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(1) $\frac{3}{4}=9÷( )\_\_\_\_\_$)=()______$)÷16=\frac{75}{( )$_________$$)}=()______$)\%=( )$_________$$)$折$=()______$)$(填成数)
答案
1. (1)12 12 100 75 七五 七成五
解析
【分析】
这道题主要考查分数、除法、百分数、折扣和成数之间的相互转换，解题思路如下：
1. 先利用分数与除法的关系（$\frac{a}{b}=a÷b$，$b≠0$）和分数的基本性质（分子分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变）来填写除法和分数相关的空；
2. 将分数转化为小数后再转化为百分数；
3. 最后根据百分数与折扣、成数的对应关系填写剩余空。
具体思考步骤：
对于$9÷( )$，$\frac{3}{4}$的分子3变为9是乘了3，根据分数基本性质，分母4也需乘3得到12，所以$9÷12$；
对于$( )÷16$，分母4变为16是乘了4，分子3乘4得12，所以$12÷16$；
对于$\frac{75}{( )}$，分子3变为75是乘了25，分母4乘25得100，所以是$\frac{75}{100}$；
把$\frac{3}{4}$化成小数是0.75，转化为百分数就是75%；
75%对应的折扣是七五折，对应的成数是七成五。
【解析】
1. 根据分数与除法的关系及分数基本性质：
$\frac{3}{4}=3÷4$，分子$3×3=9$，分母$4×3=12$，因此$\frac{3}{4}=9÷12$；
分母$4×4=16$，分子$3×4=12$，因此$\frac{3}{4}=12÷16$；
分子$3×25=75$，分母$4×25=100$，因此$\frac{3}{4}=\frac{75}{100}$；
2. 分数转百分数：$\frac{3}{4}=3÷4=0.75=75\%$；
3. 百分数与折扣、成数转换：75%对应七五折，也对应七成五。
【答案】
12；12；100；75；七五；七成五
【知识点】
分数与除法的关系；分数的基本性质；百分数、折扣和成数转换
【点评】
本题综合考查了数的多种表现形式之间的转换，涵盖了分数、除法、百分数、折扣和成数的核心联系，属于基础巩固题型，能帮助学生梳理数的不同表达体系的逻辑。
【难度系数】
0.8
这道题主要考查分数、除法、百分数、折扣和成数之间的相互转换，解题思路如下：
1. 先利用分数与除法的关系（$\frac{a}{b}=a÷b$，$b≠0$）和分数的基本性质（分子分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变）来填写除法和分数相关的空；
2. 将分数转化为小数后再转化为百分数；
3. 最后根据百分数与折扣、成数的对应关系填写剩余空。
具体思考步骤：
对于$9÷( )$，$\frac{3}{4}$的分子3变为9是乘了3，根据分数基本性质，分母4也需乘3得到12，所以$9÷12$；
对于$( )÷16$，分母4变为16是乘了4，分子3乘4得12，所以$12÷16$；
对于$\frac{75}{( )}$，分子3变为75是乘了25，分母4乘25得100，所以是$\frac{75}{100}$；
把$\frac{3}{4}$化成小数是0.75，转化为百分数就是75%；
75%对应的折扣是七五折，对应的成数是七成五。
【解析】
1. 根据分数与除法的关系及分数基本性质：
$\frac{3}{4}=3÷4$，分子$3×3=9$，分母$4×3=12$，因此$\frac{3}{4}=9÷12$；
分母$4×4=16$，分子$3×4=12$，因此$\frac{3}{4}=12÷16$；
分子$3×25=75$，分母$4×25=100$，因此$\frac{3}{4}=\frac{75}{100}$；
2. 分数转百分数：$\frac{3}{4}=3÷4=0.75=75\%$；
3. 百分数与折扣、成数转换：75%对应七五折，也对应七成五。
【答案】
12；12；100；75；七五；七成五
【知识点】
分数与除法的关系；分数的基本性质；百分数、折扣和成数转换
【点评】
本题综合考查了数的多种表现形式之间的转换，涵盖了分数、除法、百分数、折扣和成数的核心联系，属于基础巩固题型，能帮助学生梳理数的不同表达体系的逻辑。
【难度系数】
0.8
(2)一种商品打八五折销售，八五折表示原价的()$)\%$；如果商品的原价为$200$元，现在便宜了()$)$元。
答案
1. (2)85 30
解析
【分析】
首先，要明确折扣的定义：几折就代表原价的百分之几十，所以八五折就是原价的85%。接着计算商品便宜的金额，有两种思路：一是先算出打折后的现价，再用原价减去现价得到便宜的钱数；二是先求出价格降低的百分比，再用原价乘以这个百分比直接得到便宜的金额。
【解析】
1. 理解折扣含义：根据折扣的定义，八五折表示原价的85%。
2. 计算便宜的金额：
方法一：先求现价，现价 = 原价×折扣比例 = 200×85% = 170（元），便宜的金额 = 原价 - 现价 = 200 - 170 = 30（元）。
方法二：先求价格降低的比例，1 - 85% = 15%，便宜的金额 = 原价×降低的比例 = 200×15% = 30（元）。
【答案】
85；30
【知识点】
折扣的含义；百分数的实际应用
【点评】
本题属于基础题型，考查折扣的基本概念和百分数的简单应用。解题核心是掌握折扣与百分数的对应关系，以及求商品优惠金额的两种方法，通过练习能巩固对折扣问题的理解和计算能力。
【难度系数】
0.9
首先，要明确折扣的定义：几折就代表原价的百分之几十，所以八五折就是原价的85%。接着计算商品便宜的金额，有两种思路：一是先算出打折后的现价，再用原价减去现价得到便宜的钱数；二是先求出价格降低的百分比，再用原价乘以这个百分比直接得到便宜的金额。
【解析】
1. 理解折扣含义：根据折扣的定义，八五折表示原价的85%。
2. 计算便宜的金额：
方法一：先求现价，现价 = 原价×折扣比例 = 200×85% = 170（元），便宜的金额 = 原价 - 现价 = 200 - 170 = 30（元）。
方法二：先求价格降低的比例，1 - 85% = 15%，便宜的金额 = 原价×降低的比例 = 200×15% = 30（元）。
【答案】
85；30
【知识点】
折扣的含义；百分数的实际应用
【点评】
本题属于基础题型，考查折扣的基本概念和百分数的简单应用。解题核心是掌握折扣与百分数的对应关系，以及求商品优惠金额的两种方法，通过练习能巩固对折扣问题的理解和计算能力。
【难度系数】
0.9
(3)在$1$，$2$，$3$，$9$，$24$，$41$，$51$中，奇数是()$)$，偶数是()$)$，质数是()$)$，合数是()$)$，()$)$是奇数但不是质数，()$)$是偶数但不是合数。
答案
1. (3)1,3,9,41,51 2,24 2,3,41 9,24,51 1 2
解析
【分析】
解题前需先明确各类数的定义：奇数是不能被2整除的整数，偶数是能被2整除的整数；质数是只有1和它本身两个正因数的自然数（1除外），合数是除了1和它本身还有其他正因数的自然数。解题时，我们可以逐个对题目中的数进行判断，先区分奇数和偶数，再在其中筛选出质数、合数，最后找出符合“奇数但不是质数”“偶数但不是合数”的特殊数。具体思考步骤：①先根据能否被2整除区分奇数和偶数；②再根据因数个数判断质数和合数，注意1既不是质数也不是合数，2是唯一的偶质数；③最后从奇数中排除质数，找到“奇数但不是质数”的数，从偶数中排除合数，找到“偶数但不是合数”的数。
【解析】
1. 判断奇数：分别用各数除以2，若有余数则为奇数。1÷2=0……1，3÷2=1……1，9÷2=4……1，41÷2=20……1，51÷2=25……1，所以奇数是1,3,9,41,51；
2. 判断偶数：能被2整除的数为偶数。2÷2=1，24÷2=12，所以偶数是2,24；
3. 判断质数：只有1和自身两个因数的数为质数。2的因数是1、2；3的因数是1、3；41的因数是1、41，所以质数是2,3,41；
4. 判断合数：除了1和自身还有其他因数的数为合数。9的因数是1、3、9；24的因数是1、2、3、4、6、8、12、24；51的因数是1、3、17、51，所以合数是9,24,51；
5. 找奇数但不是质数的数：在奇数中，1既不是质数也不是合数，符合条件的是1；
6. 找偶数但不是合数的数：在偶数中，2是唯一的偶质数，不是合数，符合条件的是2。
【答案】
奇数是(1,3,9,41,51)，偶数是(2,24)，质数是(2,3,41)，合数是(9,24,51)，(1)是奇数但不是质数，(2)是偶数但不是合数。
【知识点】
1. 奇数与偶数定义
2. 质数与合数定义
【点评】
本题重点考查奇数、偶数、质数、合数的概念辨析，需要准确把握各概念的核心特征，尤其要注意特殊数1（既非质数也非合数）和2（唯一的偶质数）的特殊性，避免因概念混淆而出错。
【难度系数】
0.7
解题前需先明确各类数的定义：奇数是不能被2整除的整数，偶数是能被2整除的整数；质数是只有1和它本身两个正因数的自然数（1除外），合数是除了1和它本身还有其他正因数的自然数。解题时，我们可以逐个对题目中的数进行判断，先区分奇数和偶数，再在其中筛选出质数、合数，最后找出符合“奇数但不是质数”“偶数但不是合数”的特殊数。具体思考步骤：①先根据能否被2整除区分奇数和偶数；②再根据因数个数判断质数和合数，注意1既不是质数也不是合数，2是唯一的偶质数；③最后从奇数中排除质数，找到“奇数但不是质数”的数，从偶数中排除合数，找到“偶数但不是合数”的数。
【解析】
1. 判断奇数：分别用各数除以2，若有余数则为奇数。1÷2=0……1，3÷2=1……1，9÷2=4……1，41÷2=20……1，51÷2=25……1，所以奇数是1,3,9,41,51；
2. 判断偶数：能被2整除的数为偶数。2÷2=1，24÷2=12，所以偶数是2,24；
3. 判断质数：只有1和自身两个因数的数为质数。2的因数是1、2；3的因数是1、3；41的因数是1、41，所以质数是2,3,41；
4. 判断合数：除了1和自身还有其他因数的数为合数。9的因数是1、3、9；24的因数是1、2、3、4、6、8、12、24；51的因数是1、3、17、51，所以合数是9,24,51；
5. 找奇数但不是质数的数：在奇数中，1既不是质数也不是合数，符合条件的是1；
6. 找偶数但不是合数的数：在偶数中，2是唯一的偶质数，不是合数，符合条件的是2。
【答案】
奇数是(1,3,9,41,51)，偶数是(2,24)，质数是(2,3,41)，合数是(9,24,51)，(1)是奇数但不是质数，(2)是偶数但不是合数。
【知识点】
1. 奇数与偶数定义
2. 质数与合数定义
【点评】
本题重点考查奇数、偶数、质数、合数的概念辨析，需要准确把握各概念的核心特征，尤其要注意特殊数1（既非质数也非合数）和2（唯一的偶质数）的特殊性，避免因概念混淆而出错。
【难度系数】
0.7
(4)既能被$2$整除，又有因数$3$，还是$5$的倍数的最小三位数是()$)$。
答案
1. (4)120
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先明确同时满足“被2整除、有因数3、是5的倍数”的数的特征，再结合“最小三位数”的要求逐步推导：
1. 先分析能被2和5整除的数的特征：能被2整除的数个位是偶数，能被5整除的数个位是0或5，因此同时满足这两个条件的数个位必须是0；
2. 再结合“有因数3”（即能被3整除）的特征：能被3整除的数各位数字之和是3的倍数；
3. 要找最小的三位数，百位应取最小的非0数字1，个位已确定是0，此时设十位数字为x，需满足1+x+0的和是3的倍数，x最小取2（因为1+2=3，是3的倍数），由此确定这个数是120。
【解析】
1. 明确同时是2、3、5的倍数的数的核心特征：个位必须为0，且各位数字之和是3的倍数；
2. 确定最小三位数的各位数字：
百位取最小的非0自然数1，个位固定为0；
计算百位与个位数字之和：1+0=1，要使各位数字之和是3的倍数，十位最小取2（1+2=3，3是3的倍数）；
3. 组合各位数字得到这个数：120。
【答案】
120
【知识点】
2、3、5的倍数特征
【点评】
本题考查对2、3、5倍数特征的综合运用，需要将多个数的倍数特征结合分析，同时结合“最小三位数”的限制条件逐步确定各位数字，既考查基础知识掌握情况，也锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要先明确同时满足“被2整除、有因数3、是5的倍数”的数的特征，再结合“最小三位数”的要求逐步推导：
1. 先分析能被2和5整除的数的特征：能被2整除的数个位是偶数，能被5整除的数个位是0或5，因此同时满足这两个条件的数个位必须是0；
2. 再结合“有因数3”（即能被3整除）的特征：能被3整除的数各位数字之和是3的倍数；
3. 要找最小的三位数，百位应取最小的非0数字1，个位已确定是0，此时设十位数字为x，需满足1+x+0的和是3的倍数，x最小取2（因为1+2=3，是3的倍数），由此确定这个数是120。
【解析】
1. 明确同时是2、3、5的倍数的数的核心特征：个位必须为0，且各位数字之和是3的倍数；
2. 确定最小三位数的各位数字：
百位取最小的非0自然数1，个位固定为0；
计算百位与个位数字之和：1+0=1，要使各位数字之和是3的倍数，十位最小取2（1+2=3，3是3的倍数）；
3. 组合各位数字得到这个数：120。
【答案】
120
【知识点】
2、3、5的倍数特征
【点评】
本题考查对2、3、5倍数特征的综合运用，需要将多个数的倍数特征结合分析，同时结合“最小三位数”的限制条件逐步确定各位数字，既考查基础知识掌握情况，也锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
2. 判断。(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任何自然数都有两个因数。()$)$
(2)$0$是正数。()$)$
(3)一根绳长$\frac{1}{2}m$，也可以说是$50\%m$。()$)$
(4)两个质数的积一定是合数。()$)$
(1)任何自然数都有两个因数。()$)$
(2)$0$是正数。()$)$
(3)一根绳长$\frac{1}{2}m$，也可以说是$50\%m$。()$)$
(4)两个质数的积一定是合数。()$)$
答案
2. (1)× (2)× (3)× (4)√
解析
【分析】
我们逐个分析每个判断题：
1. 第(1)题：首先明确自然数包含0和正整数，因数是能整除这个数的数。其中0没有因数，1的因数只有1本身，所以并不是任何自然数都有两个因数，该说法错误。
2. 第(2)题：根据正数的定义，正数是大于0的数，而0既不属于正数，也不属于负数，所以该说法错误。
3. 第(3)题：百分数的本质是表示两个数的比例关系，它不能带有单位名称，无法用来表示具体的数量，所以不能说“50%m”，该说法错误。
4. 第(4)题：质数是只有1和它本身两个因数的数，两个质数相乘得到的积，除了1和积本身这两个因数外，这两个质数也是它的因数，所以这个积的因数至少有3个，符合合数的定义，该说法正确。
【解析】
(1) 自然数包含0和正整数，0没有因数，1只有1个因数，因此“任何自然数都有两个因数”的说法错误，打“×”。
(2) 正数是大于0的数，0既不是正数也不是负数，所以该说法错误，打“×”。
(3) 百分数仅能表示两个数的比例关系，不能带单位表示具体长度，因此“50%m”的表述错误，打“×”。
(4) 设两个质数为a、b（a≠1，b≠1），它们的积c=a×b，c的因数有1、a、b、c，满足合数“除了1和本身还有其他因数”的定义，所以该说法正确，打“√”。
【答案】
(1)×；(2)×；(3)×；(4)√
【知识点】
自然数与因数、正负数定义、质数与合数
【点评】
本题考查数论和百分数的基础概念，涵盖自然数、因数、正负数、百分数、质数与合数的核心定义，需准确理解每个概念的内涵与边界，通过举反例或依据定义判断对错，侧重对基础概念辨析能力的考查。
【难度系数】
0.7
我们逐个分析每个判断题：
1. 第(1)题：首先明确自然数包含0和正整数，因数是能整除这个数的数。其中0没有因数，1的因数只有1本身，所以并不是任何自然数都有两个因数，该说法错误。
2. 第(2)题：根据正数的定义，正数是大于0的数，而0既不属于正数，也不属于负数，所以该说法错误。
3. 第(3)题：百分数的本质是表示两个数的比例关系，它不能带有单位名称，无法用来表示具体的数量，所以不能说“50%m”，该说法错误。
4. 第(4)题：质数是只有1和它本身两个因数的数，两个质数相乘得到的积，除了1和积本身这两个因数外，这两个质数也是它的因数，所以这个积的因数至少有3个，符合合数的定义，该说法正确。
【解析】
(1) 自然数包含0和正整数，0没有因数，1只有1个因数，因此“任何自然数都有两个因数”的说法错误，打“×”。
(2) 正数是大于0的数，0既不是正数也不是负数，所以该说法错误，打“×”。
(3) 百分数仅能表示两个数的比例关系，不能带单位表示具体长度，因此“50%m”的表述错误，打“×”。
(4) 设两个质数为a、b（a≠1，b≠1），它们的积c=a×b，c的因数有1、a、b、c，满足合数“除了1和本身还有其他因数”的定义，所以该说法正确，打“√”。
【答案】
(1)×；(2)×；(3)×；(4)√
【知识点】
自然数与因数、正负数定义、质数与合数
【点评】
本题考查数论和百分数的基础概念，涵盖自然数、因数、正负数、百分数、质数与合数的核心定义，需准确理解每个概念的内涵与边界，通过举反例或依据定义判断对错，侧重对基础概念辨析能力的考查。
【难度系数】
0.7
3. 按从大到小的顺序排列：$0.85$，$\frac{7}{8}$，$85.1\%$，$\frac{5}{6}$。
答案
3. $\frac{7}{8}＞85.1\%＞0.85＞\frac{5}{6}$
解析
【分析】
要比较不同形式的数的大小，首先需要将它们统一为同一种形式，这里选择统一化成小数会更直观方便。先分别把分数、百分数转化为小数，再按照小数大小比较的方法，从高位到低位依次比较，最后按从大到小的顺序排列原数。
【解析】
1. 将各数统一转化为小数：
$\frac{7}{8}=7÷8=0.875$
$85.1\%=0.851$
$\frac{5}{6}=5÷6\approx0.833$
2. 比较小数大小：
$0.875＞0.851＞0.85＞0.833$
3. 对应还原为原数并排序：
$\frac{7}{8}＞85.1\%＞0.85＞\frac{5}{6}$
【答案】
$\frac{7}{8}＞85.1\%＞0.85＞\frac{5}{6}$
【知识点】
小数、分数、百分数互化，小数大小比较
【点评】
本题考查不同形式数的大小比较，核心是通过统一形式（如转化为小数）消除形式差异，再进行比较。转化过程中要注意分数化成小数的准确性，尤其是无限循环小数的近似取值需合理。
【难度系数】
0.8
要比较不同形式的数的大小，首先需要将它们统一为同一种形式，这里选择统一化成小数会更直观方便。先分别把分数、百分数转化为小数，再按照小数大小比较的方法，从高位到低位依次比较，最后按从大到小的顺序排列原数。
【解析】
1. 将各数统一转化为小数：
$\frac{7}{8}=7÷8=0.875$
$85.1\%=0.851$
$\frac{5}{6}=5÷6\approx0.833$
2. 比较小数大小：
$0.875＞0.851＞0.85＞0.833$
3. 对应还原为原数并排序：
$\frac{7}{8}＞85.1\%＞0.85＞\frac{5}{6}$
【答案】
$\frac{7}{8}＞85.1\%＞0.85＞\frac{5}{6}$
【知识点】
小数、分数、百分数互化，小数大小比较
【点评】
本题考查不同形式数的大小比较，核心是通过统一形式（如转化为小数）消除形式差异，再进行比较。转化过程中要注意分数化成小数的准确性，尤其是无限循环小数的近似取值需合理。
【难度系数】
0.8
4. 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
(1)$24$和$30$ (2)$7$，$21$和$42$
(1)$24$和$30$ (2)$7$，$21$和$42$
答案
4. (1)$(24,30)=6$ $[24,30]=6×4×5=120$
(2)$(7,21,42)=7$ $[7,21,42]=42$
(2)$(7,21,42)=7$ $[7,21,42]=42$
解析
【分析】
对于求最大公因数和最小公倍数，我们可以根据数的特点选择合适的方法：
1. 针对24和30，可采用短除法或分解质因数法：先找出它们公有的质因数，公有的质因数相乘得到最大公因数；公有的质因数与各自独有的质因数相乘得到最小公倍数。
2. 针对7、21和42，观察发现这三个数存在倍数关系（42是21的倍数，21是7的倍数），根据倍数关系的数的性质：几个数成倍数关系时，最大公因数是其中最小的数，最小公倍数是其中最大的数。
【解析】
(1) 用短除法求解24和30：
① 先同时除以公有的质因数2，得到12和15；
② 再同时除以公有的质因数3，得到4和5，此时4和5互质，停止短除。
最大公因数为所有除数的乘积：$2×3=6$，即$(24,30)=6$；
最小公倍数为除数与最后的商的乘积：$2×3×4×5=120$，即$[24,30]=120$。
(2) 观察7、21和42的关系：
$21÷7=3$，$42÷21=2$，可知42是21和7的倍数，21是7的倍数。
根据倍数关系的数的性质，最大公因数是三个数中最小的数7，即$(7,21,42)=7$；
最小公倍数是三个数中最大的数42，即$[7,21,42]=42$。
【答案】
(1) $(24,30)=6$，$[24,30]=120$
(2) $(7,21,42)=7$，$[7,21,42]=42$
【知识点】
1. 最大公因数求法
2. 最小公倍数求法
3. 倍数关系数的特性
【点评】
本题主要考查最大公因数与最小公倍数的求解，通过短除法、利用倍数关系特性解题，既锻炼了对基本方法的掌握，也培养了根据数的特征选择简便方法的能力，属于基础题型，需熟练掌握相关技巧。
【难度系数】
0.8
对于求最大公因数和最小公倍数，我们可以根据数的特点选择合适的方法：
1. 针对24和30，可采用短除法或分解质因数法：先找出它们公有的质因数，公有的质因数相乘得到最大公因数；公有的质因数与各自独有的质因数相乘得到最小公倍数。
2. 针对7、21和42，观察发现这三个数存在倍数关系（42是21的倍数，21是7的倍数），根据倍数关系的数的性质：几个数成倍数关系时，最大公因数是其中最小的数，最小公倍数是其中最大的数。
【解析】
(1) 用短除法求解24和30：
① 先同时除以公有的质因数2，得到12和15；
② 再同时除以公有的质因数3，得到4和5，此时4和5互质，停止短除。
最大公因数为所有除数的乘积：$2×3=6$，即$(24,30)=6$；
最小公倍数为除数与最后的商的乘积：$2×3×4×5=120$，即$[24,30]=120$。
(2) 观察7、21和42的关系：
$21÷7=3$，$42÷21=2$，可知42是21和7的倍数，21是7的倍数。
根据倍数关系的数的性质，最大公因数是三个数中最小的数7，即$(7,21,42)=7$；
最小公倍数是三个数中最大的数42，即$[7,21,42]=42$。
【答案】
(1) $(24,30)=6$，$[24,30]=120$
(2) $(7,21,42)=7$，$[7,21,42]=42$
【知识点】
1. 最大公因数求法
2. 最小公倍数求法
3. 倍数关系数的特性
【点评】
本题主要考查最大公因数与最小公倍数的求解，通过短除法、利用倍数关系特性解题，既锻炼了对基本方法的掌握，也培养了根据数的特征选择简便方法的能力，属于基础题型，需熟练掌握相关技巧。
【难度系数】
0.8
5. 体育老师准备将长$60$米、宽$40$米的长方形场地分成几个相同的正方形区域(不能剩余)开展游戏活动，最少可以分成几个正方形区域？
答案
5. 分析:60和40的最大公因数是20,那么正方形的边长是20米。
正方形的个数:$(60÷20)×(40÷20)=6$(个)
正方形的个数:$(60÷20)×(40÷20)=6$(个)
解析
【分析】
要将长方形场地分成相同的正方形且无剩余，同时使正方形个数最少，关键是让正方形的边长尽可能大。因为只有正方形边长是长方形长和宽的公因数时，才能保证分割后无剩余，而最大的边长就是长和宽的最大公因数。找到最大边长后，分别计算长方形的长和宽各包含几个这样的边长，两者相乘就是最少的正方形个数。
【解析】
1. 求60和40的最大公因数：
列举60的因数：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；
列举40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40；
可知60和40的最大公因数是20，即正方形的边长为20米。
2. 计算正方形的个数：
长方形长方向可分的个数：$60÷20=3$（个）
长方形宽方向可分的个数：$40÷20=2$（个）
总个数：$3×2=6$（个）
【答案】
6个
【知识点】
最大公因数的应用、图形分割
【点评】
本题考查最大公因数在实际图形分割问题中的应用，核心是理解“最少正方形个数”对应“最大正方形边长”的逻辑关系，需要学生将数论知识与图形分割的实际问题相结合，提升运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
要将长方形场地分成相同的正方形且无剩余，同时使正方形个数最少，关键是让正方形的边长尽可能大。因为只有正方形边长是长方形长和宽的公因数时，才能保证分割后无剩余，而最大的边长就是长和宽的最大公因数。找到最大边长后，分别计算长方形的长和宽各包含几个这样的边长，两者相乘就是最少的正方形个数。
【解析】
1. 求60和40的最大公因数：
列举60的因数：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；
列举40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40；
可知60和40的最大公因数是20，即正方形的边长为20米。
2. 计算正方形的个数：
长方形长方向可分的个数：$60÷20=3$（个）
长方形宽方向可分的个数：$40÷20=2$（个）
总个数：$3×2=6$（个）
【答案】
6个
【知识点】
最大公因数的应用、图形分割
【点评】
本题考查最大公因数在实际图形分割问题中的应用，核心是理解“最少正方形个数”对应“最大正方形边长”的逻辑关系，需要学生将数论知识与图形分割的实际问题相结合，提升运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
6. 有$4$个小朋友，他们的年龄一个比一个大$1$岁，$4$个人的年龄的乘积是$360$。他们中年龄最大的是多少？
答案
6. 分析:把360分解质因数:
$360=2×2×2×3×3×5$
$=(2×2)×(2×3)×3×5=3×4×5×6$
$360=2×2×2×3×3×5$
$=(2×2)×(2×3)×3×5=3×4×5×6$
解析
【分析】
要解决这个问题，核心思路是利用“四个小朋友年龄为连续自然数（一个比一个大1岁）”的条件。已知4人年龄乘积为360，我们可以先将360分解质因数，再把分解得到的质因数重新组合成四个连续的自然数，进而找出年龄最大的数。具体思考：首先通过分解质因数把360拆分为质数相乘的形式，再观察质因数的特点，通过合理分组，将它们凑成四个依次相差1的自然数。
【解析】
1. 分解360的质因数：
$360 = 2×2×2×3×3×5$
2. 组合质因数为连续自然数：
对质因数进行分组重组，$2×2=4$，$2×3=6$，剩余质因数3和5直接作为两个数，因此：
$360 = 3×4×5×6$
3. 验证：3、4、5、6是依次相差1的连续自然数，符合题目中年龄的特征。
【答案】
6岁
【知识点】
分解质因数、连续自然数特征
【点评】
本题考查分解质因数的实际应用，需要学生熟练掌握质因数分解方法，并能根据连续自然数的特点对质因数进行合理组合，培养整数拆分和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，核心思路是利用“四个小朋友年龄为连续自然数（一个比一个大1岁）”的条件。已知4人年龄乘积为360，我们可以先将360分解质因数，再把分解得到的质因数重新组合成四个连续的自然数，进而找出年龄最大的数。具体思考：首先通过分解质因数把360拆分为质数相乘的形式，再观察质因数的特点，通过合理分组，将它们凑成四个依次相差1的自然数。
【解析】
1. 分解360的质因数：
$360 = 2×2×2×3×3×5$
2. 组合质因数为连续自然数：
对质因数进行分组重组，$2×2=4$，$2×3=6$，剩余质因数3和5直接作为两个数，因此：
$360 = 3×4×5×6$
3. 验证：3、4、5、6是依次相差1的连续自然数，符合题目中年龄的特征。
【答案】
6岁
【知识点】
分解质因数、连续自然数特征
【点评】
本题考查分解质因数的实际应用，需要学生熟练掌握质因数分解方法，并能根据连续自然数的特点对质因数进行合理组合，培养整数拆分和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
