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3. 已知：如图，$AB$，$CD$相交于点$O$，$∠ 1=∠ A$，$∠ 2=∠ B$. 求证：$AC// BD$.
答案
证明：
∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2（对顶角相等）.
∵∠1=∠A，∠2=∠B（已知），
∴∠A=∠B（等量代换）.
∴AC//BD（内错角相等，两直线平行）.
∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2（对顶角相等）.
∵∠1=∠A，∠2=∠B（已知），
∴∠A=∠B（等量代换）.
∴AC//BD（内错角相等，两直线平行）.
解析
【分析】
要证明$AC// BD$，我们可以从平行线的判定定理入手，需要找到能判定两直线平行的角的关系。观察图形和已知条件，已知$∠1=∠A$，$∠2=∠B$，而$∠1$和$∠2$是对顶角，根据对顶角相等的性质可得到$∠1=∠2$，再通过等量代换就能推出$∠A=∠B$，$∠A$与$∠B$是内错角，利用“内错角相等，两直线平行”即可证明结论。
【解析】
证明：
∵$∠1$与$∠2$是对顶角，
∴$∠1=∠2$（对顶角相等）。
∵$∠1=∠A$，$∠2=∠B$（已知），
∴$∠A=∠B$（等量代换）。
∴$AC// BD$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
$AC// BD$得证。
【知识点】
对顶角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行
【点评】
本题是基础的几何证明题，主要考查对顶角的性质和平行线的判定定理，解题关键是通过对顶角相等和等量代换将已知角的关系转化为能判定平行线的内错角相等，培养学生的逻辑推理能力和对基本几何定理的运用能力。
【难度系数】
0.8
要证明$AC// BD$，我们可以从平行线的判定定理入手，需要找到能判定两直线平行的角的关系。观察图形和已知条件，已知$∠1=∠A$，$∠2=∠B$，而$∠1$和$∠2$是对顶角，根据对顶角相等的性质可得到$∠1=∠2$，再通过等量代换就能推出$∠A=∠B$，$∠A$与$∠B$是内错角，利用“内错角相等，两直线平行”即可证明结论。
【解析】
证明：
∵$∠1$与$∠2$是对顶角，
∴$∠1=∠2$（对顶角相等）。
∵$∠1=∠A$，$∠2=∠B$（已知），
∴$∠A=∠B$（等量代换）。
∴$AC// BD$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
$AC// BD$得证。
【知识点】
对顶角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行
【点评】
本题是基础的几何证明题，主要考查对顶角的性质和平行线的判定定理，解题关键是通过对顶角相等和等量代换将已知角的关系转化为能判定平行线的内错角相等，培养学生的逻辑推理能力和对基本几何定理的运用能力。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，$DE// BC$，$∠ ADE=50^{\circ}$，$∠ C=70^{\circ}$. 求$∠ A$的度数.
答案
因为$DE// BC$，所以$∠ ADE = ∠ B$（两直线平行，同位角相等）。
已知$∠ ADE = 50^{\circ}$，所以$∠ B = 50^{\circ}$。
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^{\circ}$（三角形内角和定理）。
已知$∠ B = 50^{\circ}$，$∠ C = 70^{\circ}$，所以$∠ A = 180^{\circ} - ∠ B - ∠ C = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 70^{\circ} = 60^{\circ}$。
答：$∠ A$的度数为$60^{\circ}$。
已知$∠ ADE = 50^{\circ}$，所以$∠ B = 50^{\circ}$。
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^{\circ}$（三角形内角和定理）。
已知$∠ B = 50^{\circ}$，$∠ C = 70^{\circ}$，所以$∠ A = 180^{\circ} - ∠ B - ∠ C = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 70^{\circ} = 60^{\circ}$。
答：$∠ A$的度数为$60^{\circ}$。
解析
【分析】
要计算∠A的度数，已知三角形内角和为180°，所以需要先求出∠B的度数。根据DE//BC的条件，利用平行线的同位角相等的性质，可由∠ADE的度数得到∠B的度数，最后代入三角形内角和公式即可算出∠A的度数。
【解析】
1. 因为$DE// BC$，所以$∠ADE = ∠B$（两直线平行，同位角相等）。
2. 已知$∠ADE = 50°$，所以$∠B = 50°$。
3. 在$△ABC$中，根据三角形内角和定理，$∠A + ∠B + ∠C = 180°$。
4. 已知$∠B = 50°$，$∠C = 70°$，则$∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 70° = 60°$。
答：$∠A$的度数为$60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查平行线的性质与三角形内角和定理的综合运用，属于基础几何题，解题关键是通过平行线的性质找到与已知角相关的角，再利用三角形内角和求解。
【难度系数】
0.8
要计算∠A的度数，已知三角形内角和为180°，所以需要先求出∠B的度数。根据DE//BC的条件，利用平行线的同位角相等的性质，可由∠ADE的度数得到∠B的度数，最后代入三角形内角和公式即可算出∠A的度数。
【解析】
1. 因为$DE// BC$，所以$∠ADE = ∠B$（两直线平行，同位角相等）。
2. 已知$∠ADE = 50°$，所以$∠B = 50°$。
3. 在$△ABC$中，根据三角形内角和定理，$∠A + ∠B + ∠C = 180°$。
4. 已知$∠B = 50°$，$∠C = 70°$，则$∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 70° = 60°$。
答：$∠A$的度数为$60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查平行线的性质与三角形内角和定理的综合运用，属于基础几何题，解题关键是通过平行线的性质找到与已知角相关的角，再利用三角形内角和求解。
【难度系数】
0.8
5. 命题“如果$a＞0$，$b＞0$，那么$ab＞0$”.
(1) 写出这个命题的逆命题.
(2) 这个逆命题是真命题吗？请证明.
(1) 写出这个命题的逆命题.
(2) 这个逆命题是真命题吗？请证明.
答案
(1) 逆命题：如果$ab ＞ 0$，那么$a ＞ 0$，$b ＞ 0$。
(2)逆命题是假命题。
证明：
考虑$ab ＞ 0$的情况，存在两种可能：$a$和$b$同为正数或同为负数。
例如，当$a = -1$，$b = -2$时，$ab = (-1) × (-2) = 2 ＞ 0$，但$a ＜ 0$，$b ＜ 0$，与逆命题中的“$a ＞ 0$，$b ＞ 0$”相矛盾。
因此，逆命题是假命题。
(2)逆命题是假命题。
证明：
考虑$ab ＞ 0$的情况，存在两种可能：$a$和$b$同为正数或同为负数。
例如，当$a = -1$，$b = -2$时，$ab = (-1) × (-2) = 2 ＞ 0$，但$a ＜ 0$，$b ＜ 0$，与逆命题中的“$a ＞ 0$，$b ＞ 0$”相矛盾。
因此，逆命题是假命题。
解析
【分析】
1. 对于第(1)问，首先要明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换位置，就能得到原命题的逆命题。原命题的题设是“$a＞0$，$b＞0$”，结论是“$ab＞0$”，互换后即可写出逆命题。
2. 对于第(2)问，判断逆命题的真假，若要证明是假命题，只需举出一个反例，即找到满足逆命题题设（$ab＞0$）但不满足结论（$a＞0$，$b＞0$）的情况。根据有理数乘法法则，两数相乘同号得正，所以除了两数都是正数，两数都是负数时乘积也大于0，据此举反例即可证明逆命题为假。
【解析】
(1) 原命题的题设是“$a＞0$，$b＞0$”，结论是“$ab＞0$”，将题设和结论互换，得到逆命题：如果$ab＞0$，那么$a＞0$，$b＞0$。
(2) 这个逆命题是假命题，证明如下：
根据有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，所以当$ab＞0$时，$a$和$b$的符号有两种情况：同为正数或同为负数。
例如，取$a=-1$，$b=-2$，此时$ab=(-1)×(-2)=2＞0$，但$a＜0$，$b＜0$，不满足“$a＞0$，$b＞0$”，因此该逆命题是假命题。
【答案】
(1) 逆命题：如果$ab＞0$，那么$a＞0$，$b＞0$。
(2) 逆命题是假命题，证明如上。
【知识点】
逆命题的定义、真假命题的判断、有理数乘法符号法则
【点评】
本题主要考查逆命题的书写以及真假命题的判断，解题关键是理解逆命题的定义，掌握判断假命题可通过举反例的方法，同时要熟悉有理数乘法中积的符号与因数符号的关系。
【难度系数】
0.8
1. 对于第(1)问，首先要明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换位置，就能得到原命题的逆命题。原命题的题设是“$a＞0$，$b＞0$”，结论是“$ab＞0$”，互换后即可写出逆命题。
2. 对于第(2)问，判断逆命题的真假，若要证明是假命题，只需举出一个反例，即找到满足逆命题题设（$ab＞0$）但不满足结论（$a＞0$，$b＞0$）的情况。根据有理数乘法法则，两数相乘同号得正，所以除了两数都是正数，两数都是负数时乘积也大于0，据此举反例即可证明逆命题为假。
【解析】
(1) 原命题的题设是“$a＞0$，$b＞0$”，结论是“$ab＞0$”，将题设和结论互换，得到逆命题：如果$ab＞0$，那么$a＞0$，$b＞0$。
(2) 这个逆命题是假命题，证明如下：
根据有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，所以当$ab＞0$时，$a$和$b$的符号有两种情况：同为正数或同为负数。
例如，取$a=-1$，$b=-2$，此时$ab=(-1)×(-2)=2＞0$，但$a＜0$，$b＜0$，不满足“$a＞0$，$b＞0$”，因此该逆命题是假命题。
【答案】
(1) 逆命题：如果$ab＞0$，那么$a＞0$，$b＞0$。
(2) 逆命题是假命题，证明如上。
【知识点】
逆命题的定义、真假命题的判断、有理数乘法符号法则
【点评】
本题主要考查逆命题的书写以及真假命题的判断，解题关键是理解逆命题的定义，掌握判断假命题可通过举反例的方法，同时要熟悉有理数乘法中积的符号与因数符号的关系。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ 1=∠ 2$.
(1) 请添加一个与直线$AC$有关的条件，由此可得出$BE$是$△ ABC$的外角平分线，并证明；
(2) 请添加一个与$∠ 1$有关的条件，使得可以由此推出$BE$是$△ ABC$的外角平分线，并证明.
(1) 请添加一个与直线$AC$有关的条件，由此可得出$BE$是$△ ABC$的外角平分线，并证明；
(2) 请添加一个与$∠ 1$有关的条件，使得可以由此推出$BE$是$△ ABC$的外角平分线，并证明.
答案
(1) 条件：BE//AC。
证明：∵BE//AC，∴∠EBC=∠2（两直线平行，同位角相等）。
∵∠1=∠2，∴∠1=∠EBC。
∵D、B、C共线，∠ABD是△ABC的外角，且∠ABD=∠ABE+∠EBC=∠1+∠EBC。
∵∠1=∠EBC，∴BE平分∠ABD，即BE是△ABC的外角平分线。
(2) 条件：∠1=∠DBE。
证明：∵D、B、C共线，∠ABD是△ABC的外角。
∵∠1=∠DBE，即∠ABE=∠DBE，∴BE平分∠ABD，即BE是△ABC的外角平分线。
证明：∵BE//AC，∴∠EBC=∠2（两直线平行，同位角相等）。
∵∠1=∠2，∴∠1=∠EBC。
∵D、B、C共线，∠ABD是△ABC的外角，且∠ABD=∠ABE+∠EBC=∠1+∠EBC。
∵∠1=∠EBC，∴BE平分∠ABD，即BE是△ABC的外角平分线。
(2) 条件：∠1=∠DBE。
证明：∵D、B、C共线，∠ABD是△ABC的外角。
∵∠1=∠DBE，即∠ABE=∠DBE，∴BE平分∠ABD，即BE是△ABC的外角平分线。
解析
【分析】
(1) 要证BE是△ABC的外角平分线，需证明BE平分△ABC的外角∠ABD（D、B、C共线），即∠ABE=∠DBE。已知∠1=∠2，考虑添加与AC相关的条件，若BE//AC，可利用平行线的同位角相等得到∠EBC=∠2，结合∠1=∠2进行等量代换，即可推出角平分线结论；
(2) 要推出BE是△ABC的外角平分线，同样需证∠ABE=∠DBE，已知∠1=∠2，添加与∠1有关的条件，如∠1=∠DBE，结合已知的∠1=∠2，可直接通过角的等量关系证明BE平分外角。
【解析】
(1) 添加条件：$\boldsymbol{BE// AC}$
证明：
$\because BE// AC$，
$\therefore ∠ EBC=∠ 2$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ 1=∠ EBC$。
$\because D$、$B$、$C$三点共线，$∠ ABD$是$△ ABC$的外角，且$∠ ABD=∠ ABE+∠ EBC$，
又$\because ∠ 1=∠ EBC$，
$\therefore ∠ ABE=∠ DBE$，
$\therefore BE$平分$∠ ABD$，即$BE$是$△ ABC$的外角平分线。
(2) 添加条件：$\boldsymbol{∠ 1=∠ DBE}$
证明：
$\because D$、$B$、$C$三点共线，$\therefore ∠ ABD$是$△ ABC$的外角。
$\because ∠ 1=∠ DBE$，且$∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ ABE=∠ DBE$，
$\therefore BE$平分$∠ ABD$，即$BE$是$△ ABC$的外角平分线。
【答案】
(1) 添加的条件为$\boldsymbol{BE// AC}$，证明见上述解析；
(2) 添加的条件为$\boldsymbol{∠ 1=∠ DBE}$，证明见上述解析。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的定义
【点评】
本题为开放性几何证明题，主要考查平行线的性质、角平分线的定义及三角形外角的相关知识，需要根据题目要求合理添加条件，通过角的等量代换完成证明，着重考查几何逻辑推理能力与图形分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证BE是△ABC的外角平分线，需证明BE平分△ABC的外角∠ABD（D、B、C共线），即∠ABE=∠DBE。已知∠1=∠2，考虑添加与AC相关的条件，若BE//AC，可利用平行线的同位角相等得到∠EBC=∠2，结合∠1=∠2进行等量代换，即可推出角平分线结论；
(2) 要推出BE是△ABC的外角平分线，同样需证∠ABE=∠DBE，已知∠1=∠2，添加与∠1有关的条件，如∠1=∠DBE，结合已知的∠1=∠2，可直接通过角的等量关系证明BE平分外角。
【解析】
(1) 添加条件：$\boldsymbol{BE// AC}$
证明：
$\because BE// AC$，
$\therefore ∠ EBC=∠ 2$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ 1=∠ EBC$。
$\because D$、$B$、$C$三点共线，$∠ ABD$是$△ ABC$的外角，且$∠ ABD=∠ ABE+∠ EBC$，
又$\because ∠ 1=∠ EBC$，
$\therefore ∠ ABE=∠ DBE$，
$\therefore BE$平分$∠ ABD$，即$BE$是$△ ABC$的外角平分线。
(2) 添加条件：$\boldsymbol{∠ 1=∠ DBE}$
证明：
$\because D$、$B$、$C$三点共线，$\therefore ∠ ABD$是$△ ABC$的外角。
$\because ∠ 1=∠ DBE$，且$∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ ABE=∠ DBE$，
$\therefore BE$平分$∠ ABD$，即$BE$是$△ ABC$的外角平分线。
【答案】
(1) 添加的条件为$\boldsymbol{BE// AC}$，证明见上述解析；
(2) 添加的条件为$\boldsymbol{∠ 1=∠ DBE}$，证明见上述解析。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的定义
【点评】
本题为开放性几何证明题，主要考查平行线的性质、角平分线的定义及三角形外角的相关知识，需要根据题目要求合理添加条件，通过角的等量代换完成证明，着重考查几何逻辑推理能力与图形分析能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图，直线$AB$，$CD$被直线$GH$所截，$AB// CD$.
(1) 作$∠ AEG$的平分线$EM$和$∠ CFG$的平分线$FN$；
(2) 探究$EM$与$FN$的位置关系，并证明你的结论.
(1) 作$∠ AEG$的平分线$EM$和$∠ CFG$的平分线$FN$；
(2) 探究$EM$与$FN$的位置关系，并证明你的结论.
答案
(1) ①以点E为圆心，适当长为半径画弧，分别交EA、EG于两点；②分别以这两点为圆心，大于两交点距离一半的长为半径画弧，在∠AEG内部交于一点；③过点E和该交点作射线EM，EM即为∠AEG的平分线。同理，以点F为圆心，适当长为半径画弧，分别交FC、FG于两点；分别以这两点为圆心，大于两交点距离一半的长为半径画弧，在∠CFG内部交于一点；过点F和该交点作射线FN，FN即为∠CFG的平分线。
(2) EM//FN。证明：∵AB//CD，∴∠AEG=∠CFG（两直线平行，同位角相等）。∵EM平分∠AEG，FN平分∠CFG，∴∠MEG=1/2∠AEG，∠NFG=1/2∠CFG（角平分线定义）。∴∠MEG=∠NFG（等量代换）。∴EM//FN（同位角相等，两直线平行）。
(2) EM//FN。证明：∵AB//CD，∴∠AEG=∠CFG（两直线平行，同位角相等）。∵EM平分∠AEG，FN平分∠CFG，∴∠MEG=1/2∠AEG，∠NFG=1/2∠CFG（角平分线定义）。∴∠MEG=∠NFG（等量代换）。∴EM//FN（同位角相等，两直线平行）。
解析
【分析】
1. 对于(1)，作角平分线需遵循尺规作图的标准流程：以角的顶点为圆心画弧与角两边相交，再分别以交点为圆心画弧，两弧交点与顶点的连线即为角平分线，按此步骤操作即可。
2. 对于(2)，先由$AB// CD$，根据平行线的性质得到同位角$∠ AEG=∠ CFG$，再结合角平分线的定义推出$∠ MEG$与$∠ NFG$相等，最后依据同位角相等两直线平行，即可证明$EM$与$FN$的位置关系。
【解析】
(1) 尺规作图步骤：
① 作$∠ AEG$的平分线$EM$：
以点$E$为圆心，适当长为半径画弧，分别交$EA$、$EG$于两点；分别以这两点为圆心，大于两交点距离一半的长为半径画弧，在$∠ AEG$内部交于一点；过点$E$和该交点作射线$EM$，$EM$即为$∠ AEG$的平分线。
② 作$∠ CFG$的平分线$FN$：
以点$F$为圆心，适当长为半径画弧，分别交$FC$、$FG$于两点；分别以这两点为圆心，大于两交点距离一半的长为半径画弧，在$∠ CFG$内部交于一点；过点$F$和该交点作射线$FN$，$FN$即为$∠ CFG$的平分线。
(2) $EM// FN$，证明如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ AEG=∠ CFG$（两直线平行，同位角相等）。
$\because EM$平分$∠ AEG$，$FN$平分$∠ CFG$，
$\therefore ∠ MEG=\frac{1}{2}∠ AEG$，$∠ NFG=\frac{1}{2}∠ CFG$（角平分线的定义）。
$\therefore ∠ MEG=∠ NFG$（等量代换）。
$\therefore EM// FN$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 按上述尺规作图方法作出角平分线$EM$和$FN$；
(2) $EM// FN$，证明过程见解析。
【知识点】
角平分线尺规作图，平行线的性质，平行线的判定
【点评】
本题综合考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质与判定，既要求掌握基本作图技能，又需要灵活运用平行线相关定理进行逻辑证明，可提升作图能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1. 对于(1)，作角平分线需遵循尺规作图的标准流程：以角的顶点为圆心画弧与角两边相交，再分别以交点为圆心画弧，两弧交点与顶点的连线即为角平分线，按此步骤操作即可。
2. 对于(2)，先由$AB// CD$，根据平行线的性质得到同位角$∠ AEG=∠ CFG$，再结合角平分线的定义推出$∠ MEG$与$∠ NFG$相等，最后依据同位角相等两直线平行，即可证明$EM$与$FN$的位置关系。
【解析】
(1) 尺规作图步骤：
① 作$∠ AEG$的平分线$EM$：
以点$E$为圆心，适当长为半径画弧，分别交$EA$、$EG$于两点；分别以这两点为圆心，大于两交点距离一半的长为半径画弧，在$∠ AEG$内部交于一点；过点$E$和该交点作射线$EM$，$EM$即为$∠ AEG$的平分线。
② 作$∠ CFG$的平分线$FN$：
以点$F$为圆心，适当长为半径画弧，分别交$FC$、$FG$于两点；分别以这两点为圆心，大于两交点距离一半的长为半径画弧，在$∠ CFG$内部交于一点；过点$F$和该交点作射线$FN$，$FN$即为$∠ CFG$的平分线。
(2) $EM// FN$，证明如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ AEG=∠ CFG$（两直线平行，同位角相等）。
$\because EM$平分$∠ AEG$，$FN$平分$∠ CFG$，
$\therefore ∠ MEG=\frac{1}{2}∠ AEG$，$∠ NFG=\frac{1}{2}∠ CFG$（角平分线的定义）。
$\therefore ∠ MEG=∠ NFG$（等量代换）。
$\therefore EM// FN$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 按上述尺规作图方法作出角平分线$EM$和$FN$；
(2) $EM// FN$，证明过程见解析。
【知识点】
角平分线尺规作图，平行线的性质，平行线的判定
【点评】
本题综合考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质与判定，既要求掌握基本作图技能，又需要灵活运用平行线相关定理进行逻辑证明，可提升作图能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
