1. 在五边形 $ ABCDE $ 中，$ ∠ A = ∠ E = 120^{\circ} $，$ ∠ B = 130^{\circ} $，$ ∠ C = 70^{\circ} $，则 $ ∠ D $ 的大小为()

A.$ 100^{\circ} $
B.$ 110^{\circ} $
C.$ 120^{\circ} $
D.$ 130^{\circ} $

A

五边形内角和为$(5-2)×180^{\circ}=540^{\circ}$，$∠D=540^{\circ}-∠A-∠B-∠C-∠E=540^{\circ}-120^{\circ}-130^{\circ}-70^{\circ}-120^{\circ}=100^{\circ}$

2. 若一个正多边形的内角和是其外角和的 $ 2 $ 倍，则这个正多边形的每个内角为.

（这里假设是填度数相关，按题目要求填数字答案形式）$120^{\circ}$（题目未给出选项，若选项有$120^{\circ}$对应的选项则选之）。

因为任何多边形的外角和都是$360^{\circ}$，设这个正多边形是正$n$边形，根据题意其内角和是外角和的$2$倍，则内角和为$360^{\circ}×2 = 720^{\circ}$。
根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$（$n≥ 3$且$n$为整数），可得$(n - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$，
解方程$(n - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$，$n - 2 = 720^{\circ}÷180^{\circ}=4$，解得$n = 6$。
正$n$边形每个内角的度数为$\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n}$，把$n = 6$代入可得每个内角为$\frac{(6 - 2)×180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$。

3. 如图，$ ∠ 1 $，$ ∠ 2 $，$ ∠ 3 $ 是五边形 $ ABCDE $ 的三个外角，边 $ AE $，$ CD $ 的延长线相交于点 $ F $，如果 $ ∠ F = α $，那么 $ ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 $ 的大小为()


A.$ 270^{\circ} - α $
B.$ 360^{\circ} - α $
C.$ 90^{\circ} + α $
D.$ 180^{\circ} + α $

D

在△FDE中，∠F=α，故∠FDE+∠FED=180°-α。
∵∠FDE=180°-∠D，∠FED=180°-∠E（邻补角定义），
∴(180°-∠D)+(180°-∠E)=180°-α，化简得∠D+∠E=180°+α。
五边形内角和为(5-2)×180°=540°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°，
∴∠A+∠B+∠C=540°-(∠D+∠E)=540°-(180°+α)=360°-α。
∠1、∠2、∠3为五边形三个外角，分别对应∠C、∠B、∠A的外角，
则∠1=180°-∠C，∠2=180°-∠B，∠3=180°-∠A，
∴∠1+∠2+∠3=540°-(∠A+∠B+∠C)=540°-(360°-α)=180°+α。

4. 已知一个多边形的内角和比外角和多 $ 900^{\circ} $，并且这个多边形各个内角的度数都相等.这个多边形的每个内角是多少度？

$140^{\circ}$

设这个多边形的边数为$n$。
多边形内角和公式为$(n-2)×180^{\circ}$，外角和为$360^{\circ}$。
由题意得：$(n-2)×180^{\circ}-360^{\circ}=900^{\circ}$
解方程：
$\begin{aligned}(n-2)×180^{\circ}&=900^{\circ}+360^{\circ}\\(n-2)×180^{\circ}&=1260^{\circ}\ -2&=7\ &=9\end{aligned}$
该多边形为九边形，内角和为$(9-2)×180^{\circ}=1260^{\circ}$。
每个内角的度数为$1260^{\circ}÷9=140^{\circ}$。

5. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，连接 $ BD $，点 $ E $ 在边 $ BC $ 上，点 $ F $ 在边 $ DC $ 上，且 $ ∠ 1 = ∠ 2 $.
（1）求证：$ EF // BD $.
（2）若 $ BD $ 平分 $ ∠ ABC $，$ ∠ A = 130^{\circ} $，$ ∠ C = 70^{\circ} $，求 $ ∠ CFE $ 的度数.

（1）
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ 1=∠ EBD$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ 2=∠ EBD$，
$\therefore EF// BD$（同位角相等，两直线平行）。
（2）
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ A+∠ ABC = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），
已知$∠ A = 130^{\circ}$，
则$∠ ABC=180^{\circ}-∠ A=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}$，
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC = 25^{\circ}$，
由（1）知$EF// BD$，
$\therefore ∠ FEC=∠ DBC = 25^{\circ}$（两直线平行，内错角相等），
已知$∠ C = 70^{\circ}$，
在$△ CEF$中，
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
$∠ CFE=180^{\circ}-∠ C - ∠ FEC=180^{\circ}-70^{\circ}-25^{\circ}=85^{\circ}$。
$∠ CFE$的度数为$85^{\circ}$。