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1. 小明有一块长方体橡皮泥，长是 $ 10 \mathrm{ cm} $，横截面的面积是 $ 0.64 \mathrm{ cm}^2 $。如果要捏一个棱长 $ 1.2 \mathrm{ cm} $ 的正方体，需要从这块橡皮泥上截取多少厘米？
答案
1. 1.2×1.2×1.2=1.728（cm³）
1.728÷0.64=2.7（cm）
1.728÷0.64=2.7（cm）
解析
【分析】
这道题的核心是利用“橡皮泥体积不变”的原理来解题。首先要明确，捏成的正方体的体积就是需要从长方体橡皮泥上截取的那部分体积。接下来，先根据正方体体积公式算出正方体体积，再结合长方体体积公式（长方体体积=横截面面积×长），变形得到“长=体积÷横截面面积”，用截取的体积除以长方体的横截面面积，就能求出需要截取的长度。
【解析】
1. 计算正方体的体积：
根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$为正方体棱长），可得：
$V = 1.2×1.2×1.2 = 1.728(\mathrm{cm}^3)$
该体积即为需要截取的长方体橡皮泥的体积。
2. 计算需要截取的长方体长度：
根据长方体体积公式$V=S×h$（$S$为横截面面积，$h$为长），变形可得$h = V÷S$，代入数据：
$h = 1.728÷0.64 = 2.7(\mathrm{cm})$
【答案】
$2.7$厘米
【知识点】
正方体体积计算、长方体体积计算、等积变形
【点评】
本题考查等积变形的实际应用，关键在于理解橡皮泥形状变化前后体积不变，需要熟练掌握正方体和长方体的体积公式，并能灵活运用公式进行逆向计算，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是利用“橡皮泥体积不变”的原理来解题。首先要明确，捏成的正方体的体积就是需要从长方体橡皮泥上截取的那部分体积。接下来，先根据正方体体积公式算出正方体体积，再结合长方体体积公式（长方体体积=横截面面积×长），变形得到“长=体积÷横截面面积”，用截取的体积除以长方体的横截面面积，就能求出需要截取的长度。
【解析】
1. 计算正方体的体积：
根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$为正方体棱长），可得：
$V = 1.2×1.2×1.2 = 1.728(\mathrm{cm}^3)$
该体积即为需要截取的长方体橡皮泥的体积。
2. 计算需要截取的长方体长度：
根据长方体体积公式$V=S×h$（$S$为横截面面积，$h$为长），变形可得$h = V÷S$，代入数据：
$h = 1.728÷0.64 = 2.7(\mathrm{cm})$
【答案】
$2.7$厘米
【知识点】
正方体体积计算、长方体体积计算、等积变形
【点评】
本题考查等积变形的实际应用，关键在于理解橡皮泥形状变化前后体积不变，需要熟练掌握正方体和长方体的体积公式，并能灵活运用公式进行逆向计算，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
2. 一个长方体的牛奶桶，高是 $ 80 \mathrm{ cm} $，长和宽都是 $ 60 \mathrm{ cm} $。如果每 $ 6 \mathrm{ L} $ 牛奶可以装 $ 25 $ 袋，这桶牛奶大约能装多少袋？
答案
2. 8×6×6=288（L） 288÷6=48
48×25=1200（袋）
48×25=1200（袋）
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要分三步思考：
1. 首先计算牛奶桶的容积，也就是长方体的体积（忽略桶壁厚度）。由于题目后续涉及的容积单位是升，所以先将厘米转换为分米（1分米=10厘米，1立方分米=1升），方便计算容积的升数。
2. 接着计算这桶牛奶包含多少个6L，用总容积除以6L得到对应的份数。
3. 最后用份数乘以每份对应的袋数25，即可得出总袋数。
【解析】
1. 单位转换
因为1dm = 10cm，所以：
$80\mathrm{cm}=8\mathrm{dm}$，$60\mathrm{cm}=6\mathrm{dm}$
2. 计算牛奶桶的容积（长方体体积）
根据长方体体积公式：$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，代入数据得：
$8×6×6=288$（立方分米）
又因为1立方分米=1升，所以$288$立方分米$=288\mathrm{L}$
3. 计算总袋数
先求$288\mathrm{L}$里包含多少个$6\mathrm{L}$：$288÷6=48$
再计算总袋数：$48×25=1200$（袋）
【答案】
1200袋
【知识点】
长方体体积计算，单位换算，整数乘除法应用
【点评】
本题考查长方体体积在实际生活中的应用，核心是掌握长方体体积公式及体积与容积单位的转换，解题时需注意单位统一，同时理清总量、每份量和份数的关系，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要分三步思考：
1. 首先计算牛奶桶的容积，也就是长方体的体积（忽略桶壁厚度）。由于题目后续涉及的容积单位是升，所以先将厘米转换为分米（1分米=10厘米，1立方分米=1升），方便计算容积的升数。
2. 接着计算这桶牛奶包含多少个6L，用总容积除以6L得到对应的份数。
3. 最后用份数乘以每份对应的袋数25，即可得出总袋数。
【解析】
1. 单位转换
因为1dm = 10cm，所以：
$80\mathrm{cm}=8\mathrm{dm}$，$60\mathrm{cm}=6\mathrm{dm}$
2. 计算牛奶桶的容积（长方体体积）
根据长方体体积公式：$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，代入数据得：
$8×6×6=288$（立方分米）
又因为1立方分米=1升，所以$288$立方分米$=288\mathrm{L}$
3. 计算总袋数
先求$288\mathrm{L}$里包含多少个$6\mathrm{L}$：$288÷6=48$
再计算总袋数：$48×25=1200$（袋）
【答案】
1200袋
【知识点】
长方体体积计算，单位换算，整数乘除法应用
【点评】
本题考查长方体体积在实际生活中的应用，核心是掌握长方体体积公式及体积与容积单位的转换，解题时需注意单位统一，同时理清总量、每份量和份数的关系，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
3. 将 $ 15 \mathrm{ L} $ 水和一个土豆一起放入一个长 $ 4 \mathrm{ dm} $、宽 $ 2 \mathrm{ dm} $、高 $ 3 \mathrm{ dm} $ 的玻璃缸中（土豆完全浸没在水中），这时水面离缸口 $ 1 \mathrm{ dm} $。你能求出土豆的体积是多少吗？
答案
3. 4×2×（3 - 1）-15=1（dm³）
解析
【分析】
要计算土豆的体积，我们可以利用“排水法”：土豆完全浸没在水中时，土豆的体积等于放入土豆后水和土豆的总体积减去原来水的体积。首先需要确定放入土豆后水面的高度，已知玻璃缸高3dm，水面离缸口1dm，所以水面高度为3-1=2dm；再根据长方体体积公式（体积=长×宽×高）算出此时水和土豆的总体积，最后减去原来水的体积（注意单位换算，1L=1dm³），就能得到土豆的体积。
【解析】
1. 计算放入土豆后水面的高度：
玻璃缸高$3\mathrm{dm}$，水面离缸口$1\mathrm{dm}$，则水面高度为：
$3 - 1 = 2\mathrm{dm}$
2. 计算水和土豆的总体积：
根据长方体体积公式$V = 长×宽×高$，可得总体积为：
$4×2×2 = 16\mathrm{dm³}$
3. 单位换算：
已知原来水的体积是$15\mathrm{L}$，因为$1\mathrm{L}=1\mathrm{dm³}$，所以$15\mathrm{L}=15\mathrm{dm³}$
4. 计算土豆的体积：
土豆体积 = 水和土豆的总体积 - 原来水的体积，即：
$16 - 15 = 1\mathrm{dm³}$
综合算式：$4×2×(3 - 1) - 15 = 1\mathrm{dm³}$
【答案】
$1\mathrm{dm³}$
【知识点】
1. 排水法求体积
2. 长方体体积计算
3. 体积单位换算
【点评】
本题考查排水法求不规则物体体积的应用，核心是理解完全浸没时，不规则物体体积等于水和物体的总体积减去原有水的体积，同时要注意单位统一，锻炼学生运用长方体体积公式解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
要计算土豆的体积，我们可以利用“排水法”：土豆完全浸没在水中时，土豆的体积等于放入土豆后水和土豆的总体积减去原来水的体积。首先需要确定放入土豆后水面的高度，已知玻璃缸高3dm，水面离缸口1dm，所以水面高度为3-1=2dm；再根据长方体体积公式（体积=长×宽×高）算出此时水和土豆的总体积，最后减去原来水的体积（注意单位换算，1L=1dm³），就能得到土豆的体积。
【解析】
1. 计算放入土豆后水面的高度：
玻璃缸高$3\mathrm{dm}$，水面离缸口$1\mathrm{dm}$，则水面高度为：
$3 - 1 = 2\mathrm{dm}$
2. 计算水和土豆的总体积：
根据长方体体积公式$V = 长×宽×高$，可得总体积为：
$4×2×2 = 16\mathrm{dm³}$
3. 单位换算：
已知原来水的体积是$15\mathrm{L}$，因为$1\mathrm{L}=1\mathrm{dm³}$，所以$15\mathrm{L}=15\mathrm{dm³}$
4. 计算土豆的体积：
土豆体积 = 水和土豆的总体积 - 原来水的体积，即：
$16 - 15 = 1\mathrm{dm³}$
综合算式：$4×2×(3 - 1) - 15 = 1\mathrm{dm³}$
【答案】
$1\mathrm{dm³}$
【知识点】
1. 排水法求体积
2. 长方体体积计算
3. 体积单位换算
【点评】
本题考查排水法求不规则物体体积的应用，核心是理解完全浸没时，不规则物体体积等于水和物体的总体积减去原有水的体积，同时要注意单位统一，锻炼学生运用长方体体积公式解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
牛奶厂要把 $ 20 $ 盒牛奶装一箱，牛奶盒的长是 $ 6 \mathrm{ cm} $，宽是 $ 4 \mathrm{ cm} $，高是 $ 10 \mathrm{ cm} $。请你帮牛奶厂设计一个包装箱。怎样包装所用的包装纸最少？（长、宽、高取整厘米）
答案
6×4×10×20=4800（cm³）
如图所示，设计成一个长20cm、高20cm、宽12cm
的包装箱，用的包装纸最少。
解析
【分析】
要使包装所用的包装纸最少，本质是让包装箱的表面积最小。由于20盒牛奶的总体积是固定的，根据长方体的性质：当体积一定时，长方体的长、宽、高越接近，其表面积越小。因此我们可以先计算出20盒牛奶的总体积，再将20拆分为三个整数的乘积，结合牛奶盒的长、宽、高（6cm、4cm、10cm）组合出不同的包装箱尺寸，通过计算不同尺寸的表面积，找到表面积最小的方案。
【解析】
1. 计算单盒牛奶体积：
$V_{单盒}=6×4×10=240(\mathrm{cm}^3)$
2. 计算20盒牛奶的总体积：
$V_{总}=240×20=4800(\mathrm{cm}^3)$
3. 拆分20为三个整数的乘积，结合牛奶盒尺寸组合包装箱：
将20拆分为$5×2×2$，对应牛奶盒的摆放方式为：宽方向摆5盒（$4×5=20\mathrm{cm}$），长方向摆2盒（$6×2=12\mathrm{cm}$），高方向摆2盒（$10×2=20\mathrm{cm}$），此时包装箱的长、宽、高为20cm、12cm、20cm。
4. 验证该包装箱表面积为所有组合中最小：
$S=2×(20×12+20×20+12×20)=2×(240+400+240)=1760(\mathrm{cm}^2)$，对比其他组合（如$20×1×1$、$10×2×1$等），该组合表面积最小。
【答案】
设计成长20cm、宽12cm、高20cm的包装箱，所用包装纸最少。
【知识点】
长方体表面积应用；最优包装策略
【点评】
本题结合实际生活场景，考查长方体表面积与体积的关系，核心是掌握“体积一定时，长方体长、宽、高越接近表面积越小”的规律，需要学生具备空间想象能力和整数分解思维，能将数学知识应用到实际问题中，提升解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.3
要使包装所用的包装纸最少，本质是让包装箱的表面积最小。由于20盒牛奶的总体积是固定的，根据长方体的性质：当体积一定时，长方体的长、宽、高越接近，其表面积越小。因此我们可以先计算出20盒牛奶的总体积，再将20拆分为三个整数的乘积，结合牛奶盒的长、宽、高（6cm、4cm、10cm）组合出不同的包装箱尺寸，通过计算不同尺寸的表面积，找到表面积最小的方案。
【解析】
1. 计算单盒牛奶体积：
$V_{单盒}=6×4×10=240(\mathrm{cm}^3)$
2. 计算20盒牛奶的总体积：
$V_{总}=240×20=4800(\mathrm{cm}^3)$
3. 拆分20为三个整数的乘积，结合牛奶盒尺寸组合包装箱：
将20拆分为$5×2×2$，对应牛奶盒的摆放方式为：宽方向摆5盒（$4×5=20\mathrm{cm}$），长方向摆2盒（$6×2=12\mathrm{cm}$），高方向摆2盒（$10×2=20\mathrm{cm}$），此时包装箱的长、宽、高为20cm、12cm、20cm。
4. 验证该包装箱表面积为所有组合中最小：
$S=2×(20×12+20×20+12×20)=2×(240+400+240)=1760(\mathrm{cm}^2)$，对比其他组合（如$20×1×1$、$10×2×1$等），该组合表面积最小。
【答案】
设计成长20cm、宽12cm、高20cm的包装箱，所用包装纸最少。
【知识点】
长方体表面积应用；最优包装策略
【点评】
本题结合实际生活场景，考查长方体表面积与体积的关系，核心是掌握“体积一定时，长方体长、宽、高越接近表面积越小”的规律，需要学生具备空间想象能力和整数分解思维，能将数学知识应用到实际问题中，提升解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.3
