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一、选择题
1. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AB = 4 $，$ AC = 1 $，则 $ \cos A $ 的值是()
A. $ \dfrac{\sqrt{15}}{4} $
B. $ \dfrac{1}{4} $
C. $ \sqrt{15} $
D. $ 4 $
1. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AB = 4 $，$ AC = 1 $，则 $ \cos A $ 的值是()
A. $ \dfrac{\sqrt{15}}{4} $
B. $ \dfrac{1}{4} $
C. $ \sqrt{15} $
D. $ 4 $
答案
解：
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，
根据余弦的定义，$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB}$，
已知$AB = 4$，$AC = 1$，
则$\cos A = \frac{1}{4}$。
故选B。
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，
根据余弦的定义，$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB}$，
已知$AB = 4$，$AC = 1$，
则$\cos A = \frac{1}{4}$。
故选B。
2. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AC = 2 $，$ BC = 3 $，则下列选项中正确的是()
A.$ \sin B = \dfrac{2}{3} $
B.$ \cos B = \dfrac{2}{3} $
C.$ \tan B = \dfrac{2}{3} $
D.以上都不对
A.$ \sin B = \dfrac{2}{3} $
B.$ \cos B = \dfrac{2}{3} $
C.$ \tan B = \dfrac{2}{3} $
D.以上都不对
答案
C
解析
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AC = 2$，$BC = 3$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
根据锐角三角函数定义：
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{13}}≠\frac{2}{3}$，A错误；
$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{13}}≠\frac{2}{3}$，B错误；
$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}$，C正确。
根据锐角三角函数定义：
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{13}}≠\frac{2}{3}$，A错误；
$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{13}}≠\frac{2}{3}$，B错误；
$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}$，C正确。
3. 如图1，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ ∠ B = 50° $，$ AB = 10 $，则 $ BC $ 的长为()
A.$ 10 \tan 50° $
B.$ 10 \cos 50° $
C.$ 10 \sin 50° $
D.$ \dfrac{10}{\cos 50°} $
A.$ 10 \tan 50° $
B.$ 10 \cos 50° $
C.$ 10 \sin 50° $
D.$ \dfrac{10}{\cos 50°} $
答案
B
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10。根据余弦函数的定义，$\cos B=\frac{BC}{AB}$，则$BC=AB·\cos B=10\cos50°$。
4. 在正方形网格中，$ △ ABC $ 的位置如图2所示，则 $ \cos B $ 的值为()
A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
D.$ \dfrac{3}{2} $
A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
D.$ \dfrac{3}{2} $
答案
B
解析
设正方形网格中每个小正方形的边长为1，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，可得BD=4，AD=4。由勾股定理得：$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。根据锐角余弦的定义，$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
5. 等腰三角形的面积为 $ 40 $，底边长为 $ 4 $，则底角的正切值为()
A.$ 10 $
B.$ 20 $
C.$ \dfrac{1}{10} $
D.$ \dfrac{1}{20} $
A.$ 10 $
B.$ 20 $
C.$ \dfrac{1}{10} $
D.$ \dfrac{1}{20} $
答案
A
解析
1. 设等腰三角形ABC，底边BC=4，过顶点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形三线合一性质得BD=½BC=2。
2. 根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×BC×AD $，代入$ S=40 $、$ BC=4 $，得$ 40=\frac{1}{2}×4×AD $，解得$ AD=20 $。
3. 在Rt△ABD中，底角∠B的正切值$ \tan∠B=\frac{AD}{BD}=\frac{20}{2}=10 $。
2. 根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×BC×AD $，代入$ S=40 $、$ BC=4 $，得$ 40=\frac{1}{2}×4×AD $，解得$ AD=20 $。
3. 在Rt△ABD中，底角∠B的正切值$ \tan∠B=\frac{AD}{BD}=\frac{20}{2}=10 $。
6. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，若 $ \sin A = \dfrac{2}{3} $，则 $ \tan B = ( ) $
A.$ \dfrac{5}{3} $
B.$ \dfrac{\sqrt{5}}{3} $
C.$ \dfrac{2\sqrt{5}}{3} $
D.$ \dfrac{\sqrt{5}}{2} $
A.$ \dfrac{5}{3} $
B.$ \dfrac{\sqrt{5}}{3} $
C.$ \dfrac{2\sqrt{5}}{3} $
D.$ \dfrac{\sqrt{5}}{2} $
答案
D
解析
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，由$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{2}{3}$，设$BC=2k(k＞0)$，则$AB=3k$。
根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(3k)^2-(2k)^2}=\sqrt{5}k$。
因为$\tan B=\dfrac{AC}{BC}$（$∠B$的对边为$AC$，邻边为$BC$），所以$\tan B=\dfrac{\sqrt{5}k}{2k}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$。
根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(3k)^2-(2k)^2}=\sqrt{5}k$。
因为$\tan B=\dfrac{AC}{BC}$（$∠B$的对边为$AC$，邻边为$BC$），所以$\tan B=\dfrac{\sqrt{5}k}{2k}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$。
7. 正方形网格中，$ ∠ AOB $ 如图3所示放置，则 $ \tan ∠ AOB = ($$) $
A.$ \dfrac{\sqrt{5}}{5} $
B.$ \dfrac{2\sqrt{5}}{5} $
C.$ \dfrac{1}{2} $
D.$ 2 $
A.$ \dfrac{\sqrt{5}}{5} $
B.$ \dfrac{2\sqrt{5}}{5} $
C.$ \dfrac{1}{2} $
D.$ 2 $
答案
C
解析
设正方形网格中每个小正方形的边长为1，在OB上取点P(2,1)，过P作PQ⊥OA于Q（Q点坐标为(2,0)）。在Rt△OPQ中，PQ=1，OQ=2，∠POQ即为∠AOB，根据正切的定义，$\tan∠ AOB=\dfrac{PQ}{OQ}=\dfrac{1}{2}$。
8. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，下列式子中正确的是()
A.$ \sin A = \sin B $
B.$ \sin A = \cos B $
C.$ \tan A = \tan B $
D.$ \cos A = \cos B $
A.$ \sin A = \sin B $
B.$ \sin A = \cos B $
C.$ \tan A = \tan B $
D.$ \cos A = \cos B $
答案
B
解析
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，则$∠A + ∠B = 90°$，即$∠B = 90° - ∠A$。根据互余角的三角函数关系，$\sin A = \cos(90° - A)$，因此$\sin A = \cos B$。其余选项仅当$∠A=∠B=45°$时成立，不符合一般情况，故正确选项为B。
