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(1)有一个圆柱,底面直径是10 cm,若高增加2 cm,则体积增加(
A.157
B.628
C.40
D.20
A
)cm³。A.157
B.628
C.40
D.20
答案
1. (1)A
解析
【分析】
要解决这个问题，关键是理解圆柱高增加时，底面积保持不变，因此增加的体积就是一个与原圆柱底面积相同、高为2cm的小圆柱的体积。解题思路如下：首先根据底面直径求出底面半径，再利用圆的面积公式计算出圆柱的底面积，最后用底面积乘以增加的高，得到增加的体积后对应选项选出答案。
【解析】
步骤1：计算圆柱底面半径
已知底面直径是10cm，根据半径=直径÷2，可得半径：$10÷2=5\mathrm{cm}$
步骤2：计算圆柱底面积
根据圆的面积公式$S=π r^2$（$π$取3.14），可得底面积：
$3.14×5^2=3.14×25=78.5\mathrm{cm}^2$
步骤3：计算增加的体积
增加的体积=底面积×增加的高，即：
$78.5×2=157\mathrm{cm}^3$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
圆柱体积计算、圆的面积计算
【点评】
本题考查圆柱体积公式的灵活应用，核心是抓住“底面积不变”这一关键，避免错误计算整个圆柱的体积。题目属于基础题型，侧重对圆柱体积公式本质的理解，掌握公式并理清思路即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，关键是理解圆柱高增加时，底面积保持不变，因此增加的体积就是一个与原圆柱底面积相同、高为2cm的小圆柱的体积。解题思路如下：首先根据底面直径求出底面半径，再利用圆的面积公式计算出圆柱的底面积，最后用底面积乘以增加的高，得到增加的体积后对应选项选出答案。
【解析】
步骤1：计算圆柱底面半径
已知底面直径是10cm，根据半径=直径÷2，可得半径：$10÷2=5\mathrm{cm}$
步骤2：计算圆柱底面积
根据圆的面积公式$S=π r^2$（$π$取3.14），可得底面积：
$3.14×5^2=3.14×25=78.5\mathrm{cm}^2$
步骤3：计算增加的体积
增加的体积=底面积×增加的高，即：
$78.5×2=157\mathrm{cm}^3$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
圆柱体积计算、圆的面积计算
【点评】
本题考查圆柱体积公式的灵活应用，核心是抓住“底面积不变”这一关键，避免错误计算整个圆柱的体积。题目属于基础题型，侧重对圆柱体积公式本质的理解，掌握公式并理清思路即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
(2)求一个油漆桶能装多少油漆,就是求这个油漆桶的(
A.表面积
B.侧面积
C.体积
D.容积
D
)。A.表面积
B.侧面积
C.体积
D.容积
答案
1. (2)D
解析
【分析】
首先要明确各个选项对应的概念：表面积是物体所有面的面积总和，侧面积是物体侧面的面积，体积是物体所占空间的大小，容积是容器内部所能容纳物体的体积。题目问的是油漆桶能装多少油漆，也就是求这个容器可以容纳的油漆的体积，所以需要判断哪个概念符合这个要求，逐一排除不符合的选项即可得出正确答案。
【解析】
选项A：表面积是油漆桶各个面的面积之和，反映的是油漆桶外表的面积大小，和能装多少油漆无关，排除；
选项B：侧面积只是油漆桶侧面的面积，不能表示容纳油漆的量，排除；
选项C：体积是油漆桶自身所占空间的大小，不是它能容纳物体的体积，排除；
选项D：容积指容器内部可以容纳物体的体积，正好对应油漆桶能装多少油漆的量，符合题意。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
容积的概念
【点评】
本题主要考查对容积、体积、表面积等相关概念的区分，需要准确理解不同概念的含义，明确容积是容器容纳物体的体积这一核心点，才能正确作答。
【难度系数】
0.8
首先要明确各个选项对应的概念：表面积是物体所有面的面积总和，侧面积是物体侧面的面积，体积是物体所占空间的大小，容积是容器内部所能容纳物体的体积。题目问的是油漆桶能装多少油漆，也就是求这个容器可以容纳的油漆的体积，所以需要判断哪个概念符合这个要求，逐一排除不符合的选项即可得出正确答案。
【解析】
选项A：表面积是油漆桶各个面的面积之和，反映的是油漆桶外表的面积大小，和能装多少油漆无关，排除；
选项B：侧面积只是油漆桶侧面的面积，不能表示容纳油漆的量，排除；
选项C：体积是油漆桶自身所占空间的大小，不是它能容纳物体的体积，排除；
选项D：容积指容器内部可以容纳物体的体积，正好对应油漆桶能装多少油漆的量，符合题意。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
容积的概念
【点评】
本题主要考查对容积、体积、表面积等相关概念的区分，需要准确理解不同概念的含义，明确容积是容器容纳物体的体积这一核心点，才能正确作答。
【难度系数】
0.8
(3)两个圆柱的高相等,底面周长的比是2:5,体积的比是(
A.2:5
B.4:25
C.25:4
B
)。A.2:5
B.4:25
C.25:4
答案
1. (3)B
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路逐步推导：
1. 先明确圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高（$V=Sh$），题目中两个圆柱高相等，因此体积的比等于底面积的比。
2. 再分析底面周长与半径的关系：圆的周长$C=2π r$，周长和半径成正比，所以两个圆柱底面半径的比等于底面周长的比，即$2:5$。
3. 最后推导底面积的比：圆的底面积$S=π r^2$，底面积与半径的平方成正比，因此底面积的比是半径平方的比，即$2^2:5^2=4:25$，结合高相等的条件，体积比等于底面积比，也就是$4:25$。
【解析】
设两个圆柱的高为$h$，底面周长分别为$C_1$、$C_2$，底面半径分别为$r_1$、$r_2$，体积分别为$V_1$、$V_2$。
1. 根据圆的周长公式$C=2π r$，可得半径比：
$\frac{r_1}{r_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{2}{5}$
2. 根据圆的底面积公式$S=π r^2$，计算底面积比：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{π r_1^2}{π r_2^2}=(\frac{r_1}{r_2})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
3. 根据圆柱体积公式$V=Sh$，因为高$h$相等，所以体积比：
$\frac{V_1}{V_2}=\frac{S_1h}{S_2h}=\frac{S_1}{S_2}=\frac{4}{25}$
因此两个圆柱体积的比是$4:25$，选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积公式、圆的周长与半径关系、圆的面积与半径关系
【点评】
本题核心考查圆柱体积公式的应用及圆的周长、面积与半径的比例逻辑，需要学生抓住“高相等时体积比等于底面积比”这一关键，通过周长比推导半径比，再结合面积公式得到底面积比，最终得出体积比，考验对几何公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，可按以下思路逐步推导：
1. 先明确圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高（$V=Sh$），题目中两个圆柱高相等，因此体积的比等于底面积的比。
2. 再分析底面周长与半径的关系：圆的周长$C=2π r$，周长和半径成正比，所以两个圆柱底面半径的比等于底面周长的比，即$2:5$。
3. 最后推导底面积的比：圆的底面积$S=π r^2$，底面积与半径的平方成正比，因此底面积的比是半径平方的比，即$2^2:5^2=4:25$，结合高相等的条件，体积比等于底面积比，也就是$4:25$。
【解析】
设两个圆柱的高为$h$，底面周长分别为$C_1$、$C_2$，底面半径分别为$r_1$、$r_2$，体积分别为$V_1$、$V_2$。
1. 根据圆的周长公式$C=2π r$，可得半径比：
$\frac{r_1}{r_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{2}{5}$
2. 根据圆的底面积公式$S=π r^2$，计算底面积比：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{π r_1^2}{π r_2^2}=(\frac{r_1}{r_2})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
3. 根据圆柱体积公式$V=Sh$，因为高$h$相等，所以体积比：
$\frac{V_1}{V_2}=\frac{S_1h}{S_2h}=\frac{S_1}{S_2}=\frac{4}{25}$
因此两个圆柱体积的比是$4:25$，选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积公式、圆的周长与半径关系、圆的面积与半径关系
【点评】
本题核心考查圆柱体积公式的应用及圆的周长、面积与半径的比例逻辑，需要学生抓住“高相等时体积比等于底面积比”这一关键，通过周长比推导半径比，再结合面积公式得到底面积比，最终得出体积比，考验对几何公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
2. 把一根圆柱形木材对半锯开,求这个半圆柱的表面积和体积。(单位:dm)
答案
2. $ S:[(8 ÷ 2)^{2} × 3.14 × 2 + 8 × 3.14 × 36] ÷ 2 + 36 × 8 = 790.4(dm^{2}) $
$ V:(8 ÷ 2)^{2} × 3.14 × 36 ÷ 2 = 904.32(dm^{3}) $
$ V:(8 ÷ 2)^{2} × 3.14 × 36 ÷ 2 = 904.32(dm^{3}) $
解析
【分析】
要计算半圆柱的表面积和体积，需明确：
1. 半圆柱的表面积 = 原圆柱表面积的一半 + 切面长方形的面积（切面是长为圆柱的高36dm、宽为圆柱底面直径8dm的长方形）；
2. 半圆柱的体积 = 原圆柱体积的一半。
首先确定圆柱的底面半径（$8÷2=4\mathrm{dm}$），再分别利用圆柱的表面积、体积公式进行计算，最后按上述思路调整得到半圆柱的表面积和体积。
【解析】
计算半圆柱的表面积：
1. 求圆柱底面半径：$r = 8÷2 = 4(\mathrm{dm})$
2. 原圆柱表面积 = 2个底面积 + 侧面积，即：
$S_{\mathrm{圆柱}} = 2×π r^2 + π dh = 2×3.14×4^2 + 3.14×8×36$
3. 半圆柱的表面积为原圆柱表面积的一半加上切面长方形面积：
$\begin{align}S_{\mathrm{半圆柱}}&=\frac{1}{2}×(2×3.14×4^2 + 3.14×8×36) + 36×8\\&=\frac{1}{2}×(100.48 + 904.32) + 288\\&=502.4 + 288\\&=790.4(\mathrm{dm}^2)\end{align}$
计算半圆柱的体积：
半圆柱体积 = $\frac{1}{2}×$原圆柱体积，原圆柱体积 = $π r^2 h$，则：
$\begin{align}V_{\mathrm{半圆柱}}&=\frac{1}{2}×3.14×4^2×36\\&=\frac{1}{2}×3.14×16×36\\&=904.32(\mathrm{dm}^3)\end{align}$
【答案】
半圆柱的表面积是$\boldsymbol{790.4\ \mathrm{dm}^2}$，体积是$\boldsymbol{904.32\ \mathrm{dm}^3}$。
【知识点】
圆柱的表面积、圆柱的体积、半圆柱表面积计算
【点评】
本题易错点是计算半圆柱表面积时易忽略切面的长方形面积，需牢记半圆柱表面积是原圆柱表面积的一半与切面长方形面积之和；体积计算为原圆柱体积的一半，掌握圆柱的表面积和体积公式是解题关键。
【难度系数】
0.6
要计算半圆柱的表面积和体积，需明确：
1. 半圆柱的表面积 = 原圆柱表面积的一半 + 切面长方形的面积（切面是长为圆柱的高36dm、宽为圆柱底面直径8dm的长方形）；
2. 半圆柱的体积 = 原圆柱体积的一半。
首先确定圆柱的底面半径（$8÷2=4\mathrm{dm}$），再分别利用圆柱的表面积、体积公式进行计算，最后按上述思路调整得到半圆柱的表面积和体积。
【解析】
计算半圆柱的表面积：
1. 求圆柱底面半径：$r = 8÷2 = 4(\mathrm{dm})$
2. 原圆柱表面积 = 2个底面积 + 侧面积，即：
$S_{\mathrm{圆柱}} = 2×π r^2 + π dh = 2×3.14×4^2 + 3.14×8×36$
3. 半圆柱的表面积为原圆柱表面积的一半加上切面长方形面积：
$\begin{align}S_{\mathrm{半圆柱}}&=\frac{1}{2}×(2×3.14×4^2 + 3.14×8×36) + 36×8\\&=\frac{1}{2}×(100.48 + 904.32) + 288\\&=502.4 + 288\\&=790.4(\mathrm{dm}^2)\end{align}$
计算半圆柱的体积：
半圆柱体积 = $\frac{1}{2}×$原圆柱体积，原圆柱体积 = $π r^2 h$，则：
$\begin{align}V_{\mathrm{半圆柱}}&=\frac{1}{2}×3.14×4^2×36\\&=\frac{1}{2}×3.14×16×36\\&=904.32(\mathrm{dm}^3)\end{align}$
【答案】
半圆柱的表面积是$\boldsymbol{790.4\ \mathrm{dm}^2}$，体积是$\boldsymbol{904.32\ \mathrm{dm}^3}$。
【知识点】
圆柱的表面积、圆柱的体积、半圆柱表面积计算
【点评】
本题易错点是计算半圆柱表面积时易忽略切面的长方形面积，需牢记半圆柱表面积是原圆柱表面积的一半与切面长方形面积之和；体积计算为原圆柱体积的一半，掌握圆柱的表面积和体积公式是解题关键。
【难度系数】
0.6
3. 一根圆柱形钢管长6 m,外直径是20 cm,管壁厚2 cm,这根钢管的体积是多少立方厘米?
答案
3. $ 20 ÷ 2 = 10(cm) $ $ 10 - 2 = 8(cm) $ $ 6m = 600cm $
$ 3.14 × (10^{2} - 8^{2}) × 600 = 67824(cm^{3}) $
$ 3.14 × (10^{2} - 8^{2}) × 600 = 67824(cm^{3}) $
解析
【分析】
要计算钢管的体积，实际是求空心圆柱的体积，即外圆柱体积减去内圆柱体积。首先需要统一单位，将钢管长度的单位米转换为厘米；然后根据外直径求出外半径，再结合管壁厚求出内半径；最后利用空心圆柱体积公式$V = π(R^2 - r^2)h$（其中$R$为外半径，$r$为内半径，$h$为高）代入数值计算即可。
【解析】
1. 单位换算：
因为$1m = 100cm$，所以$6m = 6×100 = 600cm$。
2. 求外半径：
外直径是$20cm$，外半径$R = 20÷2 = 10(cm)$。
3. 求内半径：
管壁厚$2cm$，内半径$r = 10 - 2 = 8(cm)$。
4. 计算钢管体积：
根据空心圆柱体积公式，可得：
$V = 3.14×(10^2 - 8^2)×600$
$= 3.14×(100 - 64)×600$
$= 3.14×36×600$
$= 113.04×600$
$= 67824(cm^3)$
【答案】
$67824$立方厘米
【知识点】
1. 圆柱体积计算
2. 单位换算
3. 空心圆柱体积求解
【点评】
本题考查空心圆柱体积的计算，关键是理解钢管体积为外圆柱与内圆柱的体积差，需要注意单位的统一，以及半径的正确计算，熟练掌握圆柱体积公式是解题的核心。
【难度系数】
0.6
要计算钢管的体积，实际是求空心圆柱的体积，即外圆柱体积减去内圆柱体积。首先需要统一单位，将钢管长度的单位米转换为厘米；然后根据外直径求出外半径，再结合管壁厚求出内半径；最后利用空心圆柱体积公式$V = π(R^2 - r^2)h$（其中$R$为外半径，$r$为内半径，$h$为高）代入数值计算即可。
【解析】
1. 单位换算：
因为$1m = 100cm$，所以$6m = 6×100 = 600cm$。
2. 求外半径：
外直径是$20cm$，外半径$R = 20÷2 = 10(cm)$。
3. 求内半径：
管壁厚$2cm$，内半径$r = 10 - 2 = 8(cm)$。
4. 计算钢管体积：
根据空心圆柱体积公式，可得：
$V = 3.14×(10^2 - 8^2)×600$
$= 3.14×(100 - 64)×600$
$= 3.14×36×600$
$= 113.04×600$
$= 67824(cm^3)$
【答案】
$67824$立方厘米
【知识点】
1. 圆柱体积计算
2. 单位换算
3. 空心圆柱体积求解
【点评】
本题考查空心圆柱体积的计算，关键是理解钢管体积为外圆柱与内圆柱的体积差，需要注意单位的统一，以及半径的正确计算，熟练掌握圆柱体积公式是解题的核心。
【难度系数】
0.6
4. 将铁块放入乙容器,乙水位上升2厘米,再将铁块放入甲容器,甲的水位应上升多少厘米? (放入铁块后,水都没溢出)(图中单位:厘米)
答案
4. $ (5^{2} × 3.14 × 2) ÷ (10^{2} × 3.14) = 0.5(cm) $
解析
【分析】
这道题的核心是利用“等积变形”思想，铁块的体积等于放入容器后上升部分水的体积。首先通过乙容器中水位上升的情况计算出铁块的体积（即乙容器中上升2厘米的水的体积）；再利用铁块体积不变的特点，用铁块体积除以甲容器的底面积，即可得到甲容器中水位上升的高度。
【解析】
1. 计算铁块的体积（等于乙容器中上升部分水的体积）：
根据圆柱体积公式$V = π r^2 h$，乙容器底面半径为5厘米，水位上升2厘米，可得：
$V_{铁块} = 3.14×5^2×2$
2. 计算甲容器的底面积：
甲容器底面半径为10厘米，其底面积为：
$S_{甲底} = 3.14×10^2$
3. 计算甲容器水位上升的高度：
由于铁块体积等于甲容器中上升部分水的体积，因此上升高度$h = \frac{V_{铁块}}{S_{甲底}}$，代入数值计算：
$\begin{aligned}h&=(3.14×5^2×2)÷(3.14×10^2)\\&=(25×3.14×2)÷(100×3.14)\\&=157÷314\\&=0.5(\mathrm{厘米})\end{aligned}$
【答案】
0.5厘米
【知识点】
圆柱体积公式、等积变形
【点评】
本题考查圆柱体积公式的实际应用，关键是抓住“铁块体积不变”这一核心，通过乙容器求出铁块体积，再结合甲容器的底面积计算水位上升高度，需要学生熟练掌握圆柱体积公式，并能灵活运用等积变形思想解决实际问题。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是利用“等积变形”思想，铁块的体积等于放入容器后上升部分水的体积。首先通过乙容器中水位上升的情况计算出铁块的体积（即乙容器中上升2厘米的水的体积）；再利用铁块体积不变的特点，用铁块体积除以甲容器的底面积，即可得到甲容器中水位上升的高度。
【解析】
1. 计算铁块的体积（等于乙容器中上升部分水的体积）：
根据圆柱体积公式$V = π r^2 h$，乙容器底面半径为5厘米，水位上升2厘米，可得：
$V_{铁块} = 3.14×5^2×2$
2. 计算甲容器的底面积：
甲容器底面半径为10厘米，其底面积为：
$S_{甲底} = 3.14×10^2$
3. 计算甲容器水位上升的高度：
由于铁块体积等于甲容器中上升部分水的体积，因此上升高度$h = \frac{V_{铁块}}{S_{甲底}}$，代入数值计算：
$\begin{aligned}h&=(3.14×5^2×2)÷(3.14×10^2)\\&=(25×3.14×2)÷(100×3.14)\\&=157÷314\\&=0.5(\mathrm{厘米})\end{aligned}$
【答案】
0.5厘米
【知识点】
圆柱体积公式、等积变形
【点评】
本题考查圆柱体积公式的实际应用，关键是抓住“铁块体积不变”这一核心，通过乙容器求出铁块体积，再结合甲容器的底面积计算水位上升高度，需要学生熟练掌握圆柱体积公式，并能灵活运用等积变形思想解决实际问题。
【难度系数】
0.7
5. 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),容积是300 cm³。现瓶中装一些饮料,正放时饮料的高度是20 cm,倒放时瓶中空余部分的高度是5 cm。瓶内现有饮料多少立方厘米?
答案
5. $ 300 × [20 ÷ (20 + 5)] = 240(cm^{3}) $
解析
【分析】
首先，观察饮料瓶的正放和倒放状态：正放时饮料形成高度为20cm的圆柱，倒放时空余部分形成高度为5cm的圆柱，由于瓶身不含瓶颈是圆柱形，所以饮料部分和空余部分的底面积相同。根据圆柱体积公式体积=底面积×高，在底面积相同的情况下，体积与高度成正比。瓶子的总容积等于饮料体积加上空余部分体积，对应的总高度是20+5=25cm。因此，饮料体积占瓶子总容积的比例等于饮料高度占总高度的比例，用总容积乘以这个比例就能求出饮料体积。
【解析】
1. 计算瓶子的总等效高度饮料高度+倒放空余高度：
$20 + 5 = 25(\mathrm{cm})$
2. 计算饮料高度占总高度的比例：
$\frac{20}{25} = \frac{4}{5}$
3. 计算瓶内现有饮料的体积：
$300 × \frac{4}{5} = 240(\mathrm{cm}^3)$
或列综合算式：
$300 × [20 ÷ (20 + 5)] = 300 × \frac{20}{25} = 240(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$\boldsymbol{240}$立方厘米
【知识点】
圆柱体积计算、比例的应用
【点评】
本题的关键是通过转化思想，将倒放时空余部分的不规则体积转化为规则的圆柱体积，利用等底圆柱体积与高度的正比关系求解，考查了空间想象能力和对圆柱体积公式的灵活运用。
【难度系数】
0.6
首先，观察饮料瓶的正放和倒放状态：正放时饮料形成高度为20cm的圆柱，倒放时空余部分形成高度为5cm的圆柱，由于瓶身不含瓶颈是圆柱形，所以饮料部分和空余部分的底面积相同。根据圆柱体积公式体积=底面积×高，在底面积相同的情况下，体积与高度成正比。瓶子的总容积等于饮料体积加上空余部分体积，对应的总高度是20+5=25cm。因此，饮料体积占瓶子总容积的比例等于饮料高度占总高度的比例，用总容积乘以这个比例就能求出饮料体积。
【解析】
1. 计算瓶子的总等效高度饮料高度+倒放空余高度：
$20 + 5 = 25(\mathrm{cm})$
2. 计算饮料高度占总高度的比例：
$\frac{20}{25} = \frac{4}{5}$
3. 计算瓶内现有饮料的体积：
$300 × \frac{4}{5} = 240(\mathrm{cm}^3)$
或列综合算式：
$300 × [20 ÷ (20 + 5)] = 300 × \frac{20}{25} = 240(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$\boldsymbol{240}$立方厘米
【知识点】
圆柱体积计算、比例的应用
【点评】
本题的关键是通过转化思想，将倒放时空余部分的不规则体积转化为规则的圆柱体积，利用等底圆柱体积与高度的正比关系求解，考查了空间想象能力和对圆柱体积公式的灵活运用。
【难度系数】
0.6
