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如何等分平行四边形的面积
老师布置了一个探究任务：请画一条直线，把一个平行四边形分成面积相等的两部分. 某综合实践小组对这个任务进行了探究.
【操作发现】
小组的同学思考后，给出了以下方法：
如图①，过平行四边形一组对角顶点画直线，可以把 $ □ ABCD $ 分成面积相等的两部分；
如图②，过平行四边形一组对边的中点画直线，可以把 $ □ ABCD $ 分成面积相等的两部分.
小组的同学进一步观察、对比、分析，发现：平分平行四边形面积的直线都经过平行四边形对角线的交点.
【问题解决】
如图③，在 $ □ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，过点 $ O $ 任意作一条直线，分别交 $ AB $，$ CD $ 于点 $ E $，$ F $.
求证：$ S_{四边形ADFE} = S_{四边形BCFE} = \dfrac{1}{2}S_{□ ABCD} $.
【迁移应用】
一块空地如图④所示，$ AB // EF // CD $，$ AF // DE // BC $，现要用一条直线将其分成面积相等的两块空地，用来种植不同品种的花卉，请你画出两块空地的分界线，并说明理由.
老师布置了一个探究任务：请画一条直线，把一个平行四边形分成面积相等的两部分. 某综合实践小组对这个任务进行了探究.
【操作发现】
小组的同学思考后，给出了以下方法：
如图①，过平行四边形一组对角顶点画直线，可以把 $ □ ABCD $ 分成面积相等的两部分；
如图②，过平行四边形一组对边的中点画直线，可以把 $ □ ABCD $ 分成面积相等的两部分.
小组的同学进一步观察、对比、分析，发现：平分平行四边形面积的直线都经过平行四边形对角线的交点.
【问题解决】
如图③，在 $ □ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，过点 $ O $ 任意作一条直线，分别交 $ AB $，$ CD $ 于点 $ E $，$ F $.
求证：$ S_{四边形ADFE} = S_{四边形BCFE} = \dfrac{1}{2}S_{□ ABCD} $.
【迁移应用】
一块空地如图④所示，$ AB // EF // CD $，$ AF // DE // BC $，现要用一条直线将其分成面积相等的两块空地，用来种植不同品种的花卉，请你画出两块空地的分界线，并说明理由.
答案
[问题解决]证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB//DC,AD//BC,OA=OC,OB=OD,
所以∠EAO=∠FCO,∠EBO=∠FDO.
因为∠AOE=∠COF,∠BOE=∠DOF,∠AOD=∠COB,
所以△AOE≌△COF(ASA),
△BOE≌△DOF(ASA),
△AOD≌△COB(SAS),
所以S_{△AOE}=S_{△COF},S_{△BOE}=S_{△DOF},S_{△AOD}=S_{△COB}.
因为S_{四边形ADFE}=S_{△AOE}+S_{△AOD}+S_{△DOF},S_{四边形BCFE}=S_{△COF}+S_{△BOE}+S_{△COB}.S_{四边形ADFE}+S_{四边形BCFE}=S_{▱ABCD},
所以S_{四边形ADFE}=S_{四边形BCFE}=$\frac{1}{2}$S_{▱ABCD}.
[迁移应用]解:画法不唯一,举例如下:
如图,延长FE交BC于点H,连接AH,FB交于点O,连接EC,DH交于点O',作直线OO'分别交AB和DC于点M,N,直线MN即为所求.
理由如下:
因为AB//EF//CD,AF//DE//BC,
所以四边形ABHF,HCDE都是平行四边形.
根据[问题解决]中的结论即可得出S_{四边形AMGF}=S_{四边形BHGM},S_{四边形HCNG}=S_{四边形EDNG},
所以S_{四边形AMGF}+S_{四边形EDNG}=S_{四边形BHGM}+S_{四边形HCNG},
即直线MN可以将这块空地分成面积相等的两块空地.
解析
【解析】
问题解决证明：
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// DC$，$AD// BC$，$OA=OC$，$OB=OD$，进而可得$∠ EAO=∠ FCO$，$∠ EBO=∠ FDO$。
2. 因为$∠ AOE=∠ COF$，$∠ BOE=∠ DOF$，$∠ AOD=∠ COB$，所以$△ AOE≌△ COF$（ASA），$△ BOE≌△ DOF$（ASA），$△ AOD≌△ COB$（SAS）。
3. 根据全等三角形面积相等，得$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，$S_{△ BOE}=S_{△ DOF}$，$S_{△ AOD}=S_{△ COB}$。
4. 因为$S_{四边形ADFE}=S_{△ AOE}+S_{△ AOD}+S_{△ DOF}$，$S_{四边形BCFE}=S_{△ COF}+S_{△ BOE}+S_{△ COB}$，且$S_{四边形ADFE}+S_{四边形BCFE}=S_{□ ABCD}$，所以$S_{四边形ADFE}=S_{四边形BCFE}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$。
迁移应用解法：
画法：延长$FE$交$BC$于点$H$，连接$AH$，$FB$交于点$O$，连接$EC$，$DH$交于点$O'$，作直线$OO'$分别交$AB$和$DC$于点$M$，$N$，直线$MN$即为所求。
理由：因为$AB// EF// CD$，$AF// DE// BC$，所以四边形$ABHF$，$HCDE$都是平行四边形。根据问题解决的结论，过平行四边形对角线交点的直线平分其面积，可得$S_{四边形AMGF}=S_{四边形BHGM}$，$S_{四边形HCNG}=S_{四边形EDNG}$，因此$S_{四边形AMGF}+S_{四边形EDNG}=S_{四边形BHGM}+S_{四边形HCNG}$，即直线$MN$可将空地分成面积相等的两部分。
【答案】
问题解决：证明成立，$S_{四边形ADFE} = S_{四边形BCFE} = \dfrac{1}{2}S_{□ ABCD}$；
迁移应用：直线$MN$为所求分界线，画法及理由如上述。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、图形面积等分规律
【点评】
本题通过探究平行四边形面积等分问题，将几何证明与实际应用结合，考查了平行四边形及全等三角形的核心知识，既锻炼严谨的逻辑推理能力，又培养知识迁移应用的能力，体现了几何知识的实用性。
【难度系数】
0.6
问题解决证明：
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// DC$，$AD// BC$，$OA=OC$，$OB=OD$，进而可得$∠ EAO=∠ FCO$，$∠ EBO=∠ FDO$。
2. 因为$∠ AOE=∠ COF$，$∠ BOE=∠ DOF$，$∠ AOD=∠ COB$，所以$△ AOE≌△ COF$（ASA），$△ BOE≌△ DOF$（ASA），$△ AOD≌△ COB$（SAS）。
3. 根据全等三角形面积相等，得$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，$S_{△ BOE}=S_{△ DOF}$，$S_{△ AOD}=S_{△ COB}$。
4. 因为$S_{四边形ADFE}=S_{△ AOE}+S_{△ AOD}+S_{△ DOF}$，$S_{四边形BCFE}=S_{△ COF}+S_{△ BOE}+S_{△ COB}$，且$S_{四边形ADFE}+S_{四边形BCFE}=S_{□ ABCD}$，所以$S_{四边形ADFE}=S_{四边形BCFE}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$。
迁移应用解法：
画法：延长$FE$交$BC$于点$H$，连接$AH$，$FB$交于点$O$，连接$EC$，$DH$交于点$O'$，作直线$OO'$分别交$AB$和$DC$于点$M$，$N$，直线$MN$即为所求。
理由：因为$AB// EF// CD$，$AF// DE// BC$，所以四边形$ABHF$，$HCDE$都是平行四边形。根据问题解决的结论，过平行四边形对角线交点的直线平分其面积，可得$S_{四边形AMGF}=S_{四边形BHGM}$，$S_{四边形HCNG}=S_{四边形EDNG}$，因此$S_{四边形AMGF}+S_{四边形EDNG}=S_{四边形BHGM}+S_{四边形HCNG}$，即直线$MN$可将空地分成面积相等的两部分。
【答案】
问题解决：证明成立，$S_{四边形ADFE} = S_{四边形BCFE} = \dfrac{1}{2}S_{□ ABCD}$；
迁移应用：直线$MN$为所求分界线，画法及理由如上述。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、图形面积等分规律
【点评】
本题通过探究平行四边形面积等分问题，将几何证明与实际应用结合，考查了平行四边形及全等三角形的核心知识，既锻炼严谨的逻辑推理能力，又培养知识迁移应用的能力，体现了几何知识的实用性。
【难度系数】
0.6
1. 如图，已知 $ AB = CD $，增加下列条件可使四边形 $ ABCD $ 成为平行四边形的是(
A.$ AD = BC $
B.$ AC = BD $
C.$ OA = OC $
D.$ AD // BC $
A
)A.$ AD = BC $
B.$ AC = BD $
C.$ OA = OC $
D.$ AD // BC $
答案
1.A
解析
【解析】
根据平行四边形的判定定理分析各选项：
选项A：已知$AB=CD$，添加$AD=BC$，则四边形$ABCD$两组对边分别相等，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
选项B：对角线$AC=BD$，仅对角线相等不能判定四边形为平行四边形；
选项C：$OA=OC$，仅一组对角线的一半相等，结合$AB=CD$无法判定四边形为平行四边形；
选项D：$AD// BC$，一组对边平行另一组对边相等，该四边形可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形的判定，需熟练掌握平行四边形的各类判定定理，注意区分易混淆的判定条件，避免错误判断。
【难度系数】
0.8
根据平行四边形的判定定理分析各选项：
选项A：已知$AB=CD$，添加$AD=BC$，则四边形$ABCD$两组对边分别相等，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
选项B：对角线$AC=BD$，仅对角线相等不能判定四边形为平行四边形；
选项C：$OA=OC$，仅一组对角线的一半相等，结合$AB=CD$无法判定四边形为平行四边形；
选项D：$AD// BC$，一组对边平行另一组对边相等，该四边形可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形的判定，需熟练掌握平行四边形的各类判定定理，注意区分易混淆的判定条件，避免错误判断。
【难度系数】
0.8
2. 如图，将 $ △ ABC $ 沿着 $ AB $ 的方向平移得到 $ △ A'B'C' $，其中 $ A'C' $ 与 $ BC $ 相交于点 $ D $，连接 $ CC' $，则下列结论一定成立的是(
A.$ A'B = CC' $
B.$ ∠ A = ∠ B' $
C.$ B'C' = 2BD $
D.$ ∠ B' = ∠ BCC' $
D
)A.$ A'B = CC' $
B.$ ∠ A = ∠ B' $
C.$ B'C' = 2BD $
D.$ ∠ B' = ∠ BCC' $
答案
2.D
解析
【解析】
根据平移的性质，平移前后对应线段平行且相等，对应角相等，对应点的连线平行且相等，逐一分析选项：
选项A：由平移知$AA'=CC'$，$A'B=AB-AA'$，只有当$A'$为$AB$中点时$A'B=CC'$，该结论不一定成立；
选项B：$∠A$的对应角是$∠A'$，并非$∠B'$，故$∠A$与$∠B'$不一定相等，该结论不成立；
选项C：只有当$D$为$BC$中点时，$B'C'=2BD$，但$D$不一定是$BC$中点，该结论不一定成立；
选项D：由平移性质得$BC// B'C'$，$CC'// AB$，故$∠B'=∠ABC$，$∠ABC=∠BCC'$，因此$∠B'=∠BCC'$，该结论一定成立。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质
【点评】
本题考查平移的性质的应用，解题关键是熟练掌握平移前后图形的对应线段、对应角及对应点连线的关系，通过逐一分析选项判断结论是否成立。
【难度系数】
0.6
根据平移的性质，平移前后对应线段平行且相等，对应角相等，对应点的连线平行且相等，逐一分析选项：
选项A：由平移知$AA'=CC'$，$A'B=AB-AA'$，只有当$A'$为$AB$中点时$A'B=CC'$，该结论不一定成立；
选项B：$∠A$的对应角是$∠A'$，并非$∠B'$，故$∠A$与$∠B'$不一定相等，该结论不成立；
选项C：只有当$D$为$BC$中点时，$B'C'=2BD$，但$D$不一定是$BC$中点，该结论不一定成立；
选项D：由平移性质得$BC// B'C'$，$CC'// AB$，故$∠B'=∠ABC$，$∠ABC=∠BCC'$，因此$∠B'=∠BCC'$，该结论一定成立。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质
【点评】
本题考查平移的性质的应用，解题关键是熟练掌握平移前后图形的对应线段、对应角及对应点连线的关系，通过逐一分析选项判断结论是否成立。
【难度系数】
0.6
