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8. 如图，$∠ DBC = 90^{\circ}$，四边形 $ABCD$ 是平行四边形吗？为什么？
答案
在Rt△DBC中，∠DBC=90°，由勾股定理得：$BD^2 + BC^2 = CD^2$。
已知$BD=4$，$BC=x-5$，$CD=x-3$，代入得：
$4^2 + (x-5)^2 = (x-3)^2$
$16 + x^2 -10x +25 = x^2 -6x +9$
$-4x = -32$
解得$x=8$。
则$AD=11-x=3$，$BC=x-5=3$，$AB=5$，$CD=x-3=5$。
∴$AD=BC$，$AB=CD$。
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴四边形$ABCD$是平行四边形。
结论：四边形$ABCD$是平行四边形。
已知$BD=4$，$BC=x-5$，$CD=x-3$，代入得：
$4^2 + (x-5)^2 = (x-3)^2$
$16 + x^2 -10x +25 = x^2 -6x +9$
$-4x = -32$
解得$x=8$。
则$AD=11-x=3$，$BC=x-5=3$，$AB=5$，$CD=x-3=5$。
∴$AD=BC$，$AB=CD$。
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴四边形$ABCD$是平行四边形。
结论：四边形$ABCD$是平行四边形。
9. 如图，在$□ ABCD$ 中，$E$，$F$ 是对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$。求证：$∠ EBF=∠ FDE$。
答案
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠BAE=∠DCF。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ ∠BAE=∠DCF,\\ AE=CF,\end{array} $
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，
∴∠BEF=∠DFE，
∴BE//DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴∠EBF=∠FDE。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠BAE=∠DCF。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ ∠BAE=∠DCF,\\ AE=CF,\end{array} $
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，
∴∠BEF=∠DFE，
∴BE//DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴∠EBF=∠FDE。
10. 如图，平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$E$，$F$ 在 $AC$ 上，$G$，$H$ 在 $BD$ 上，$AF = CE$，$BH = DG$。求证：四边形 $EGFH$ 是平行四边形。
答案
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OA=OC$，$OB=OD$（平行四边形对角线互相平分）。
∵$AF=CE$，
∴$AF-OA=CE-OC$，即$OF=OE$。
∵$BH=DG$，
∴$BH-OB=DG-OD$，即$OH=OG$。
∵$OF=OE$，$OH=OG$，
∴四边形$EGFH$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OA=OC$，$OB=OD$（平行四边形对角线互相平分）。
∵$AF=CE$，
∴$AF-OA=CE-OC$，即$OF=OE$。
∵$BH=DG$，
∴$BH-OB=DG-OD$，即$OH=OG$。
∵$OF=OE$，$OH=OG$，
∴四边形$EGFH$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
11. 如图，在$□ ABCD$ 中，过点 $B$ 作 $BM⊥ AC$ 于点 $E$，交 $CD$ 于点 $M$，过点 $D$ 作 $DN⊥ AC$ 于点 $F$，交 $AB$ 于点 $N$。
(1)求证：四边形 $BMDN$ 是平行四边形；
(2)已知 $AF = 12$，$EM = 5$，求 $AN$ 的长。
(1)求证：四边形 $BMDN$ 是平行四边形；
(2)已知 $AF = 12$，$EM = 5$，求 $AN$ 的长。
答案
(2) $13$
解析
(1) 证明：
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，即 $BN // DM$。
∵ $BM ⊥ AC$，$DN ⊥ AC$，
∴ $∠ DFA = ∠ BEC = 90°$，
∴ $DN // BM$。
∵ $BN // DM$ 且 $DN // BM$，
∴四边形 $BMDN$ 是平行四边形。
(2) 解：
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AD // BC$，
∴ $∠ DAF = ∠ BCE$。
∵ $DN ⊥ AC$，$BM ⊥ AC$，
∴ $∠ AFD = ∠ CEB = 90°$，
∴ $△ ADF ≌ △ CBE$（AAS），
∴ $AF = CE = 12$。
∵四边形 $BMDN$ 是平行四边形，
∴ $DN = BM$，$DF = BE$（全等三角形对应边相等），
∴ $DN - DF = BM - BE$，即 $FN = EM = 5$。
在 $\mathrm{Rt}△ AFN$ 中，$AF = 12$，$FN = 5$，
∴ $AN = \sqrt{AF^2 + FN^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$。
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，即 $BN // DM$。
∵ $BM ⊥ AC$，$DN ⊥ AC$，
∴ $∠ DFA = ∠ BEC = 90°$，
∴ $DN // BM$。
∵ $BN // DM$ 且 $DN // BM$，
∴四边形 $BMDN$ 是平行四边形。
(2) 解：
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AD // BC$，
∴ $∠ DAF = ∠ BCE$。
∵ $DN ⊥ AC$，$BM ⊥ AC$，
∴ $∠ AFD = ∠ CEB = 90°$，
∴ $△ ADF ≌ △ CBE$（AAS），
∴ $AF = CE = 12$。
∵四边形 $BMDN$ 是平行四边形，
∴ $DN = BM$，$DF = BE$（全等三角形对应边相等），
∴ $DN - DF = BM - BE$，即 $FN = EM = 5$。
在 $\mathrm{Rt}△ AFN$ 中，$AF = 12$，$FN = 5$，
∴ $AN = \sqrt{AF^2 + FN^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$。
12. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$BE$ 垂直平分 $AC$，连接 $DE$ 并延长，与 $BC$ 交于点 $F$，且 $BE// AD$，$BF = FC$。
(1)求证：四边形 $ABED$ 是平行四边形；
(2)若 $∠ ECF = 60^{\circ}$，$FC = 1$，求 $CD$ 的长。
(1)求证：四边形 $ABED$ 是平行四边形；
(2)若 $∠ ECF = 60^{\circ}$，$FC = 1$，求 $CD$ 的长。
答案
(2)√7
解析
(1)证明：∵BE垂直平分AC，∴AE=EC，BE⊥AC。
∵BF=FC，∴F是BC中点。
在△ABC中，E为AC中点，F为BC中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF//AB。
∵F在DE延长线上，∴DE//AB。
又∵BE//AD，∴四边形ABED是平行四边形。
(2)解：∵BE垂直平分AC，∴∠BEC=90°，AE=EC。
∵∠ECF=60°，FC=1，F为BC中点，∴BC=2FC=2。
在Rt△BEC中，∠BCE=60°，∴EC=BC·cos60°=2×1/2=1，BE=BC·sin60°=2×√3/2=√3。
∵四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE=√3。
∵BE//AD，BE⊥AC，∴AD⊥AC，∠DAC=90°。
∵AC=2EC=2×1=2，
在Rt△DAC中，CD=√(AD²+AC²)=√[(√3)²+2²]=√(3+4)=√7。
∵BF=FC，∴F是BC中点。
在△ABC中，E为AC中点，F为BC中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF//AB。
∵F在DE延长线上，∴DE//AB。
又∵BE//AD，∴四边形ABED是平行四边形。
(2)解：∵BE垂直平分AC，∴∠BEC=90°，AE=EC。
∵∠ECF=60°，FC=1，F为BC中点，∴BC=2FC=2。
在Rt△BEC中，∠BCE=60°，∴EC=BC·cos60°=2×1/2=1，BE=BC·sin60°=2×√3/2=√3。
∵四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE=√3。
∵BE//AD，BE⊥AC，∴AD⊥AC，∠DAC=90°。
∵AC=2EC=2×1=2，
在Rt△DAC中，CD=√(AD²+AC²)=√[(√3)²+2²]=√(3+4)=√7。
