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1. 通过探索，能归纳出幂的乘方运算性质，并正确理解其意义，从中感受“具体到抽象、特殊到一般”的思想方法，提高数感和归纳能力.
答案
答题卡：
问题：计算$(a^{2})^{3}$。
解：
根据幂的乘方运算性质，有
$(a^{m})^{n} = a^{m × n}$
应用上述性质，得
$(a^{2})^{3} = a^{2 × 3} = a^{6}$
问题：计算$(a^{2})^{3}$。
解：
根据幂的乘方运算性质，有
$(a^{m})^{n} = a^{m × n}$
应用上述性质，得
$(a^{2})^{3} = a^{2 × 3} = a^{6}$
2. 会运用幂的乘方公式进行计算，了解公式的逆运用，并能说出每一步运算的依据.
实践与探索
实践与探索
答案
答题卡作答：
题目：计算：(1) $(a^{2})^{3}$； (2) $(x^{3})^{4 · x}$（原（2）题$ (x^3)^{4} · x$根据常规教学推测，可能题目遗漏，按照$ (x^3)^{4} · x$作答，如有不同请根据实际更改） ；(3) $[(x-y)^{2}]^{3}$； (4) $(a^{2})^{3} · (a^{4})^{2}$；(5) $(a^{2})^{4} + a^{5} · a^{3} + x · x^{7}（题目第四（4）第五（5）小题可能为新题组合，其中（5）最后一项按照常规教学推测补充为$x · x^{7}$，如有不同请根据实际更改）$。
(1)
根据幂的乘方公式，有
$(a^{2})^{3} = a^{2 × 3} = a^{6}$
(2)
首先应用幂的乘方公式，再应用同底数幂的乘法公式，有
$(x^{3})^{4} · x = x^{3 × 4} · x = x^{12} · x = x^{1+12} = x^{13}$
(3)
将$(x-y)$看作一个整体，应用幂的乘方公式，有
$[(x-y)^{2}]^{3} = (x-y)^{2 × 3} = (x-y)^{6}$
(4)
首先分别计算两部分，再应用同底数幂的乘法公式，有
$(a^{2})^{3} · (a^{4})^{2} = a^{6} · a^{8} = a^{6+8} = a^{14}$
(5)
分别计算三部分，
$(a^{2})^{4} = a^{8}$
$a^{5} · a^{3} = a^{8}$
$x · x^{7} = x^{8}$
所以，
$(a^{2})^{4} + a^{5} · a^{3} + x · x^{7} = a^{8} + a^{8} + x^{8} = 2a^{8} + x^{8}$
题目：计算：(1) $(a^{2})^{3}$； (2) $(x^{3})^{4 · x}$（原（2）题$ (x^3)^{4} · x$根据常规教学推测，可能题目遗漏，按照$ (x^3)^{4} · x$作答，如有不同请根据实际更改） ；(3) $[(x-y)^{2}]^{3}$； (4) $(a^{2})^{3} · (a^{4})^{2}$；(5) $(a^{2})^{4} + a^{5} · a^{3} + x · x^{7}（题目第四（4）第五（5）小题可能为新题组合，其中（5）最后一项按照常规教学推测补充为$x · x^{7}$，如有不同请根据实际更改）$。
(1)
根据幂的乘方公式，有
$(a^{2})^{3} = a^{2 × 3} = a^{6}$
(2)
首先应用幂的乘方公式，再应用同底数幂的乘法公式，有
$(x^{3})^{4} · x = x^{3 × 4} · x = x^{12} · x = x^{1+12} = x^{13}$
(3)
将$(x-y)$看作一个整体，应用幂的乘方公式，有
$[(x-y)^{2}]^{3} = (x-y)^{2 × 3} = (x-y)^{6}$
(4)
首先分别计算两部分，再应用同底数幂的乘法公式，有
$(a^{2})^{3} · (a^{4})^{2} = a^{6} · a^{8} = a^{6+8} = a^{14}$
(5)
分别计算三部分，
$(a^{2})^{4} = a^{8}$
$a^{5} · a^{3} = a^{8}$
$x · x^{7} = x^{8}$
所以，
$(a^{2})^{4} + a^{5} · a^{3} + x · x^{7} = a^{8} + a^{8} + x^{8} = 2a^{8} + x^{8}$
例 1 计算：
(1)$(10^{7})^{2}$； (2)$(z^{4})^{4}$；
(3)$[(-y)^{3}]^{4}$； (4)$(-a^{m})^{4}$($m$是正整数).
(1)$(10^{7})^{2}$； (2)$(z^{4})^{4}$；
(3)$[(-y)^{3}]^{4}$； (4)$(-a^{m})^{4}$($m$是正整数).
答案
(1)
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$，$n$是正整数），可得：
$(10^{7})^{2}=10^{7×2}=10^{14}$
(2)
同样根据幂的乘方运算法则，对于$(z^{4})^{4}$，有：
$(z^{4})^{4}=z^{4×4}=z^{16}$
(3)
先根据幂的乘方运算法则计算$[(-y)^{3}]^{4}$，此时$a = -y$，$m = 3$，$n = 4$，则：
$[(-y)^{3}]^{4}=(-y)^{3×4}=(-y)^{12}$
因为负数的偶次幂是正数，所以$(-y)^{12}=y^{12}$
(4)
对于$(-a^{m})^{4}$（$m$是正整数），根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$（$n$是正整数），可得：
$(-a^{m})^{4}=(-1)^{4}×(a^{m})^{4}$
因为$(-1)^{4}=1$，再根据幂的乘方运算法则$(a^{m})^{4}=a^{4m}$，所以：
$(-a^{m})^{4}=a^{4m}$
综上，答案依次为：(1)$10^{14}$；(2)$z^{16}$；(3)$y^{12}$；(4)$a^{4m}$。
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$，$n$是正整数），可得：
$(10^{7})^{2}=10^{7×2}=10^{14}$
(2)
同样根据幂的乘方运算法则，对于$(z^{4})^{4}$，有：
$(z^{4})^{4}=z^{4×4}=z^{16}$
(3)
先根据幂的乘方运算法则计算$[(-y)^{3}]^{4}$，此时$a = -y$，$m = 3$，$n = 4$，则：
$[(-y)^{3}]^{4}=(-y)^{3×4}=(-y)^{12}$
因为负数的偶次幂是正数，所以$(-y)^{12}=y^{12}$
(4)
对于$(-a^{m})^{4}$（$m$是正整数），根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$（$n$是正整数），可得：
$(-a^{m})^{4}=(-1)^{4}×(a^{m})^{4}$
因为$(-1)^{4}=1$，再根据幂的乘方运算法则$(a^{m})^{4}=a^{4m}$，所以：
$(-a^{m})^{4}=a^{4m}$
综上，答案依次为：(1)$10^{14}$；(2)$z^{16}$；(3)$y^{12}$；(4)$a^{4m}$。
例 2 计算：
(1)$[(x - y)^{3}]^{4}$； (2)$[(10^{3})^{2}]^{4}$；
(3)$(-x^{2}) · (x^{3})^{2} · x$； (4)$x^{2} · x^{4} + (x^{3})^{2}$.
(1)$[(x - y)^{3}]^{4}$； (2)$[(10^{3})^{2}]^{4}$；
(3)$(-x^{2}) · (x^{3})^{2} · x$； (4)$x^{2} · x^{4} + (x^{3})^{2}$.
答案
(1)
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，对于$[(x - y)^{3}]^{4}$，其中$a = x - y$，$m = 3$，$n = 4$，可得：
$[(x - y)^{3}]^{4}=(x - y)^{3×4}=(x - y)^{12}$
(2)
同样根据幂的乘方运算法则，对于$[(10^{3})^{2}]^{4}$，先计算$(10^{3})^{2}=10^{3×2}=10^6$，再计算$(10^6)^{4}=10^{6×4}=10^{24}$。
(3)
先根据幂的乘方运算法则计算$(x^{3})^{2}=x^{3×2}=x^6$，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算$(-x^{2})·(x^{3})^{2}· x$：
$(-x^{2})·(x^{3})^{2}· x=(-x^{2})· x^6· x=-x^{2 + 6+1}=-x^{9}$
(4)
先根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算$x^{2}· x^{4}=x^{2 + 4}=x^6$；再根据幂的乘方运算法则计算$(x^{3})^{2}=x^{3×2}=x^6$；最后合并同类项：
$x^{2}· x^{4}+(x^{3})^{2}=x^6 + x^6=2x^6$
综上，答案依次为：(1)$(x - y)^{12}$；(2)$10^{24}$；(3)$-x^{9}$；(4)$2x^{6}$。
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，对于$[(x - y)^{3}]^{4}$，其中$a = x - y$，$m = 3$，$n = 4$，可得：
$[(x - y)^{3}]^{4}=(x - y)^{3×4}=(x - y)^{12}$
(2)
同样根据幂的乘方运算法则，对于$[(10^{3})^{2}]^{4}$，先计算$(10^{3})^{2}=10^{3×2}=10^6$，再计算$(10^6)^{4}=10^{6×4}=10^{24}$。
(3)
先根据幂的乘方运算法则计算$(x^{3})^{2}=x^{3×2}=x^6$，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算$(-x^{2})·(x^{3})^{2}· x$：
$(-x^{2})·(x^{3})^{2}· x=(-x^{2})· x^6· x=-x^{2 + 6+1}=-x^{9}$
(4)
先根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算$x^{2}· x^{4}=x^{2 + 4}=x^6$；再根据幂的乘方运算法则计算$(x^{3})^{2}=x^{3×2}=x^6$；最后合并同类项：
$x^{2}· x^{4}+(x^{3})^{2}=x^6 + x^6=2x^6$
综上，答案依次为：(1)$(x - y)^{12}$；(2)$10^{24}$；(3)$-x^{9}$；(4)$2x^{6}$。
1. 有下列算式：① $a^{m} · a^{2} = a^{m + 2}$($m$是正整数)；② $(a^{3})^{2} = a^{5}$；③ $(-x^{2})^{3} = x^{6}$；④ $(-a^{3})^{2} · a^{4} = a^{9}$.其中，正确的有()
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
A
解析
① 根据同底数幂的乘法法则，$a^{m} · a^{2} = a^{m+2}$，此算式正确；
② 根据幂的乘方法则，$(a^{3})^{2} = a^{3 × 2} = a^{6}$，原算式 $ (a^{3})^{2} = a^{5}$ 错误；
③ 根据积的乘方法则，$(-x^{2})^{3} = (-1)^{3} · (x^{2})^{3} = -x^{6}$，原算式 $(-x^{2})^{3} = x^{6}$ 错误；
④ 根据积的乘方法则和同底数幂的乘法法则，$(-a^{3})^{2} · a^{4} = (a^{3})^{2} · a^{4} = a^{6} · a^{4} = a^{10}$，原算式 $(-a^{3})^{2} · a^{4} = a^{9}$ 错误；
综上，只有①正确，正确的有 1 个。
② 根据幂的乘方法则，$(a^{3})^{2} = a^{3 × 2} = a^{6}$，原算式 $ (a^{3})^{2} = a^{5}$ 错误；
③ 根据积的乘方法则，$(-x^{2})^{3} = (-1)^{3} · (x^{2})^{3} = -x^{6}$，原算式 $(-x^{2})^{3} = x^{6}$ 错误；
④ 根据积的乘方法则和同底数幂的乘法法则，$(-a^{3})^{2} · a^{4} = (a^{3})^{2} · a^{4} = a^{6} · a^{4} = a^{10}$，原算式 $(-a^{3})^{2} · a^{4} = a^{9}$ 错误；
综上，只有①正确，正确的有 1 个。
2. 计算$(-3)^{2n + 1} + 3 × (-3)^{2n}$($n$是正整数)，结果正确的是()
A.$3^{2n + 1}$
B.$-3^{2n + 1}$
C.0
D.1
A.$3^{2n + 1}$
B.$-3^{2n + 1}$
C.0
D.1
答案
C
解析
$(-3)^{2n+1} + 3×(-3)^{2n} = (-3)^{2n}×(-3) + 3×(-3)^{2n} = (-3)^{2n}×(-3 + 3) = (-3)^{2n}×0 = 0$
