4. 阅读下面的材料,然后解答问题:
在一直线上依次排列n(n＞1)台机床,现要设置零件供应站P,使这n台机床到供应站P的距离总和最小. 要解决这个问题,先思考比较简单的情形:
(1)有n台机床时,点P应设置在何处?
(2)利用问题(1)的结论,求|x−1|+|x−2|+|x−3|+…+|x−617|的最小值.
在一直线上依次排列n(n＞1)台机床,现要设置零件供应站P,使这n台机床到供应站P的距离总和最小. 要解决这个问题,先思考比较简单的情形:
(1)有n台机床时,点P应设置在何处?
(2)利用问题(1)的结论,求|x−1|+|x−2|+|x−3|+…+|x−617|的最小值.
答案
解：(1) 当n为偶数时，P 应设在第$ \frac {n}{2} $台和$(\frac {n}{2} + 1)$台之间
即线段$P_{\frac n{2}}P_{\frac n{2}+1}$的任何地方，
当n为奇数时，P 应设在第$P_{\frac {n+1}2} $中台的位置
(2)根据绝对值的几何意义，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+···+|x-617|的最小值就是
在数轴上找出表示x的点，使它到表示数1、2、···、617的各点的距离之和最小
根据问题(1)的结论，当x=309时，原式的值最小，最小值是
|309-1|+|309-2|+|309-3|+···+|309-308|+0+|309-310|+|309-311|+···+|309-616|+|309-617|
=308+307+306+···+1+1+2+···+308
=308×309
=95172
即线段$P_{\frac n{2}}P_{\frac n{2}+1}$的任何地方，
当n为奇数时，P 应设在第$P_{\frac {n+1}2} $中台的位置
(2)根据绝对值的几何意义，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+···+|x-617|的最小值就是
在数轴上找出表示x的点，使它到表示数1、2、···、617的各点的距离之和最小
根据问题(1)的结论，当x=309时，原式的值最小，最小值是
|309-1|+|309-2|+|309-3|+···+|309-308|+0+|309-310|+|309-311|+···+|309-616|+|309-617|
=308+307+306+···+1+1+2+···+308
=308×309
=95172
