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例 1 已知：$\overline{abc}$是一个三位数，$a + b + c$可以被 9 整除. 求证：这个三位数可以被 9 整除.
答案
证明：
设三位数$\overline{abc}$中，$a$为百位数字，$b$为十位数字，$c$为个位数字，且$a$为$1$到$9$的整数，$b$、$c$为$0$到$9$的整数。
则$\overline{abc}=100a + 10b + c$。
$\begin{aligned}100a + 10b + c&=99a + a + 9b + b + c\\&=9(11a + b) + (a + b + c)\end{aligned}$
因为$9(11a + b)$能被$9$整除，且$a + b + c$能被$9$整除，
所以$9(11a + b) + (a + b + c)$能被$9$整除，
即三位数$\overline{abc}$可以被$9$整除。
设三位数$\overline{abc}$中，$a$为百位数字，$b$为十位数字，$c$为个位数字，且$a$为$1$到$9$的整数，$b$、$c$为$0$到$9$的整数。
则$\overline{abc}=100a + 10b + c$。
$\begin{aligned}100a + 10b + c&=99a + a + 9b + b + c\\&=9(11a + b) + (a + b + c)\end{aligned}$
因为$9(11a + b)$能被$9$整除，且$a + b + c$能被$9$整除，
所以$9(11a + b) + (a + b + c)$能被$9$整除，
即三位数$\overline{abc}$可以被$9$整除。
解析
【分析】
要证明三位数$\overline{abc}$能被9整除，首先需明确三位数的代数表示方法，即$\overline{abc}=100a+10b+c$。接下来通过拆项变形，将该代数式转化为一个9的倍数与$a+b+c$的和，结合已知$a+b+c$能被9整除的条件，再利用“若两个数都能被9整除，它们的和也能被9整除”的整除性质，即可完成证明。具体思路为：把100a拆成99a+a，10b拆成9b+b，进而提取出9的倍数部分，再结合已知条件推导结论。
【解析】
证明：
设三位数$\overline{abc}$中，$a$为百位数字（$a$为1到9的整数），$b$为十位数字，$c$为个位数字（$b$、$c$为0到9的整数）。
则$\overline{abc}=100a + 10b + c$。
$\begin{aligned}100a + 10b + c&=99a + a + 9b + b + c\\&=9(11a + b) + (a + b + c)\end{aligned}$
因为$9(11a + b)$是9的倍数，能被9整除，且已知$a + b + c$可以被9整除，
根据整除的性质：若两个数都能被同一个数整除，那么它们的和也能被这个数整除，
所以$9(11a + b) + (a + b + c)$能被9整除，
即三位数$\overline{abc}$可以被9整除。
【答案】
该三位数$\overline{abc}$可以被9整除。
【知识点】
1. 三位数的代数表示
2. 整除的性质
3. 整式拆项变形
【点评】
本题借助位值原理将三位数转化为整式形式，通过拆项法分离出9的倍数部分，结合已知条件完成证明，清晰体现了代数变形在数论证明中的应用，帮助理解“各位数字之和能被9整除则数能被9整除”这一整除特征的本质。
【难度系数】
0.7
要证明三位数$\overline{abc}$能被9整除，首先需明确三位数的代数表示方法，即$\overline{abc}=100a+10b+c$。接下来通过拆项变形，将该代数式转化为一个9的倍数与$a+b+c$的和，结合已知$a+b+c$能被9整除的条件，再利用“若两个数都能被9整除，它们的和也能被9整除”的整除性质，即可完成证明。具体思路为：把100a拆成99a+a，10b拆成9b+b，进而提取出9的倍数部分，再结合已知条件推导结论。
【解析】
证明：
设三位数$\overline{abc}$中，$a$为百位数字（$a$为1到9的整数），$b$为十位数字，$c$为个位数字（$b$、$c$为0到9的整数）。
则$\overline{abc}=100a + 10b + c$。
$\begin{aligned}100a + 10b + c&=99a + a + 9b + b + c\\&=9(11a + b) + (a + b + c)\end{aligned}$
因为$9(11a + b)$是9的倍数，能被9整除，且已知$a + b + c$可以被9整除，
根据整除的性质：若两个数都能被同一个数整除，那么它们的和也能被这个数整除，
所以$9(11a + b) + (a + b + c)$能被9整除，
即三位数$\overline{abc}$可以被9整除。
【答案】
该三位数$\overline{abc}$可以被9整除。
【知识点】
1. 三位数的代数表示
2. 整除的性质
3. 整式拆项变形
【点评】
本题借助位值原理将三位数转化为整式形式，通过拆项法分离出9的倍数部分，结合已知条件完成证明，清晰体现了代数变形在数论证明中的应用，帮助理解“各位数字之和能被9整除则数能被9整除”这一整除特征的本质。
【难度系数】
0.7
例 2 用三种不同的方法求图 12 - 5 中五角星形$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E$的度数.
答案
方法一：
设BD与CE交于点F，AD与CE交于点G。
在△GCD中，∠AGF是外角，∴∠AGF=∠C+∠D（三角形外角等于不相邻两内角和）。
在△BEF中，∠AFG是外角，∴∠AFG=∠B+∠E（三角形外角等于不相邻两内角和）。
在△AFG中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°（三角形内角和定理）。
∴∠A+(∠B+∠E)+(∠C+∠D)=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
方法二：
连接CD，设BE与CD交于点O。
在△BOE和△COD中，∠BOE=∠COD（对顶角相等）。
∵∠B+∠E+∠BOE=180°，∠OCD+∠ODC+∠COD=180°（三角形内角和定理），
∴∠B+∠E=∠OCD+∠ODC。
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+(∠OCD+∠ODC)+∠C+∠D=∠A+∠ACD+∠ADC。
在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC=180°（三角形内角和定理），
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
方法三：
设BC与AD交于点F。
在△ABF中，∠AFB=180°-∠A-∠B（三角形内角和定理）。
在△CFD中，∠AFB是外角，∴∠AFB=∠C+∠D（三角形外角等于不相邻两内角和）。
∴180°-∠A-∠B=∠C+∠D，即∠A+∠B+∠C+∠D=180°-∠E。
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
结论：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
设BD与CE交于点F，AD与CE交于点G。
在△GCD中，∠AGF是外角，∴∠AGF=∠C+∠D（三角形外角等于不相邻两内角和）。
在△BEF中，∠AFG是外角，∴∠AFG=∠B+∠E（三角形外角等于不相邻两内角和）。
在△AFG中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°（三角形内角和定理）。
∴∠A+(∠B+∠E)+(∠C+∠D)=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
方法二：
连接CD，设BE与CD交于点O。
在△BOE和△COD中，∠BOE=∠COD（对顶角相等）。
∵∠B+∠E+∠BOE=180°，∠OCD+∠ODC+∠COD=180°（三角形内角和定理），
∴∠B+∠E=∠OCD+∠ODC。
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+(∠OCD+∠ODC)+∠C+∠D=∠A+∠ACD+∠ADC。
在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC=180°（三角形内角和定理），
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
方法三：
设BC与AD交于点F。
在△ABF中，∠AFB=180°-∠A-∠B（三角形内角和定理）。
在△CFD中，∠AFB是外角，∴∠AFB=∠C+∠D（三角形外角等于不相邻两内角和）。
∴180°-∠A-∠B=∠C+∠D，即∠A+∠B+∠C+∠D=180°-∠E。
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
结论：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
解析
【分析】
要计算五角星形中$∠A+∠B+∠C+∠D+∠E$的度数，核心思路是利用三角形外角的性质或三角形内角和定理，将分散的五个角转化到同一个三角形中，借助三角形内角和为$180°$来求解。可通过构造三角形外角把多个角的和转化为三角形内角，或通过连接线段进行角的等量代换，最终将五个角的和转化为一个三角形的内角和。
【解析】
方法一：
设$BD$与$CE$交于点$F$，$AD$与$CE$交于点$G$。
1. 在$△ GCD$中，$∠AGF$是$△ GCD$的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，可得：
$∠ AGF=∠ C+∠ D$。
2. 在$△ BEF$中，$∠AFG$是$△ BEF$的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，可得：
$∠ AFG=∠ B+∠ E$。
3. 在$△ AFG$中，根据三角形内角和定理，$∠ A+∠ AFG+∠ AGF=180°$。
4. 将$∠ AGF=∠ C+∠ D$，$∠ AFG=∠ B+∠ E$代入上式，得：
$∠ A+(∠ B+∠ E)+(∠ C+∠ D)=180°$，即$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=180°$。
方法二：
连接$CD$，设$BE$与$CD$交于点$O$。
1. 在$△ BOE$和$△ COD$中，$∠ BOE=∠ COD$（对顶角相等）。
2. 根据三角形内角和定理，在$△ BOE$中：$∠ B+∠ E+∠ BOE=180°$；在$△ COD$中：$∠ OCD+∠ ODC+∠ COD=180°$。
3. 由上述两式可得：$∠ B+∠ E=∠ OCD+∠ ODC$。
4. 则$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=∠ A+(∠ OCD+∠ ODC)+∠ C+∠ D=∠ A+∠ ACD+∠ ADC$。
5. 在$△ ACD$中，根据三角形内角和定理，$∠ A+∠ ACD+∠ ADC=180°$，因此：
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=180°$。
方法三：
设$BC$与$AD$交于点$F$。
1. 在$△ ABF$中，根据三角形内角和定理，$∠ AFB=180°-∠ A-∠ B$。
2. 在$△ CFD$中，$∠ AFB$是$△ CFD$的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，可得：
$∠ AFB=∠ C+∠ D$。
3. 联立上述两式，得：$180°-∠ A-∠ B=∠ C+∠ D$，即$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=180°-∠ E$。
4. 移项可得：$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=180°$。
【答案】
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E$的度数为$\boldsymbol{180°}$。
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题通过三种不同方法求解五角星形内角和，核心是利用三角形外角性质或内角和定理，将分散的角进行等量代换，转化为一个三角形的内角和问题。这类几何角度求和问题，关键在于利用几何定理进行角的转化，把未知角的和转化为已知的三角形内角和，培养了几何转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
要计算五角星形中$∠A+∠B+∠C+∠D+∠E$的度数，核心思路是利用三角形外角的性质或三角形内角和定理，将分散的五个角转化到同一个三角形中，借助三角形内角和为$180°$来求解。可通过构造三角形外角把多个角的和转化为三角形内角，或通过连接线段进行角的等量代换，最终将五个角的和转化为一个三角形的内角和。
【解析】
方法一：
设$BD$与$CE$交于点$F$，$AD$与$CE$交于点$G$。
1. 在$△ GCD$中，$∠AGF$是$△ GCD$的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，可得：
$∠ AGF=∠ C+∠ D$。
2. 在$△ BEF$中，$∠AFG$是$△ BEF$的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，可得：
$∠ AFG=∠ B+∠ E$。
3. 在$△ AFG$中，根据三角形内角和定理，$∠ A+∠ AFG+∠ AGF=180°$。
4. 将$∠ AGF=∠ C+∠ D$，$∠ AFG=∠ B+∠ E$代入上式，得：
$∠ A+(∠ B+∠ E)+(∠ C+∠ D)=180°$，即$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=180°$。
方法二：
连接$CD$，设$BE$与$CD$交于点$O$。
1. 在$△ BOE$和$△ COD$中，$∠ BOE=∠ COD$（对顶角相等）。
2. 根据三角形内角和定理，在$△ BOE$中：$∠ B+∠ E+∠ BOE=180°$；在$△ COD$中：$∠ OCD+∠ ODC+∠ COD=180°$。
3. 由上述两式可得：$∠ B+∠ E=∠ OCD+∠ ODC$。
4. 则$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=∠ A+(∠ OCD+∠ ODC)+∠ C+∠ D=∠ A+∠ ACD+∠ ADC$。
5. 在$△ ACD$中，根据三角形内角和定理，$∠ A+∠ ACD+∠ ADC=180°$，因此：
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=180°$。
方法三：
设$BC$与$AD$交于点$F$。
1. 在$△ ABF$中，根据三角形内角和定理，$∠ AFB=180°-∠ A-∠ B$。
2. 在$△ CFD$中，$∠ AFB$是$△ CFD$的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，可得：
$∠ AFB=∠ C+∠ D$。
3. 联立上述两式，得：$180°-∠ A-∠ B=∠ C+∠ D$，即$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=180°-∠ E$。
4. 移项可得：$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=180°$。
【答案】
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E$的度数为$\boldsymbol{180°}$。
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题通过三种不同方法求解五角星形内角和，核心是利用三角形外角性质或内角和定理，将分散的角进行等量代换，转化为一个三角形的内角和问题。这类几何角度求和问题，关键在于利用几何定理进行角的转化，把未知角的和转化为已知的三角形内角和，培养了几何转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
1. 选择题：
(1) 下列四个命题：
① 在同一平面内，已知直线$a$，$b$，$c$，如果$a$与$b$相交，$b$与$c$相交，那么$a$与$c$相交；
② 在同一平面内，已知直线$a$，$b$，$c$，如果$a$与$b$平行，$b$与$c$平行，那么$a$与$c$平行；
③ 在同一平面内，已知直线$a$，$b$，$c$，如果$a$与$b$垂直，$b$与$c$垂直，那么$a$与$c$垂直；
④ 在同一平面内，已知直线$a$，$b$，$c$，如果$a$与$b$平行，$b$与$c$相交，那么$a$与$c$相交.
其中，真命题有().
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
(2) 如图，$∠ 1=∠ 2=∠ 3=55^{\circ}$，则$∠ 4$的度数是().
A. $110^{\circ}$
B. $115^{\circ}$
C. $120^{\circ}$
D. $125^{\circ}$
(1) 下列四个命题：
① 在同一平面内，已知直线$a$，$b$，$c$，如果$a$与$b$相交，$b$与$c$相交，那么$a$与$c$相交；
② 在同一平面内，已知直线$a$，$b$，$c$，如果$a$与$b$平行，$b$与$c$平行，那么$a$与$c$平行；
③ 在同一平面内，已知直线$a$，$b$，$c$，如果$a$与$b$垂直，$b$与$c$垂直，那么$a$与$c$垂直；
④ 在同一平面内，已知直线$a$，$b$，$c$，如果$a$与$b$平行，$b$与$c$相交，那么$a$与$c$相交.
其中，真命题有().
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
(2) 如图，$∠ 1=∠ 2=∠ 3=55^{\circ}$，则$∠ 4$的度数是().
A. $110^{\circ}$
B. $115^{\circ}$
C. $120^{\circ}$
D. $125^{\circ}$
答案
(1) C
(2) D
(2) D
解析
(1) 对于命题①，$a$与$b$相交，$b$与$c$相交，并不能推出$a$与$c$相交，因为$a$和$c$可能平行，所以命题①是假命题。
对于命题②，根据平行线的传递性，如果$a$与$b$平行，$b$与$c$平行，那么$a$与$c$平行，所以命题②是真命题。
对于命题③，如果$a$与$b$垂直，$b$与$c$垂直，那么$a$与$c$平行，而不是垂直，所以命题③是假命题。
对于命题④，如果$a$与$b$平行，$b$与$c$相交，那么$a$与$c$必然相交，所以命题④是真命题。
综上，真命题有2个。
(2) 由于$∠1=∠2=∠3=55°$，根据平行线的性质，若两直线被第三条直线所截，且同位角相等，则两直线平行，所以，直线平行（假设为直线$l_1$和$l_2$，其中$l_1$在上方，$l_2$在下方，且都与包含$∠1,∠2,∠3$的直线相交）。
再根据平行线的另一性质，若两直线平行，则它们与第三条直线的同旁内角互补，即和为$180°$，由于$∠3$与$∠4$是同旁内角，所以$∠4=180°-∠3=180°-55°=125°$。
对于命题②，根据平行线的传递性，如果$a$与$b$平行，$b$与$c$平行，那么$a$与$c$平行，所以命题②是真命题。
对于命题③，如果$a$与$b$垂直，$b$与$c$垂直，那么$a$与$c$平行，而不是垂直，所以命题③是假命题。
对于命题④，如果$a$与$b$平行，$b$与$c$相交，那么$a$与$c$必然相交，所以命题④是真命题。
综上，真命题有2个。
(2) 由于$∠1=∠2=∠3=55°$，根据平行线的性质，若两直线被第三条直线所截，且同位角相等，则两直线平行，所以，直线平行（假设为直线$l_1$和$l_2$，其中$l_1$在上方，$l_2$在下方，且都与包含$∠1,∠2,∠3$的直线相交）。
再根据平行线的另一性质，若两直线平行，则它们与第三条直线的同旁内角互补，即和为$180°$，由于$∠3$与$∠4$是同旁内角，所以$∠4=180°-∠3=180°-55°=125°$。
2. 填空题：
(1) 命题“平行于同一直线的两直线平行”的条件是，结论是.
(2) 如图，$∠ 1=∠ 2=70^{\circ}$，$∠ 3=50^{\circ}$，则$∠ 4=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$.
(3) 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=36^{\circ}$，$∠ BAC$与$∠ BCA$的平分线相交于点$O$，则$∠ AOC=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$.
(4) 举反例说明下面的命题是假命题：“若$a$，$b$都是正数，且$c = ab$，则$c≥ a$.”你举的反例是：.
(5) 若一个多边形的内角和等于它的外角和的 3.5 倍，则这个多边形是边形.
(1) 命题“平行于同一直线的两直线平行”的条件是，结论是.
(2) 如图，$∠ 1=∠ 2=70^{\circ}$，$∠ 3=50^{\circ}$，则$∠ 4=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$.
(3) 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=36^{\circ}$，$∠ BAC$与$∠ BCA$的平分线相交于点$O$，则$∠ AOC=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$.
(4) 举反例说明下面的命题是假命题：“若$a$，$b$都是正数，且$c = ab$，则$c≥ a$.”你举的反例是：.
(5) 若一个多边形的内角和等于它的外角和的 3.5 倍，则这个多边形是边形.
答案
(1)两条直线平行于同一直线；这两条直线平行
(2)60
(3)108
(4)a=2，b=0.5，c=1（答案不唯一，只要b＜1即可）
(5)九
(2)60
(3)108
(4)a=2，b=0.5，c=1（答案不唯一，只要b＜1即可）
(5)九
解析
(1)命题可改写为“如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线平行”，故条件是“两条直线平行于同一直线”，结论是“这两条直线平行”。
(2)∵∠1=∠2=70°，∴两直线平行（同位角相等，两直线平行），∠3的内错角与∠4互补，∠3=50°，则∠4=180°-50°-70°=60°。
(3)在△ABC中，∠BAC+∠BCA=180°-∠B=144°，AO、CO为角平分线，∴∠OAC+∠OCA=72°，∠AOC=180°-72°=108°。
(4)取a=2，b=0.5，c=2×0.5=1，1＜2，满足a,b为正数且c=ab，但c＜a。
(5)多边形外角和为360°，内角和为3.5×360°=1260°，由(n-2)×180°=1260°，得n=9。
(2)∵∠1=∠2=70°，∴两直线平行（同位角相等，两直线平行），∠3的内错角与∠4互补，∠3=50°，则∠4=180°-50°-70°=60°。
(3)在△ABC中，∠BAC+∠BCA=180°-∠B=144°，AO、CO为角平分线，∴∠OAC+∠OCA=72°，∠AOC=180°-72°=108°。
(4)取a=2，b=0.5，c=2×0.5=1，1＜2，满足a,b为正数且c=ab，但c＜a。
(5)多边形外角和为360°，内角和为3.5×360°=1260°，由(n-2)×180°=1260°，得n=9。
