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3. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AD = 5 $，$ BC = 14 $，$ AD // BC $，$ G $ 是 $ BC $ 的中点. 点 $ M $ 以 $ 1 $ 个单位长度每秒的速度从点 $ A $ 出发，沿 $ AD $ 向点 $ D $ 运动，同时点 $ N $ 以 $ 1 $ 个单位长度每秒的速度从点 $ G $ 出发，沿 $ GB $ 向点 $ B $ 运动. 当点 $ M $ 到达 $ D $ 时停止运动，点 $ N $ 也同时停止运动. 设运动时间为 $ t\ \mathrm{s} $，当四边形 $ MDGN $ 是平行四边形时，$ t $ 的值为(
A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
B
)A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
答案
3.B
解析
【解析】
因为 $AD// BC$，所以 $MD// GN$，要使四边形 $MDGN$ 是平行四边形，只需 $MD=GN$。
由题意得：$AM=t$，则 $MD=AD-AM=5-t$；
因为 $G$ 是 $BC$ 的中点，$BC=14$，所以 $BG=7$，又点 $N$ 速度为1单位/秒，运动时间为 $t$，故 $GN=t$。
令 $MD=GN$，即 $5-t=t$，
解得 $t=2.5$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定，一元一次方程应用
【点评】
本题考查平行四边形的判定与一元一次方程的结合，关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合动点运动路程建立方程求解。
【难度系数】
0.6
因为 $AD// BC$，所以 $MD// GN$，要使四边形 $MDGN$ 是平行四边形，只需 $MD=GN$。
由题意得：$AM=t$，则 $MD=AD-AM=5-t$；
因为 $G$ 是 $BC$ 的中点，$BC=14$，所以 $BG=7$，又点 $N$ 速度为1单位/秒，运动时间为 $t$，故 $GN=t$。
令 $MD=GN$，即 $5-t=t$，
解得 $t=2.5$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定，一元一次方程应用
【点评】
本题考查平行四边形的判定与一元一次方程的结合，关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合动点运动路程建立方程求解。
【难度系数】
0.6
4. 在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ A $，$ ∠ B $，$ ∠ C $ 的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是(
A.$ 82° $，$ 98° $，$ 82° $
B.$ 102° $，$ 88° $，$ 102° $
C.$ 82° $，$ 98° $，$ 98° $
D.$ 92° $，$ 78° $，$ 92° $
A
)A.$ 82° $，$ 98° $，$ 82° $
B.$ 102° $，$ 88° $，$ 102° $
C.$ 82° $，$ 98° $，$ 98° $
D.$ 92° $，$ 78° $，$ 92° $
答案
4.A
解析
【解析】
根据平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，结合四边形内角和为360°，对各选项分析如下：
选项A：已知∠A=82°，∠B=98°，∠C=82°，则∠D=360°-82°-98°-82°=98°，可得∠A=∠C，∠B=∠D，两组对角分别相等，能判定是平行四边形；
选项B：∠D=360°-102°-88°-102°=68°，∠B≠∠D，不满足两组对角分别相等，不能判定；
选项C：∠D=360°-82°-98°-98°=82°，∠A=∠D，∠B=∠C，不是两组对角分别相等，不能判定；
选项D：∠D=360°-92°-78°-92°=98°，∠B≠∠D，不满足两组对角分别相等，不能判定。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定、四边形内角和定理
【点评】
本题主要考查平行四边形的判定，解题关键是利用四边形内角和求出第四个角，再根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行判定，需熟练掌握平行四边形的判定定理。
【难度系数】
0.7
根据平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，结合四边形内角和为360°，对各选项分析如下：
选项A：已知∠A=82°，∠B=98°，∠C=82°，则∠D=360°-82°-98°-82°=98°，可得∠A=∠C，∠B=∠D，两组对角分别相等，能判定是平行四边形；
选项B：∠D=360°-102°-88°-102°=68°，∠B≠∠D，不满足两组对角分别相等，不能判定；
选项C：∠D=360°-82°-98°-98°=82°，∠A=∠D，∠B=∠C，不是两组对角分别相等，不能判定；
选项D：∠D=360°-92°-78°-92°=98°，∠B≠∠D，不满足两组对角分别相等，不能判定。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定、四边形内角和定理
【点评】
本题主要考查平行四边形的判定，解题关键是利用四边形内角和求出第四个角，再根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行判定，需熟练掌握平行四边形的判定定理。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ AB = AC = 8 $，$ E $，$ M $，$ F $ 分别是 $ AB $，$ BC $，$ AC $ 上的点，且 $ ME // AC $，$ MF // AB $，则四边形 $ MEAF $ 的周长是(
A.8
B.10
C.12
D.16
D
)A.8
B.10
C.12
D.16
答案
5.D
解析
【解析】
1. 因为 $ ME // AC $，$ MF // AB $，所以四边形 $ MEAF $ 是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得 $ AE = MF $，$ AF = ME $。
2. 因为 $ △ ABC $ 是等腰三角形，$ AB = AC $，所以 $ ∠ B = ∠ C $。
3. 由 $ ME // AC $，得 $ ∠ EMB = ∠ C $，故 $ ∠ B = ∠ EMB $，根据等角对等边，可得 $ BE = ME $；同理可得 $ MF = FC $。
4. 四边形 $ MEAF $ 的周长为 $ AE + ME + AF + MF $，将 $ ME = BE $，$ MF = FC $ 代入，得周长 $ = AE + BE + AF + FC = AB + AC $。
5. 已知 $ AB = AC = 8 $，因此周长为 $ 8 + 8 = 16 $。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题通过平行四边形的判定与性质，结合等腰三角形的等角对等边性质，将四边形的周长转化为等腰三角形两腰长度之和，巧妙实现线段的等量代换，是等腰三角形与平行四边形综合题的典型考法。
【难度系数】
0.7
1. 因为 $ ME // AC $，$ MF // AB $，所以四边形 $ MEAF $ 是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得 $ AE = MF $，$ AF = ME $。
2. 因为 $ △ ABC $ 是等腰三角形，$ AB = AC $，所以 $ ∠ B = ∠ C $。
3. 由 $ ME // AC $，得 $ ∠ EMB = ∠ C $，故 $ ∠ B = ∠ EMB $，根据等角对等边，可得 $ BE = ME $；同理可得 $ MF = FC $。
4. 四边形 $ MEAF $ 的周长为 $ AE + ME + AF + MF $，将 $ ME = BE $，$ MF = FC $ 代入，得周长 $ = AE + BE + AF + FC = AB + AC $。
5. 已知 $ AB = AC = 8 $，因此周长为 $ 8 + 8 = 16 $。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题通过平行四边形的判定与性质，结合等腰三角形的等角对等边性质，将四边形的周长转化为等腰三角形两腰长度之和，巧妙实现线段的等量代换，是等腰三角形与平行四边形综合题的典型考法。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$ 3 × 3 $ 的方格纸中小正方形的边长为 $ 1 $，$ A $，$ B $ 两点在格点上，以线段 $ AB $ 为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有
5
个.答案
6.5
解析
【解析】
根据平行四边形对角线互相平分的性质，AB的中点为平行四边形另外两个顶点连线的中点。先确定AB的中点，再在3×3方格的格点中寻找关于该中点对称的点对，每一对对称点与A、B可构成一个以AB为对角线的平行四边形。通过枚举所有符合条件的格点对，可知这样的平行四边形最多有5个。
【答案】
5
【知识点】
平行四边形的性质、格点图形构造
【点评】
本题考查平行四边形性质的实际应用，需结合格点特征，通过寻找对称点对来确定平行四边形的个数，对图形分析能力和空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
根据平行四边形对角线互相平分的性质，AB的中点为平行四边形另外两个顶点连线的中点。先确定AB的中点，再在3×3方格的格点中寻找关于该中点对称的点对，每一对对称点与A、B可构成一个以AB为对角线的平行四边形。通过枚举所有符合条件的格点对，可知这样的平行四边形最多有5个。
【答案】
5
【知识点】
平行四边形的性质、格点图形构造
【点评】
本题考查平行四边形性质的实际应用，需结合格点特征，通过寻找对称点对来确定平行四边形的个数，对图形分析能力和空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
7. 在平面直角坐标系中，有四个点 $ O(0, 0) $，$ A(4, 0) $，$ B(1, 3) $，$ C(x, 3) $，若以 $ O $，$ A $，$ B $，$ C $ 为顶点的四边形是平行四边形，则 $ x $ 的值为
-3或5
.答案
7.-3或5
解析
【解析】
根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合点的坐标特征分情况讨论：
1. 当BC与OA为平行四边形的一组对边时：
OA的长度为4，B(1,3)，C(x,3)，BC的长度为$|x-1|$，由$BC=OA$得$|x-1|=4$，解得$x=5$或$x=-3$。
2. 经检验，$x=-3$时，四边形$OABC$为平行四边形；$x=5$时，四边形$OACB$为平行四边形，均符合题意。
综上，$x$的值为-3或5。
【答案】
-3或5
【知识点】
平行四边形的性质、平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题考查平行四边形性质的应用，需通过分类讨论确定平行四边形的不同构成情况，结合坐标计算线段长度，易因漏解导致错误，需注意全面分析。
【难度系数】
0.6
根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合点的坐标特征分情况讨论：
1. 当BC与OA为平行四边形的一组对边时：
OA的长度为4，B(1,3)，C(x,3)，BC的长度为$|x-1|$，由$BC=OA$得$|x-1|=4$，解得$x=5$或$x=-3$。
2. 经检验，$x=-3$时，四边形$OABC$为平行四边形；$x=5$时，四边形$OACB$为平行四边形，均符合题意。
综上，$x$的值为-3或5。
【答案】
-3或5
【知识点】
平行四边形的性质、平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题考查平行四边形性质的应用，需通过分类讨论确定平行四边形的不同构成情况，结合坐标计算线段长度，易因漏解导致错误，需注意全面分析。
【难度系数】
0.6
8. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 交于点 $ O $，$ AO = CO $，$ ∠ ABD = ∠ CDB $. 求证：四边形 $ ABCD $ 是平行四边形.
答案
8.证明:在△ABO与△CDO中,
{∠ABO=∠CDO,
∠AOB=∠COD,
AO=CO,
所以△ABO≌△CDO(AAS),
所以BO=DO.
因为AO=CO,
所以四边形ABCD是平行四边形.
{∠ABO=∠CDO,
∠AOB=∠COD,
AO=CO,
所以△ABO≌△CDO(AAS),
所以BO=DO.
因为AO=CO,
所以四边形ABCD是平行四边形.
解析
【解析】
在$△ ABO$与$△ CDO$中，
$\begin{cases}∠ ABO = ∠ CDO \\∠ AOB = ∠ COD \\AO = CO\end{cases}$
所以$△ ABO ≌ △ CDO$（AAS），
所以$BO = DO$。
因为$AO = CO$，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】
四边形$ABCD$是平行四边形
【知识点】
1. 全等三角形的判定（AAS）
2. 平行四边形的判定（对角线互相平分）
【点评】
本题综合考查了全等三角形的判定与平行四边形的判定定理，通过证明三角形全等得到对角线互相平分，进而完成平行四边形的证明，需熟练掌握相关定理的综合运用。
【难度系数】
0.7
在$△ ABO$与$△ CDO$中，
$\begin{cases}∠ ABO = ∠ CDO \\∠ AOB = ∠ COD \\AO = CO\end{cases}$
所以$△ ABO ≌ △ CDO$（AAS），
所以$BO = DO$。
因为$AO = CO$，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】
四边形$ABCD$是平行四边形
【知识点】
1. 全等三角形的判定（AAS）
2. 平行四边形的判定（对角线互相平分）
【点评】
本题综合考查了全等三角形的判定与平行四边形的判定定理，通过证明三角形全等得到对角线互相平分，进而完成平行四边形的证明，需熟练掌握相关定理的综合运用。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$ E $，$ F $ 是 $ □ ABCD $ 对角线 $ AC $ 上的两点，$ BE // DF $.
（1）求证：四边形 $ BEDF $ 是平行四边形.
（2）若 $ AC = 6\sqrt{3} $，$ BC = 8 $，$ ∠ ACB = 30° $，求 $ □ ABCD $ 的周长.
（1）求证：四边形 $ BEDF $ 是平行四边形.
（2）若 $ AC = 6\sqrt{3} $，$ BC = 8 $，$ ∠ ACB = 30° $，求 $ □ ABCD $ 的周长.
答案
9.(1)证明:在▱ABCD中,AD//BC,AD=BC,
所以∠ACB=∠CAD.
又因为BE//DF,
所以∠BEC=∠DFA.
在△BEC和△DFA中,
{∠BEC=∠DFA,
∠ECB=∠FAD,
BC=DA,
所以△BEC≌△DFA(AAS),
所以BE=DF.
又因为BE//DF,
所以四边形BEDF是平行四边形.
(2)解:▱ABCD的周长为16+4$\sqrt{7}$.
所以∠ACB=∠CAD.
又因为BE//DF,
所以∠BEC=∠DFA.
在△BEC和△DFA中,
{∠BEC=∠DFA,
∠ECB=∠FAD,
BC=DA,
所以△BEC≌△DFA(AAS),
所以BE=DF.
又因为BE//DF,
所以四边形BEDF是平行四边形.
(2)解:▱ABCD的周长为16+4$\sqrt{7}$.
解析
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC$，
∴ $∠ACB=∠CAD$。
∵ $BE// DF$，
∴ $∠BEC=∠DFA$。
在$△ BEC$和$△ DFA$中，
$\{\begin{array}{l}∠BEC=∠DFA\\∠ECB=∠FAD\\BC=DA\end{array} $
∴ $△ BEC≌△ DFA$（AAS），
∴ $BE=DF$。
又
∵ $BE// DF$，
∴ 四边形$BEDF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
（2）解：
过点$B$作$BH⊥ AC$于点$H$，
在$Rt△ BCH$中，$∠ACB=30°$，$BC=8$，
∴ $BH=\frac{1}{2}BC=4$，$CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
∵ $AC=6\sqrt{3}$，
∴ $AH=AC-CH=6\sqrt{3}-4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ ABH$中，$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+4^2}=2\sqrt{7}$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $□ ABCD$的周长$=2(AB+BC)=2(2\sqrt{7}+8)=16+4\sqrt{7}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{16+4\sqrt{7}}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题综合考查平行四边形的相关证明与计算，第一问通过全等三角形证明对边相等，结合平行关系判定平行四边形；第二问利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理求解边长，进而计算平行四边形周长，需熟练掌握相关几何定理，理清解题思路。
【难度系数】
0.6
（1）证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC$，
∴ $∠ACB=∠CAD$。
∵ $BE// DF$，
∴ $∠BEC=∠DFA$。
在$△ BEC$和$△ DFA$中，
$\{\begin{array}{l}∠BEC=∠DFA\\∠ECB=∠FAD\\BC=DA\end{array} $
∴ $△ BEC≌△ DFA$（AAS），
∴ $BE=DF$。
又
∵ $BE// DF$，
∴ 四边形$BEDF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
（2）解：
过点$B$作$BH⊥ AC$于点$H$，
在$Rt△ BCH$中，$∠ACB=30°$，$BC=8$，
∴ $BH=\frac{1}{2}BC=4$，$CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
∵ $AC=6\sqrt{3}$，
∴ $AH=AC-CH=6\sqrt{3}-4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ ABH$中，$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+4^2}=2\sqrt{7}$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $□ ABCD$的周长$=2(AB+BC)=2(2\sqrt{7}+8)=16+4\sqrt{7}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{16+4\sqrt{7}}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题综合考查平行四边形的相关证明与计算，第一问通过全等三角形证明对边相等，结合平行关系判定平行四边形；第二问利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理求解边长，进而计算平行四边形周长，需熟练掌握相关几何定理，理清解题思路。
【难度系数】
0.6
