1. 已知抛物线 $ y= x^2+mx $ 的对称轴为直线 $ x= 2 $,则关于 $ x $ 的方程 $ x^2+mx= 5 $ 的根是( )

A.0,4
B.1,5
C.1,-5
D.-1,5

D

对于抛物线$y = x^2 + mx$，其对称轴公式为$x=-\dfrac{m}{2}$。已知对称轴为直线$x = 2$，则有：
$-\dfrac{m}{2}=2$
解得$m=-4$。
将$m = - 4$代入方程$x^2+mx = 5$，得：
$x^2-4x=5$
移项化为标准形式：$x^2 - 4x - 5=0$。
因式分解得$(x - 5)(x + 1)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
D

2. 点 $ A(m-1,y_1) $,$ B(m,y_2) $ 都在二次函数 $ y= (x-1)^2+n $ 的图象上.若 $ y_1＜y_2 $,则 $ m $ 的取值范围为( )

A.$ m＞2 $
B.$ m＞\frac{3}{2} $
C.$ m＜1 $
D.$ \frac{3}{2}＜m＜2 $

B

∵二次函数$y=(x - 1)^2 + n$的对称轴为直线$x = 1$，开口向上，
∴当点$A$到对称轴的距离小于点$B$到对称轴的距离时，$y_1＜y_2$。
点$A(m - 1,y_1)$到对称轴$x = 1$的距离为$|(m - 1)-1|=|m - 2|$，
点$B(m,y_2)$到对称轴$x = 1$的距离为$|m - 1|$，
由$y_1＜y_2$得$|m - 2|＜|m - 1|$，
两边平方得$(m - 2)^2＜(m - 1)^2$，
展开得$m^2 - 4m + 4＜m^2 - 2m + 1$，
移项合并同类项得$-2m＜ - 3$，
解得$m＞\frac{3}{2}$。
B

3. 二次函数 $ y= ax^2+(1-a)x+4-2a $ 的图象如下图,则下列说法中正确的是( )


A.与 $ y $ 轴交点的纵坐标小于 4
B.对称轴在直线 $ x= 0.5 $ 左侧
C.与 $ x $ 轴正半轴交点的横坐标小于 2
D.抛物线一定经过两个定点

D

4. 若二次函数 $ y= ax^2-x+2 $ 的图象经过点 $ (2,-1) $,当 $ t \leq x \leq 2 $ 时,$ y $ 有最大值 3,最小值 -1,则 $ t $ 的取值范围应是( )

A.$ -6 \leq t \leq 2 $
B.$ t \leq -2 $
C.$ -6 \leq t \leq -2 $
D.$ -2 \leq t \leq 2 $

$-\dfrac{15}{4}$

5. 若点 $ P(m,n) $ 在以 $ y $ 轴为对称轴的二次函数 $ y= x^2+ax+4 $ 的图象上,则 $ m-n $ 的最大值等于______.

解:
(1)由题意,
∵抛物线$y=ax^{2}-2amx+am^{2}-4=a(x^{2}-2mx+m^{2})-4=a(x-m)^{2}-4,$
∴抛物线的顶点坐标为(m,-4).
(2)由题意,
∵a＞0,
∴抛物线开口向上.
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小.
∵对于$A(m-2,y_{1}),B(2m,y_{2}),C(2m-2,y_{3}),$总有$y_{1}＞y_{2}＞y_{3},$
又抛物线的对称轴是直线x=m,
∴|m-(m-2)|＞|m-2m|＞|m-2m+2|.
∴|m-2|＜|m|＜2.
①当m＜0时,
∴2-m＜-m＜2.此时无解.
②当0＜m≤2时,
∴2-m＜m＜2.
∴1＜m＜2.
③当m＞2时,
∴m-2＜m＜2.此时无解.
综上,1＜m＜2.

6. 在平面直角坐标系中,已知抛物线 $ y= ax^2-2amx+am^2-4(a＞0) $.
(1)求该抛物线的顶点坐标.(用含 $ m $ 的式子表示)
(2)若对于该抛物线上的三个点 $ A(m-2,y_1) $,$ B(2m,y_2) $,$ C(2m-2,y_3) $,总有 $ y_1＞y_2＞y_3 $,求实数 $ m $ 的取值范围.

(1)$(m,-4)$；(2)$1＜m＜2$。

(1) $y=ax^2-2amx+am^2-4=a(x-m)^2-4$，顶点坐标为$(m,-4)$。
(2) 抛物线开口向上，对称轴为$x=m$，点到对称轴距离越远，函数值越大。
点$A(m-2,y_1)$到对称轴距离$d_1=|(m-2)-m|=2$；
点$B(2m,y_2)$到对称轴距离$d_2=|2m-m|=|m|$；
点$C(2m-2,y_3)$到对称轴距离$d_3=|(2m-2)-m|=|m-2|$。
由$y_1＞y_2＞y_3$得$d_1＞d_2＞d_3$，即：
$\begin{cases}2＞|m| \\ |m|＞|m-2|\end{cases}$
解$2＞|m|$得$-2＜m＜2$；
解$|m|＞|m-2|$，平方得$m^2＞(m-2)^2$，化简得$m＞1$。
综上，$1＜m＜2$。