登录
9. 求出下列图中直角三角形中未知边的长度。
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
答案
9. (1)解:由题意可得
$c=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{169}=13$
(2)解:由题意可得
$b=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{64}=8$
(3)解:由题意可得
$a=\sqrt{26^{2}-24^{2}}=\sqrt{100}=10$
$h=\sqrt{100^{2}-6^{2}}=\sqrt{64}=8$
$c=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{169}=13$
(2)解:由题意可得
$b=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{64}=8$
(3)解:由题意可得
$a=\sqrt{26^{2}-24^{2}}=\sqrt{100}=10$
$h=\sqrt{100^{2}-6^{2}}=\sqrt{64}=8$
10. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3。
(1)求DE的长；
(2)求△ADB的面积。
(1)求DE的长；
(2)求△ADB的面积。
答案
10. (1)解:$\because AD$平分$∠ CAB$,$DE⊥ AB$,$∠ C=90^{\circ}$,
$\therefore CD=DE$. $\because CD=3$, $\therefore DE=3$.
(2)在$Rt△ ABC$中,由勾股定理得:
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$,
$\therefore S_{△ ADB}=\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}×10×3=15$.
$\therefore CD=DE$. $\because CD=3$, $\therefore DE=3$.
(2)在$Rt△ ABC$中,由勾股定理得:
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$,
$\therefore S_{△ ADB}=\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}×10×3=15$.
1. 如图，已知在△ABC中，AD=8，AB=17，AC=10，AD⊥BD，求BC的长。
答案
1. 解:在$Rt△ ABD$中,由勾股定理得:
$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15$,
在$Rt△ ACD$中,由勾股定理得:
$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$,
$\therefore BC=BD-CD=15-6=9$.
$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15$,
在$Rt△ ACD$中,由勾股定理得:
$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$,
$\therefore BC=BD-CD=15-6=9$.
2. 如图，已知等腰△ABC的周长是16，底边BC上的高AD的长是4，求这个三角形各边的长。
答案
2. 解:设$BD=x$,由等腰三角形的性质知:
$AB=8-x$,
由勾股定理得:
$AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}$,
$\therefore (8-x)^{2}=x^{2}+4^{2}$,
解得:$x=3$,
$\therefore AB=AC=5$,$BC=6$.
$AB=8-x$,
由勾股定理得:
$AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}$,
$\therefore (8-x)^{2}=x^{2}+4^{2}$,
解得:$x=3$,
$\therefore AB=AC=5$,$BC=6$.
3. 现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”。在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，AB=c，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)试证明a²+b²=c²；
(2)如果大正方形的面积是6，小正方形的面积是2，求(a+b)²的值。
(1)试证明a²+b²=c²；
(2)如果大正方形的面积是6，小正方形的面积是2，求(a+b)²的值。
答案
3. (1)证明:$\because$大正方形的面积为$c^{2}$,每个直角三角形的面积均为$\frac{1}{2}ab$,小正方形的面积为$(b-a)^{2}$,
$\therefore c^{2}=4·\frac{1}{2}ab+(b-a)^{2}=2ab+a^{2}-2ab+b^{2}$,
即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(2)解:由(1)可知$a^{2}+b^{2}=c^{2}=6$,
由图知$4·\frac{1}{2}ab=6-2=4$,
$\therefore ab=2$,
$\therefore (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=10$.
$\therefore c^{2}=4·\frac{1}{2}ab+(b-a)^{2}=2ab+a^{2}-2ab+b^{2}$,
即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(2)解:由(1)可知$a^{2}+b^{2}=c^{2}=6$,
由图知$4·\frac{1}{2}ab=6-2=4$,
$\therefore ab=2$,
$\therefore (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=10$.
