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10. 某同学制作了一个“浮子”。他用质量为$2m$、高为$h$、横截面积为$2S$的质地均匀实心圆柱体,将其中间挖掉横截面积为$S$、高为$h$的圆柱体,做成“空心管”;然后用另一个不同材质、质地均匀的实心圆柱体将管的空心部分恰好填满,做成“浮子”,如图10-3-27甲所示。将“浮子”放入盛有足量水、底面积为$S_{0}$的圆柱形薄壁容器中,“浮子”刚好悬浮在水中,如图10-3-27乙所示。已知水的密度为$\rho_{0}$。
(1)该“浮子”的平均密度是多少?
(2)实验中,组成“浮子”的“空心管”和“填充柱体”在水中完全脱离,致使容器中水面高度发生了变化,待水面恢复稳定后,水对容器底部的压强变化了多少?
(1)该“浮子”的平均密度是多少?
(2)实验中,组成“浮子”的“空心管”和“填充柱体”在水中完全脱离,致使容器中水面高度发生了变化,待水面恢复稳定后,水对容器底部的压强变化了多少?
答案
10.(1)$\rho_{0}$；(2)若空心管漂浮，水对容器底压强变化了$\frac{(\rho_{0}Sh-m)g}{S_{0}}$；若“填充柱体”漂浮，水对容器底压强变化了$\frac{(m-\rho_{0}Sh)g}{S_{0}}$。 [解析](1)“浮子”悬浮在水中，所以$\rho_{浮子}=\rho_{水}=\rho_{0}$。(2)①若空心管漂浮，水面高度的变化为$\Delta h$。因为$F_{浮}=G$，所以$\rho_{0}g(Sh-\Delta hS_{0})=mg$，解得$\Delta h=\frac{\rho_{0}Sh-m}{\rho_{0}S_{0}}$。因此$\Delta p=\rho_{0}g\Delta h=\frac{(\rho_{0}Sh-m)g}{S_{0}}$。②若“填充柱体”漂浮，因为$\rho_{浮子}=\rho_{0}$，所以填充柱体的质量$m_{1}=2\rho_{0}Sh-m$。因为$F_{浮1}=G_{1}$，所以$\rho_{0}g(Sh-\Delta hS_{0})=m_{1}g=(2\rho_{0}Sh-m)g$，解得$\Delta h=\frac{m-\rho_{0}Sh}{\rho_{0}S_{0}}$。因此$\Delta p=\rho_{0}g\Delta h=\frac{(m-\rho_{0}Sh)g}{S_{0}}$。
解析
【分析】
(1) 要确定“浮子”的平均密度，可利用物体悬浮的规律：当物体悬浮在液体中时，物体的密度等于液体的密度，直接结合该规律即可得出结论。
(2) 空心管和填充柱体脱离后，存在两种情况：空心管漂浮（填充柱体下沉）或填充柱体漂浮（空心管下沉）。需分别对两种情况分析：先根据漂浮条件（浮力等于重力），结合阿基米德原理建立等式，求出水面高度的变化量，再利用液体压强公式计算水对容器底部的压强变化量。
【解析】
(1) 因为“浮子”刚好悬浮在水中，根据物体悬浮的条件：悬浮时物体的密度等于液体的密度，所以该“浮子”的平均密度$\rho_{浮子}=\rho_{水}=\rho_{0}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 若空心管漂浮，填充柱体下沉：
空心管的质量$m_{管}=m$（原实心圆柱体质量为$2m$，挖去的$Sh$部分质量为$\frac{2m}{2Sh}× Sh=m$，故空心管质量为$2m-m=m$）。
空心管漂浮时，浮力等于重力，即$F_{浮}=G_{管}$。设水面高度变化为$\Delta h$，此时空心管排开水的体积$V_{排}=Sh-\Delta hS_{0}$，根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{0}gV_{排}$，可得：
$\rho_{0}g(Sh-\Delta hS_{0})=mg$
解得$\Delta h=\frac{\rho_{0}Sh-m}{\rho_{0}S_{0}}$。
根据液体压强公式$\Delta p=\rho_{0}g\Delta h$，代入$\Delta h$得：
$\Delta p=\rho_{0}g×\frac{\rho_{0}Sh-m}{\rho_{0}S_{0}}=\frac{(\rho_{0}Sh-m)g}{S_{0}}$。
② 若填充柱体漂浮，空心管下沉：
浮子总质量$m_{总}=\rho_{0}V_{总}=\rho_{0}×2Sh$，则填充柱体的质量$m_{1}=m_{总}-m_{管}=2\rho_{0}Sh-m$。
填充柱体漂浮时，浮力等于重力，即$F_{浮1}=G_{1}$，同理排开水的体积$V_{排1}=Sh-\Delta hS_{0}$，可得：
$\rho_{0}g(Sh-\Delta hS_{0})=(2\rho_{0}Sh-m)g$
解得$\Delta h=\frac{m-\rho_{0}Sh}{\rho_{0}S_{0}}$。
根据液体压强公式$\Delta p=\rho_{0}g\Delta h$，代入得：
$\Delta p=\rho_{0}g×\frac{m-\rho_{0}Sh}{\rho_{0}S_{0}}=\frac{(m-\rho_{0}Sh)g}{S_{0}}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\rho_{0}}$；
(2) 若空心管漂浮，水对容器底压强变化了$\boldsymbol{\frac{(\rho_{0}Sh-m)g}{S_{0}}}$；若“填充柱体”漂浮，水对容器底压强变化了$\boldsymbol{\frac{(m-\rho_{0}Sh)g}{S_{0}}}$。
【知识点】
物体浮沉条件、液体压强计算、阿基米德原理
【点评】
本题是物体浮沉条件与液体压强的综合应用题，需要运用分类讨论思想分析两种脱离情况，解题时需准确把握整体与部分的受力关系，结合浮力、压强公式推导计算，对逻辑思维能力要求较高。
【难度系数】
0.4
(1) 要确定“浮子”的平均密度，可利用物体悬浮的规律：当物体悬浮在液体中时，物体的密度等于液体的密度，直接结合该规律即可得出结论。
(2) 空心管和填充柱体脱离后，存在两种情况：空心管漂浮（填充柱体下沉）或填充柱体漂浮（空心管下沉）。需分别对两种情况分析：先根据漂浮条件（浮力等于重力），结合阿基米德原理建立等式，求出水面高度的变化量，再利用液体压强公式计算水对容器底部的压强变化量。
【解析】
(1) 因为“浮子”刚好悬浮在水中，根据物体悬浮的条件：悬浮时物体的密度等于液体的密度，所以该“浮子”的平均密度$\rho_{浮子}=\rho_{水}=\rho_{0}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 若空心管漂浮，填充柱体下沉：
空心管的质量$m_{管}=m$（原实心圆柱体质量为$2m$，挖去的$Sh$部分质量为$\frac{2m}{2Sh}× Sh=m$，故空心管质量为$2m-m=m$）。
空心管漂浮时，浮力等于重力，即$F_{浮}=G_{管}$。设水面高度变化为$\Delta h$，此时空心管排开水的体积$V_{排}=Sh-\Delta hS_{0}$，根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{0}gV_{排}$，可得：
$\rho_{0}g(Sh-\Delta hS_{0})=mg$
解得$\Delta h=\frac{\rho_{0}Sh-m}{\rho_{0}S_{0}}$。
根据液体压强公式$\Delta p=\rho_{0}g\Delta h$，代入$\Delta h$得：
$\Delta p=\rho_{0}g×\frac{\rho_{0}Sh-m}{\rho_{0}S_{0}}=\frac{(\rho_{0}Sh-m)g}{S_{0}}$。
② 若填充柱体漂浮，空心管下沉：
浮子总质量$m_{总}=\rho_{0}V_{总}=\rho_{0}×2Sh$，则填充柱体的质量$m_{1}=m_{总}-m_{管}=2\rho_{0}Sh-m$。
填充柱体漂浮时，浮力等于重力，即$F_{浮1}=G_{1}$，同理排开水的体积$V_{排1}=Sh-\Delta hS_{0}$，可得：
$\rho_{0}g(Sh-\Delta hS_{0})=(2\rho_{0}Sh-m)g$
解得$\Delta h=\frac{m-\rho_{0}Sh}{\rho_{0}S_{0}}$。
根据液体压强公式$\Delta p=\rho_{0}g\Delta h$，代入得：
$\Delta p=\rho_{0}g×\frac{m-\rho_{0}Sh}{\rho_{0}S_{0}}=\frac{(m-\rho_{0}Sh)g}{S_{0}}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\rho_{0}}$；
(2) 若空心管漂浮，水对容器底压强变化了$\boldsymbol{\frac{(\rho_{0}Sh-m)g}{S_{0}}}$；若“填充柱体”漂浮，水对容器底压强变化了$\boldsymbol{\frac{(m-\rho_{0}Sh)g}{S_{0}}}$。
【知识点】
物体浮沉条件、液体压强计算、阿基米德原理
【点评】
本题是物体浮沉条件与液体压强的综合应用题，需要运用分类讨论思想分析两种脱离情况，解题时需准确把握整体与部分的受力关系，结合浮力、压强公式推导计算，对逻辑思维能力要求较高。
【难度系数】
0.4
