，解得$∠A=30°$；
3. 根据特殊角的三角函数值，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
4. 在 $ △ ABC $ 中，若 $ ∠ C = 90° $，$ \sin A = \dfrac{1}{3} $，则 $ \cos A = $。
答案
$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，由sinA=BC/AB=1/3，设BC=a，则AB=3a（a＞0）。根据勾股定理，AC=√(AB²-BC²)=√((3a)² - a²)=2√2 a。再由余弦定义，cosA=AC/AB=(2√2 a)/(3a)=2√2/3。
5. 在等腰 $ △ ABC $ 中，若 $ AB = AC = 4 $，$ BC = 6 $，则 $ \cos B = $。
答案
$\frac{3}{4}$
解析
过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=AC，∴BD=BC/2=3（等腰三角形三线合一）。在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=4，BD=3，根据余弦定义，cosB=BD/AB=3/4。
6. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，若 $ ∠ C = 90° $，$ AC = 2BC $，则 $ \tan A = $。
答案
$\frac{1}{2}$
解析
在$ \mathrm{Rt} △ ABC $中，$ ∠ C = 90° $，根据正切的定义，$ \tan A = \frac{∠A的对边}{∠A的邻边} = \frac{BC}{AC} $。
已知$ AC = 2BC $，代入得$ \tan A = \frac{BC}{2BC} = \frac{1}{2} $。
已知$ AC = 2BC $，代入得$ \tan A = \frac{BC}{2BC} = \frac{1}{2} $。
7. 在 $ △ ABC $ 中，若 $ ∠ C = 90° $，$ \tan A = \dfrac{1}{3} $，则 $ \sin B = $。
答案
$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
解析
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，由$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，设$BC=x$（$x＞0$），则$AC=3x$。
根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(3x)^2+x^2}=\sqrt{10}x$。
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3x}{\sqrt{10}x}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(3x)^2+x^2}=\sqrt{10}x$。
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3x}{\sqrt{10}x}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
8. $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 的两直角边长分别为 $ 6 $，$ 8 $，现将此三角形纸片如图5所示折叠，使点 $ A $ 与点 $ B $ 重合，折痕为 $ DE $，则 $ \tan ∠ CBE = $。
答案
$\frac{7}{24}$
解析
1. 根据折叠性质，得$BE=AE$。设$CE=x$，则$AE=8-x$，故$BE=8-x$。
2. 在$\mathrm{Rt}△BCE$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：$BC^2 + CE^2 = BE^2$，代入$BC=6$，列方程：
$6^2 + x^2 = (8-x)^2$
3. 解方程：$36+x^2=64-16x+x^2$，化简得$16x=28$，解得$x=\frac{7}{4}$。
4. 在$\mathrm{Rt}△BCE$中，$\tan∠ CBE=\frac{CE}{BC}=\frac{\frac{7}{4}}{6}=\frac{7}{24}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△BCE$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：$BC^2 + CE^2 = BE^2$，代入$BC=6$，列方程：
$6^2 + x^2 = (8-x)^2$
3. 解方程：$36+x^2=64-16x+x^2$，化简得$16x=28$，解得$x=\frac{7}{4}$。
4. 在$\mathrm{Rt}△BCE$中，$\tan∠ CBE=\frac{CE}{BC}=\frac{\frac{7}{4}}{6}=\frac{7}{24}$。
三、解答题
1. 如图6，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AB = 13 $，$ BC = 5 $，求 $ \sin A $，$ \cos A $，$ \tan A $ 的值。
1. 如图6，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AB = 13 $，$ BC = 5 $，求 $ \sin A $，$ \cos A $，$ \tan A $ 的值。
答案
解：
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 13$，$BC = 5$，
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$，
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13}$，
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13}$，
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12}$。
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 13$，$BC = 5$，
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$，
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13}$，
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13}$，
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12}$。
