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例 1 已知四边形 $ABCD$，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，下列条件能判定它是平行四边形的是()
A.$AB// CD$，$OB = OD$
B.$AB = CD$，$OA = OC$
C.$AB = BC$，$CD = DA$
D.$AB = CD$，$AD// BC$
【思路导析】根据平行四边形的判定判断即可.
【请你解答】.
A.$AB// CD$，$OB = OD$
B.$AB = CD$，$OA = OC$
C.$AB = BC$，$CD = DA$
D.$AB = CD$，$AD// BC$
【思路导析】根据平行四边形的判定判断即可.
【请你解答】.
答案
A
解析
选项A：∵AB//CD，∴∠ABO=∠CDO（两直线平行，内错角相等）。在△ABO和△CDO中，∠ABO=∠CDO，OB=OD，∠AOB=∠COD（对顶角相等），∴△ABO≌△CDO（ASA），∴AB=CD。∵AB//CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
选项B：AB=CD，OA=OC，无法证明△AOB≌△COD（SSA不能判定全等），不能得出OB=OD或其他平行四边形判定条件，故不能判定。
选项C：AB=BC，CD=DA是两组邻边相等，可能为筝形，不是平行四边形。
选项D：AB=CD，AD//BC，可能为等腰梯形，不是平行四边形。
选项B：AB=CD，OA=OC，无法证明△AOB≌△COD（SSA不能判定全等），不能得出OB=OD或其他平行四边形判定条件，故不能判定。
选项C：AB=BC，CD=DA是两组邻边相等，可能为筝形，不是平行四边形。
选项D：AB=CD，AD//BC，可能为等腰梯形，不是平行四边形。
例 2 如图，$□ ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 边的中点，连接 $AE$ 并延长与 $DC$ 的延长线交于点 $F$. 求证：四边形 $ABFC$ 是平行四边形.
【探究点拨】由平行四边形的性质得 $AB// CD$，$AB = CD$，再证 $△ ABE≌△ FCE$（$ASA$），即可得出结论.
【规范解答】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AB = CD$，$\therefore∠ ABE=∠ FCE$.
$\because E$ 是 $BC$ 边的中点，
$\therefore BE = CE$.
在 $△ ABE$ 和 $△ FCE$ 中，
$\begin{cases}∠ ABE=∠ FCE\\BE = CE\\∠ AEB=∠ FEC\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ FCE$（$ASA$），$\therefore AB = CF$.
又 $\because AB// CF$，
$\therefore$ 四边形 $ABFC$ 是平行四边形.
【探究点拨】由平行四边形的性质得 $AB// CD$，$AB = CD$，再证 $△ ABE≌△ FCE$（$ASA$），即可得出结论.
【规范解答】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AB = CD$，$\therefore∠ ABE=∠ FCE$.
$\because E$ 是 $BC$ 边的中点，
$\therefore BE = CE$.
在 $△ ABE$ 和 $△ FCE$ 中，
$\begin{cases}∠ ABE=∠ FCE\\BE = CE\\∠ AEB=∠ FEC\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ FCE$（$ASA$），$\therefore AB = CF$.
又 $\because AB// CF$，
$\therefore$ 四边形 $ABFC$ 是平行四边形.
答案
证明：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB // CD$，$AB = CD$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ FCE$，
$\because E$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore BE = CE$，
在 $△ ABE$ 和 $△ FCE$ 中
$\begin{cases}∠ ABE = ∠ FCE, \\BE = CE, \\∠ AEB = ∠ FEC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ FCE$（$ASA$），
$\therefore AB = CF$，
$\because AB // CF$，
$\therefore$ 四边形 $ABFC$ 是平行四边形。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB // CD$，$AB = CD$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ FCE$，
$\because E$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore BE = CE$，
在 $△ ABE$ 和 $△ FCE$ 中
$\begin{cases}∠ ABE = ∠ FCE, \\BE = CE, \\∠ AEB = ∠ FEC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ FCE$（$ASA$），
$\therefore AB = CF$，
$\because AB // CF$，
$\therefore$ 四边形 $ABFC$ 是平行四边形。
1. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 的中点，连接 $DE$ 并延长，交 $AB$ 的延长线于点 $F$，$AB = BF$，添加一个条件，使四边形 $ABCD$ 是平行四边形. 下列条件中正确的是()
A.$AD = BC$
B.$CD = BF$
C.$∠ F=∠ CDE$
D.$∠ A=∠ C$
A.$AD = BC$
B.$CD = BF$
C.$∠ F=∠ CDE$
D.$∠ A=∠ C$
答案
C
解析
∵E是BC中点，∴BE=EC。若添加条件∠F=∠CDE，在△DEC和△FEB中，∠CDE=∠F，∠DEC=∠FEB（对顶角相等），BE=EC，∴△DEC≌△FEB（AAS）。∴DC=BF。∵AB=BF，∴DC=AB。又∵∠F=∠CDE，∴DC//AF（内错角相等，两直线平行），即DC//AB。∴四边形ABCD一组对边平行且相等，是平行四边形。
2. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$F$ 是 $AD$ 的中点，延长 $BC$ 到点 $E$，使 $CE=\frac{1}{2}BC$，连接 $DE$，$CF$.
(1) 求证：四边形 $CEDF$ 是平行四边形；
(2) 若 $AB = 4$，$AD = 6$，$∠ B = 60^{\circ}$，求 $DE$ 的长.
(1) 求证：四边形 $CEDF$ 是平行四边形；
(2) 若 $AB = 4$，$AD = 6$，$∠ B = 60^{\circ}$，求 $DE$ 的长.
答案
(1) 见证明过程；(2) DE=√13。
解析
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵F是AD中点，∴FD=1/2AD。
∵CE=1/2BC，AD=BC，∴FD=CE。
∵AD//BC，∴FD//CE。
∴四边形CEDF是平行四边形。
(2) 解：
过C作CH⊥AD于H。
在□ABCD中，AB=CD=4，AD=6，∠D=∠B=60°。
在Rt△CDH中，CD=4，∠D=60°，
∴DH=CD·cos60°=4×1/2=2，
CH=CD·sin60°=4×√3/2=2√3。
∵F是AD中点，AD=6，∴FD=3。
∴FH=FD-DH=3-2=1。
在Rt△CFH中，CF²=CH²+FH²=(2√3)²+1²=12+1=13，
∴CF=√13。
∵四边形CEDF是平行四边形，∴DE=CF=√13。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵F是AD中点，∴FD=1/2AD。
∵CE=1/2BC，AD=BC，∴FD=CE。
∵AD//BC，∴FD//CE。
∴四边形CEDF是平行四边形。
(2) 解：
过C作CH⊥AD于H。
在□ABCD中，AB=CD=4，AD=6，∠D=∠B=60°。
在Rt△CDH中，CD=4，∠D=60°，
∴DH=CD·cos60°=4×1/2=2，
CH=CD·sin60°=4×√3/2=2√3。
∵F是AD中点，AD=6，∴FD=3。
∴FH=FD-DH=3-2=1。
在Rt△CFH中，CF²=CH²+FH²=(2√3)²+1²=12+1=13，
∴CF=√13。
∵四边形CEDF是平行四边形，∴DE=CF=√13。
