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9. 如图,学校A在小明家B北偏东$48^{\circ}$的方向上,点C表示超市所在的位置,∠ABC= $90^{\circ}$,则超市C在小明家B的( )
A. 北偏西$38^{\circ}$方向
B. 北偏西$42^{\circ}$方向
C. 南偏西$48^{\circ}$方向
D. 南偏东$40^{\circ}$方向
A. 北偏西$38^{\circ}$方向
B. 北偏西$42^{\circ}$方向
C. 南偏西$48^{\circ}$方向
D. 南偏东$40^{\circ}$方向
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确方向角的定义：“北偏东x度”指的是从正北方向向东偏转x度的方向。已知学校A在小明家B北偏东48°，所以正北方向与射线BA的夹角为48°。又因为∠ABC=90°，说明BA与BC垂直，因此正北方向与射线BC的夹角可以通过90°减去48°得到，再根据偏转方向判断超市C的位置即可。
【解析】
解：由方向角的定义可知，正北方向与射线BA的夹角为48°。
∵ ∠ABC=90°，
∴ 正北方向与射线BC的夹角为 $90° - 48° = 42°$，
又因为C在正北方向的西侧，
∴ 超市C在小明家B的北偏西42°方向。
【答案】
B
【知识点】
方向角，角的和差计算
【点评】
本题是方向角的基础应用题，解题的核心是理解方向角的表示规则，结合已知的垂直关系计算出对应夹角，即可快速判断位置。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确方向角的定义：“北偏东x度”指的是从正北方向向东偏转x度的方向。已知学校A在小明家B北偏东48°，所以正北方向与射线BA的夹角为48°。又因为∠ABC=90°，说明BA与BC垂直，因此正北方向与射线BC的夹角可以通过90°减去48°得到，再根据偏转方向判断超市C的位置即可。
【解析】
解：由方向角的定义可知，正北方向与射线BA的夹角为48°。
∵ ∠ABC=90°，
∴ 正北方向与射线BC的夹角为 $90° - 48° = 42°$，
又因为C在正北方向的西侧，
∴ 超市C在小明家B的北偏西42°方向。
【答案】
B
【知识点】
方向角，角的和差计算
【点评】
本题是方向角的基础应用题，解题的核心是理解方向角的表示规则，结合已知的垂直关系计算出对应夹角，即可快速判断位置。
【难度系数】
0.8
10. 如图所示,一艘客轮沿东北方向OC行驶,在海上O处发现灯塔A在北偏西$30^{\circ}$方向上,灯塔B在南偏东$60^{\circ}$方向上。
(1) 在图中画出射线OA,OB,OC；
(2) 求∠AOC与∠BOC的度数,你发现了什么？
(1) 在图中画出射线OA,OB,OC；
(2) 求∠AOC与∠BOC的度数,你发现了什么？
答案
解:
(1)如图所示.
(2)因为∠1=45°,所以∠4=90°-45°=45°.
所以∠AOC=30°+45°=75°.
因为∠3=60°,
所以∠5=90°-60°=30°.
所以∠BOC=∠5+∠1=30°+45°=75°.
发现:∠AOC=∠BOC.
解析
【分析】
解决本题分两部分梳理思路：
1. 画图部分：先明确方向角的定义，东北方向是北偏东45°，也就是正北与正东的角平分线方向；北偏西30°是从正北方向向西偏转30°的方向；南偏东60°是从正南方向向东偏转60°的方向，以O为端点沿对应方向画出三条射线即可。
2. 角度计算部分：先利用东北方向的特征得到OC与正北、正东的夹角均为45°，再结合A、B的方位角，通过角的和差关系分别计算∠AOC和∠BOC的度数，最后对比两个角的值得出结论。
【解析】
(1) 画图操作：
① 画OC：以O为端点，在正北和正东的夹角的平分线上画射线，即为东北方向的OC；
② 画OA：以O为端点，从正北方向向西偏转30°画射线，即为指向灯塔A的OA；
③ 画OB：以O为端点，从正南方向向东偏转60°画射线，即为指向灯塔B的OB。
(2) 角度计算：
因为OC为东北方向，所以OC与正东方向的夹角∠1=45°，则OC与正北方向的夹角∠4=90°-∠1=90°-45°=45°。
已知A在北偏西30°方向，即OA与正北方向夹角为30°，因此∠AOC=30°+∠4=30°+45°=75°。
已知B在南偏东60°方向，即OB与正南方向的夹角∠3=60°，则OB与正东方向的夹角∠5=90°-∠3=90°-60°=30°。
因此∠BOC=∠1+∠5=45°+30°=75°。
对比两个角度可得∠AOC和∠BOC度数相等。
【答案】
(1)如图所示.
(2)∠AOC=75°，∠BOC=75°，发现：∠AOC=∠BOC。
【知识点】
方向角的概念，角的和差运算，射线的画法
【点评】
本题结合实际航海方位场景考查方向角的应用，解题核心是准确理解方位角的定义，结合直角为90°的性质进行角的和差计算，能锻炼学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
解决本题分两部分梳理思路：
1. 画图部分：先明确方向角的定义，东北方向是北偏东45°，也就是正北与正东的角平分线方向；北偏西30°是从正北方向向西偏转30°的方向；南偏东60°是从正南方向向东偏转60°的方向，以O为端点沿对应方向画出三条射线即可。
2. 角度计算部分：先利用东北方向的特征得到OC与正北、正东的夹角均为45°，再结合A、B的方位角，通过角的和差关系分别计算∠AOC和∠BOC的度数，最后对比两个角的值得出结论。
【解析】
(1) 画图操作：
① 画OC：以O为端点，在正北和正东的夹角的平分线上画射线，即为东北方向的OC；
② 画OA：以O为端点，从正北方向向西偏转30°画射线，即为指向灯塔A的OA；
③ 画OB：以O为端点，从正南方向向东偏转60°画射线，即为指向灯塔B的OB。
(2) 角度计算：
因为OC为东北方向，所以OC与正东方向的夹角∠1=45°，则OC与正北方向的夹角∠4=90°-∠1=90°-45°=45°。
已知A在北偏西30°方向，即OA与正北方向夹角为30°，因此∠AOC=30°+∠4=30°+45°=75°。
已知B在南偏东60°方向，即OB与正南方向的夹角∠3=60°，则OB与正东方向的夹角∠5=90°-∠3=90°-60°=30°。
因此∠BOC=∠1+∠5=45°+30°=75°。
对比两个角度可得∠AOC和∠BOC度数相等。
【答案】
(1)如图所示.
(2)∠AOC=75°，∠BOC=75°，发现：∠AOC=∠BOC。
【知识点】
方向角的概念，角的和差运算，射线的画法
【点评】
本题结合实际航海方位场景考查方向角的应用，解题核心是准确理解方位角的定义，结合直角为90°的性质进行角的和差计算，能锻炼学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
11. (归纳与猜想)(1) 观察填空：图(1)中有______个角,图(2)中有______个角,图(3)中有______个角；
(2) 猜想：从同一个端点O出发的6条射线,一共可以组成多少个角？如图(n)所示,从同一个端点O出发的n条射线(最大夹角都小于$180^{\circ}$),一共可以组成多少个角？
图(1)
图(2)
图(3)
图(n)
(2) 猜想：从同一个端点O出发的6条射线,一共可以组成多少个角？如图(n)所示,从同一个端点O出发的n条射线(最大夹角都小于$180^{\circ}$),一共可以组成多少个角？
图(1)
图(2)
图(3)
图(n)
答案
解:
(1)3 6 10
(2)从同一个端点O出发的6条射线可以组成的角为5+4+3+2+1=15(个);
从同一个端点O出发的n条射线可以组成的角为(n-1)+(n-2)+…+3+2+1= $\frac{n(n-1)}{2}$(个).
(1)3 6 10
(2)从同一个端点O出发的6条射线可以组成的角为5+4+3+2+1=15(个);
从同一个端点O出发的n条射线可以组成的角为(n-1)+(n-2)+…+3+2+1= $\frac{n(n-1)}{2}$(个).
解析
【分析】
解题的核心是依据角的定义（有公共端点的两条射线组成角），采用不重复不遗漏的计数方法：先数每个图中射线的总条数，固定其中一条射线为角的一边，依次和它后面的其余射线组合形成角，累加所有组合数即可得到总角数；再通过前3个图的计数结果归纳规律，推广到6条射线、n条射线的情况，最后用连续整数求和公式化简得到n条射线时的通用表达式。
【解析】
(1) 图(1)共有3条射线：
以$OA_1$为边的角有2个，以$OA_2$为边且不重复计数的角有1个，总角数为$2+1=3$个；
图(2)共有4条射线：
总角数为$3+2+1=6$个；
图(3)共有5条射线：
总角数为$4+3+2+1=10$个。
(2) 从端点O出发6条射线时，总角数为从5开始依次递减到1的和：$5+4+3+2+1=15$个；
从端点O出发n条射线时，总角数为从$n-1$开始依次递减到1的和：
$(n-1)+(n-2)+\dots+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$个。
【答案】
(1) $\boxed{3}$，$\boxed{6}$，$\boxed{10}$；
(2) 6条射线一共可以组成$\boxed{15}$个角；n条射线一共可以组成$\boxed{\frac{n(n-1)}{2}}$个角。
【知识点】
角的计数，规律归纳，等差数列求和
【点评】
本题属于几何规律探究类基础题，重点考查有序计数的能力和从特殊到一般的归纳推理能力，掌握不重不漏的计数方法是解决这类问题的关键，该结论也是角的计数的常用公式。
【难度系数】
0.7
解题的核心是依据角的定义（有公共端点的两条射线组成角），采用不重复不遗漏的计数方法：先数每个图中射线的总条数，固定其中一条射线为角的一边，依次和它后面的其余射线组合形成角，累加所有组合数即可得到总角数；再通过前3个图的计数结果归纳规律，推广到6条射线、n条射线的情况，最后用连续整数求和公式化简得到n条射线时的通用表达式。
【解析】
(1) 图(1)共有3条射线：
以$OA_1$为边的角有2个，以$OA_2$为边且不重复计数的角有1个，总角数为$2+1=3$个；
图(2)共有4条射线：
总角数为$3+2+1=6$个；
图(3)共有5条射线：
总角数为$4+3+2+1=10$个。
(2) 从端点O出发6条射线时，总角数为从5开始依次递减到1的和：$5+4+3+2+1=15$个；
从端点O出发n条射线时，总角数为从$n-1$开始依次递减到1的和：
$(n-1)+(n-2)+\dots+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$个。
【答案】
(1) $\boxed{3}$，$\boxed{6}$，$\boxed{10}$；
(2) 6条射线一共可以组成$\boxed{15}$个角；n条射线一共可以组成$\boxed{\frac{n(n-1)}{2}}$个角。
【知识点】
角的计数，规律归纳，等差数列求和
【点评】
本题属于几何规律探究类基础题，重点考查有序计数的能力和从特殊到一般的归纳推理能力，掌握不重不漏的计数方法是解决这类问题的关键，该结论也是角的计数的常用公式。
【难度系数】
0.7
