登录
1. 求下面各圆柱的体积。
(1)底面直径是6厘米，高6厘米。
(2)底面周长是31.4分米，高30厘米。
(1)底面直径是6厘米，高6厘米。
(2)底面周长是31.4分米，高30厘米。
答案
1. (1)$3.14× (\frac {6}{2})^{2}× 6=169.56(cm^{3})$
(2)$31.4÷ 2÷ 3.14=5(dm)$ $30cm=3dm$ $3.14× 5^{2}× 3=235.5(dm^{3})$
(2)$31.4÷ 2÷ 3.14=5(dm)$ $30cm=3dm$ $3.14× 5^{2}× 3=235.5(dm^{3})$
解析
【分析】
要计算圆柱的体积，需牢记圆柱体积公式：$V = S_{底}h = π r^2 h$（其中$S_{底}$是底面积，$r$是底面半径，$h$是高）。
对于(1)：已知底面直径和高，首先用直径除以2求出底面半径，再代入圆的面积公式算出底面积，最后乘高得到体积。
对于(2)：已知底面周长和高，首先根据圆的周长公式$C=2π r$推导出$r = C÷2÷π$求出底面半径；其次要注意单位统一，将高的单位转换为和底面周长一致的分米，再代入体积公式计算。
【解析】
(1) 底面半径：$6÷2 = 3$（厘米）
体积计算：
$3.14×(\frac{6}{2})^2×6 = 3.14×3^2×6 = 169.56\ (\mathrm{cm}^3)$
(2) 底面半径：$31.4÷2÷3.14 = 5$（分米）
单位转换：$30\ \mathrm{cm}=3\ \mathrm{dm}$
体积计算：
$3.14×5^2×3 = 3.14×25×3 = 235.5\ (\mathrm{dm}^3)$
【答案】
(1) $\boxed{169.56}$立方厘米；(2) $\boxed{235.5}$立方分米
【知识点】
1. 圆柱体积计算；2. 圆的周长与面积应用；3. 长度单位换算
【点评】
本题考查圆柱体积的基础计算，核心是熟练运用圆柱体积公式，关键在于根据已知条件准确求出底面半径，同时要注意计算时的单位统一，属于基础必掌握题型，能帮助巩固圆柱体积公式及圆的相关公式的应用。
【难度系数】
0.8
要计算圆柱的体积，需牢记圆柱体积公式：$V = S_{底}h = π r^2 h$（其中$S_{底}$是底面积，$r$是底面半径，$h$是高）。
对于(1)：已知底面直径和高，首先用直径除以2求出底面半径，再代入圆的面积公式算出底面积，最后乘高得到体积。
对于(2)：已知底面周长和高，首先根据圆的周长公式$C=2π r$推导出$r = C÷2÷π$求出底面半径；其次要注意单位统一，将高的单位转换为和底面周长一致的分米，再代入体积公式计算。
【解析】
(1) 底面半径：$6÷2 = 3$（厘米）
体积计算：
$3.14×(\frac{6}{2})^2×6 = 3.14×3^2×6 = 169.56\ (\mathrm{cm}^3)$
(2) 底面半径：$31.4÷2÷3.14 = 5$（分米）
单位转换：$30\ \mathrm{cm}=3\ \mathrm{dm}$
体积计算：
$3.14×5^2×3 = 3.14×25×3 = 235.5\ (\mathrm{dm}^3)$
【答案】
(1) $\boxed{169.56}$立方厘米；(2) $\boxed{235.5}$立方分米
【知识点】
1. 圆柱体积计算；2. 圆的周长与面积应用；3. 长度单位换算
【点评】
本题考查圆柱体积的基础计算，核心是熟练运用圆柱体积公式，关键在于根据已知条件准确求出底面半径，同时要注意计算时的单位统一，属于基础必掌握题型，能帮助巩固圆柱体积公式及圆的相关公式的应用。
【难度系数】
0.8
2. 一根圆柱形的木料长1.2米，把它截成2段后，表面积增加了30平方厘米，这根木料的体积是多少？
答案
2. $1.2$米$=120$厘米 $30÷ 2× 120=1800(cm^{3})$
解析
【分析】
要计算这根圆柱形木料的体积，需用到圆柱体积公式$V=Sh$（$S$为底面积，$h$为高）。首先，把圆柱截成2段时，表面积增加的部分是2个圆柱底面的面积，因此用增加的表面积除以2就能得到一个底面的面积；其次，题目中木料长度的单位是米，需换算成厘米，保证和底面积的单位统一；最后将底面积与木料长度（即圆柱的高）相乘，即可求出体积。
【解析】
1. 单位换算：
因为底面积单位是平方厘米，统一单位得$1.2$米$=120$厘米。
2. 计算圆柱底面积：
截成2段后表面积增加2个底面的面积，所以底面积$S=30÷2=15$（平方厘米）。
3. 计算木料体积：
根据圆柱体积公式$V=Sh$，代入数据得$V=15×120=1800$（立方厘米）。
【答案】
$1800cm^{3}$（或1800立方厘米）
【知识点】
圆柱体积计算、圆柱切割表面积变化、单位换算
【点评】
本题核心考查圆柱体积公式的应用及圆柱切割后表面积的变化规律，解题关键是明确截成2段增加的是2个底面的面积，同时要注意单位统一，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算这根圆柱形木料的体积，需用到圆柱体积公式$V=Sh$（$S$为底面积，$h$为高）。首先，把圆柱截成2段时，表面积增加的部分是2个圆柱底面的面积，因此用增加的表面积除以2就能得到一个底面的面积；其次，题目中木料长度的单位是米，需换算成厘米，保证和底面积的单位统一；最后将底面积与木料长度（即圆柱的高）相乘，即可求出体积。
【解析】
1. 单位换算：
因为底面积单位是平方厘米，统一单位得$1.2$米$=120$厘米。
2. 计算圆柱底面积：
截成2段后表面积增加2个底面的面积，所以底面积$S=30÷2=15$（平方厘米）。
3. 计算木料体积：
根据圆柱体积公式$V=Sh$，代入数据得$V=15×120=1800$（立方厘米）。
【答案】
$1800cm^{3}$（或1800立方厘米）
【知识点】
圆柱体积计算、圆柱切割表面积变化、单位换算
【点评】
本题核心考查圆柱体积公式的应用及圆柱切割后表面积的变化规律，解题关键是明确截成2段增加的是2个底面的面积，同时要注意单位统一，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 一个圆柱形容器的底面直径为40厘米，一块石头完全浸没在水中，把石头拿出水后，水面下降了4厘米，这个石块的体积是多少？
答案
3. $40÷ 2=20(cm)$ $3.14× 20^{2}× 4=5024(cm^{3})$
解析
【分析】
要计算石块的体积，我们可以利用“排水法”的原理：当石块完全浸没在水中时，它占据的空间会使水面上升，拿出石块后，水面下降部分的水的体积就等于石块的体积。而下降部分的水形成一个圆柱体，所以我们只需要计算这个圆柱的体积即可。首先需要求出圆柱形容器的底面半径，再根据圆柱体积公式（体积=底面积×高），用底面积乘水面下降的高度就能得到石块体积。
【解析】
1. 计算圆柱形容器的底面半径：
已知底面直径为40厘米，根据半径与直径的关系，可得半径为：$40÷2=20(cm)$。
2. 计算下降部分水的体积（即石块体积）：
根据圆柱体积公式$V=π r^2h$（其中$r$为底面半径，$h$为水面下降高度），代入数值计算：
$3.14×20^2×4$
$=3.14×400×4$
$=1256×4$
$=5024(cm^3)$
【答案】
$5024cm^3$
【知识点】
1. 圆柱体积计算
2. 排水法求不规则物体体积
【点评】
本题考查排水法求不规则物体体积的应用，核心是将不规则石块的体积转化为规则圆柱的体积，体现了转化的数学思想，解题关键是熟练掌握圆柱体积公式。
【难度系数】
0.8
要计算石块的体积，我们可以利用“排水法”的原理：当石块完全浸没在水中时，它占据的空间会使水面上升，拿出石块后，水面下降部分的水的体积就等于石块的体积。而下降部分的水形成一个圆柱体，所以我们只需要计算这个圆柱的体积即可。首先需要求出圆柱形容器的底面半径，再根据圆柱体积公式（体积=底面积×高），用底面积乘水面下降的高度就能得到石块体积。
【解析】
1. 计算圆柱形容器的底面半径：
已知底面直径为40厘米，根据半径与直径的关系，可得半径为：$40÷2=20(cm)$。
2. 计算下降部分水的体积（即石块体积）：
根据圆柱体积公式$V=π r^2h$（其中$r$为底面半径，$h$为水面下降高度），代入数值计算：
$3.14×20^2×4$
$=3.14×400×4$
$=1256×4$
$=5024(cm^3)$
【答案】
$5024cm^3$
【知识点】
1. 圆柱体积计算
2. 排水法求不规则物体体积
【点评】
本题考查排水法求不规则物体体积的应用，核心是将不规则石块的体积转化为规则圆柱的体积，体现了转化的数学思想，解题关键是熟练掌握圆柱体积公式。
【难度系数】
0.8
4. 如下图，一个酒瓶里面深30厘米，底面内直径是10厘米，瓶里酒深15厘米，将酒瓶塞塞紧后，使其瓶口向下倒立，这时酒深25厘米，酒瓶的容积是多少？
答案
4. $(30-25+15)× (10÷ 2)^{2}× 3.14=1570(cm^{3})$
解析
【分析】
要计算酒瓶的容积，我们可以通过转化思想，将不规则的酒瓶容积转化为规则圆柱的体积来求解。酒瓶的容积等于正放时酒的体积加上倒立后空着部分的体积：
1. 正放时，酒是底面直径10厘米、高15厘米的圆柱，体积可通过圆柱体积公式计算；
2. 倒立后，空着的部分是底面直径10厘米、高为$(30-25)$厘米的圆柱；
3. 两者的底面积相同，因此总容积相当于底面积不变，高度为$(15+30-25)$厘米的圆柱的体积，这样就能简化计算。
【解析】
1. 计算酒瓶底面半径：$10÷2=5$（厘米）
2. 计算等效圆柱的高度：$30-25+15=20$（厘米）
3. 根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入数据计算：
$V=3.14×5^2×20$
$=3.14×25×20$
$=1570$（立方厘米）
【答案】
$1570cm^3$（或1570立方厘米）
【知识点】
圆柱体积计算，不规则容器容积转化
【点评】
本题考查圆柱体积公式的灵活运用，核心是利用转化思想，将不规则容器的容积转化为规则圆柱的体积计算，需要准确分析正放、倒放时各部分的高度关系，培养空间想象与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
要计算酒瓶的容积，我们可以通过转化思想，将不规则的酒瓶容积转化为规则圆柱的体积来求解。酒瓶的容积等于正放时酒的体积加上倒立后空着部分的体积：
1. 正放时，酒是底面直径10厘米、高15厘米的圆柱，体积可通过圆柱体积公式计算；
2. 倒立后，空着的部分是底面直径10厘米、高为$(30-25)$厘米的圆柱；
3. 两者的底面积相同，因此总容积相当于底面积不变，高度为$(15+30-25)$厘米的圆柱的体积，这样就能简化计算。
【解析】
1. 计算酒瓶底面半径：$10÷2=5$（厘米）
2. 计算等效圆柱的高度：$30-25+15=20$（厘米）
3. 根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入数据计算：
$V=3.14×5^2×20$
$=3.14×25×20$
$=1570$（立方厘米）
【答案】
$1570cm^3$（或1570立方厘米）
【知识点】
圆柱体积计算，不规则容器容积转化
【点评】
本题考查圆柱体积公式的灵活运用，核心是利用转化思想，将不规则容器的容积转化为规则圆柱的体积计算，需要准确分析正放、倒放时各部分的高度关系，培养空间想象与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
5. 一个吊瓶中装有100毫升药液，每分钟输2.5毫升。下图是12分钟后吊瓶中药液的数据，请求出这个吊瓶的容积。
答案
5. $100-2.5× 12=70(mL)$ $70-(100-80)=50(mL)$ $100+50=150(mL)$
解析
【分析】
要计算吊瓶的容积，可按以下思路思考：
1. 先根据“输液总量=每分钟输液量×时间”，算出12分钟输出的药液体积；
2. 用初始药液量减去输出的药液量，得到输液12分钟后吊瓶内剩余的药液体积；
3. 结合吊瓶倒放后的刻度，推导吊瓶空的部分的体积：剩余药液量减去（100-80）毫升，得到原来空的部分的体积；
4. 最后用初始药液量加上原来空的部分的体积，即可得到吊瓶的总容积。
【解析】
1. 计算12分钟输出的药液体积：
$2.5×12=30(\mathrm{mL})$
2. 计算剩余药液体积：
$100-30=70(\mathrm{mL})$
3. 计算吊瓶空的部分的体积：
$70-(100-80)=70-20=50(\mathrm{mL})$
4. 计算吊瓶的总容积：
$100+50=150(\mathrm{mL})$
【答案】
$\boxed{150}$毫升
【知识点】
1. 小数乘法应用
2. 容积计算
【点评】
本题属于容积的实际应用问题，解题核心是结合输液量求出剩余药液，再利用吊瓶倒放的刻度信息推导空的部分体积，进而求出总容积，需要学生具备结合图形分析容器结构的能力，考验逻辑思维与实际应用能力。
【难度系数】
0.6
要计算吊瓶的容积，可按以下思路思考：
1. 先根据“输液总量=每分钟输液量×时间”，算出12分钟输出的药液体积；
2. 用初始药液量减去输出的药液量，得到输液12分钟后吊瓶内剩余的药液体积；
3. 结合吊瓶倒放后的刻度，推导吊瓶空的部分的体积：剩余药液量减去（100-80）毫升，得到原来空的部分的体积；
4. 最后用初始药液量加上原来空的部分的体积，即可得到吊瓶的总容积。
【解析】
1. 计算12分钟输出的药液体积：
$2.5×12=30(\mathrm{mL})$
2. 计算剩余药液体积：
$100-30=70(\mathrm{mL})$
3. 计算吊瓶空的部分的体积：
$70-(100-80)=70-20=50(\mathrm{mL})$
4. 计算吊瓶的总容积：
$100+50=150(\mathrm{mL})$
【答案】
$\boxed{150}$毫升
【知识点】
1. 小数乘法应用
2. 容积计算
【点评】
本题属于容积的实际应用问题，解题核心是结合输液量求出剩余药液，再利用吊瓶倒放的刻度信息推导空的部分体积，进而求出总容积，需要学生具备结合图形分析容器结构的能力，考验逻辑思维与实际应用能力。
【难度系数】
0.6
