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(2) 把一个长方体切割成两个小长方体，它的表面积 $ (\quad) $，体积 $ (\quad) $。
① 不变 ② 增加 ③ 减少 ④ 无法知道
① 不变 ② 增加 ③ 减少 ④ 无法知道
答案
（2）② ①
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分别从表面积和体积的概念入手分析：
1. 思考表面积的变化：长方体的表面积是所有面的面积总和。当把一个长方体切割成两个小长方体时，切割动作会新产生两个切面，这两个切面的面积会被计入新的总表面积中，所以总表面积会比原来增加。
2. 思考体积的变化：体积是物体所占空间的大小。切割只是将原来的长方体分成了两个小长方体，这两个小长方体所占空间的总和与原来长方体所占空间的大小完全相同，所以总体积保持不变。
【解析】
1. 表面积的变化：把长方体切割成两个小长方体，切割过程中会新增两个切面的面积，因此表面积比原来的长方体增加，应选②。
2. 体积的变化：切割前后，所有部分所占空间的总和等于原来长方体所占空间的大小，根据体积的定义，总体积不变，应选①。
【答案】
② ①
【知识点】
长方体表面积变化、体积的意义
【点评】
本题主要考查对长方体表面积和体积概念的理解，核心是区分切割操作对表面积和体积的不同影响，提醒同学们要准确把握表面积（面的面积总和）与体积（所占空间大小）的本质区别，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以分别从表面积和体积的概念入手分析：
1. 思考表面积的变化：长方体的表面积是所有面的面积总和。当把一个长方体切割成两个小长方体时，切割动作会新产生两个切面，这两个切面的面积会被计入新的总表面积中，所以总表面积会比原来增加。
2. 思考体积的变化：体积是物体所占空间的大小。切割只是将原来的长方体分成了两个小长方体，这两个小长方体所占空间的总和与原来长方体所占空间的大小完全相同，所以总体积保持不变。
【解析】
1. 表面积的变化：把长方体切割成两个小长方体，切割过程中会新增两个切面的面积，因此表面积比原来的长方体增加，应选②。
2. 体积的变化：切割前后，所有部分所占空间的总和等于原来长方体所占空间的大小，根据体积的定义，总体积不变，应选①。
【答案】
② ①
【知识点】
长方体表面积变化、体积的意义
【点评】
本题主要考查对长方体表面积和体积概念的理解，核心是区分切割操作对表面积和体积的不同影响，提醒同学们要准确把握表面积（面的面积总和）与体积（所占空间大小）的本质区别，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
(3) 把一个长 $ 6 \mathrm{ cm} $、宽 $ 5 \mathrm{ cm} $、高 $ 3 \mathrm{ cm} $ 的长方体切成两个小长方体，那么图 $ (\quad) $ 的切法表面积增加得最少。
答案
（3）②
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确：把长方体切成两个小长方体时，表面积会增加两个切面的面积，因此要找出表面积增加最少的切法，只需找到面积最小的切面即可。首先计算出长方体三个不同面的面积，再分别分析三种切法对应的切面，计算每种切法增加的表面积，最后比较大小得出结论。
【解析】
1. 计算长方体三个不同面的面积：
长×宽：$6×5 = 30$（$\mathrm{cm}^2$）
长×高：$6×3 = 18$（$\mathrm{cm}^2$）
宽×高：$5×3 = 15$（$\mathrm{cm}^2$）
2. 计算每种切法增加的表面积：
图①：切面为长×宽的面，增加的表面积为$2×30 = 60$（$\mathrm{cm}^2$）
图②：切面为宽×高的面，增加的表面积为$2×15 = 30$（$\mathrm{cm}^2$）
图③：切面为长×高的面，增加的表面积为$2×18 = 36$（$\mathrm{cm}^2$）
3. 比较增加的表面积大小：$30 ＜ 36 ＜ 60$，因此图②的切法表面积增加得最少。
【答案】
②
【知识点】
长方体表面积、切割体表面积变化
【点评】
本题考查长方体切割后表面积的变化规律，核心是理解切割后新增的表面积为两个切面的面积，通过计算不同切面的面积并比较，能帮助学生加深对立体图形表面积变化的认识，提升空间想象与计算能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确：把长方体切成两个小长方体时，表面积会增加两个切面的面积，因此要找出表面积增加最少的切法，只需找到面积最小的切面即可。首先计算出长方体三个不同面的面积，再分别分析三种切法对应的切面，计算每种切法增加的表面积，最后比较大小得出结论。
【解析】
1. 计算长方体三个不同面的面积：
长×宽：$6×5 = 30$（$\mathrm{cm}^2$）
长×高：$6×3 = 18$（$\mathrm{cm}^2$）
宽×高：$5×3 = 15$（$\mathrm{cm}^2$）
2. 计算每种切法增加的表面积：
图①：切面为长×宽的面，增加的表面积为$2×30 = 60$（$\mathrm{cm}^2$）
图②：切面为宽×高的面，增加的表面积为$2×15 = 30$（$\mathrm{cm}^2$）
图③：切面为长×高的面，增加的表面积为$2×18 = 36$（$\mathrm{cm}^2$）
3. 比较增加的表面积大小：$30 ＜ 36 ＜ 60$，因此图②的切法表面积增加得最少。
【答案】
②
【知识点】
长方体表面积、切割体表面积变化
【点评】
本题考查长方体切割后表面积的变化规律，核心是理解切割后新增的表面积为两个切面的面积，通过计算不同切面的面积并比较，能帮助学生加深对立体图形表面积变化的认识，提升空间想象与计算能力。
【难度系数】
0.7
(4) 右图是用 $ 27 $ 个小正方体拼成的，拿走角上的一个小正方体，它的表面积与原来比较， $ (\quad) $。
① 变大了 ② 变小了
③ 不变 ④ 无法比较
① 变大了 ② 变小了
③ 不变 ④ 无法比较
答案
（4）③
解析
【分析】
要判断拿走角上小正方体后表面积的变化，需先分析角上小正方体原来露在外面的面数，再看拿走后新露出的面数：原来大正方体角上的小正方体，有3个面露在外部；拿走这个小正方体后，原本被它挡住的相邻三个小正方体的各1个面会露出来，新露出的面数也是3个，和原来这个小正方体露在外面的面数相等，因此总表面积不变。
【解析】
原来角上的小正方体在大正方体中，外露面数为3个；拿走该小正方体后，相邻的3个小正方体各露出1个新面，新露出的面数为3个，与原来该小正方体的外露面数相同。所以整个立体图形的表面积与原来相比没有变化。
【答案】
③
【知识点】
正方体表面积变化
【点评】
本题考查立体图形表面积的变化规律，解题关键是准确想象拿走小正方体后，外露面的增减情况，避免错误认为拿走小正方体后表面积会减小。
【难度系数】
0.6
要判断拿走角上小正方体后表面积的变化，需先分析角上小正方体原来露在外面的面数，再看拿走后新露出的面数：原来大正方体角上的小正方体，有3个面露在外部；拿走这个小正方体后，原本被它挡住的相邻三个小正方体的各1个面会露出来，新露出的面数也是3个，和原来这个小正方体露在外面的面数相等，因此总表面积不变。
【解析】
原来角上的小正方体在大正方体中，外露面数为3个；拿走该小正方体后，相邻的3个小正方体各露出1个新面，新露出的面数为3个，与原来该小正方体的外露面数相同。所以整个立体图形的表面积与原来相比没有变化。
【答案】
③
【知识点】
正方体表面积变化
【点评】
本题考查立体图形表面积的变化规律，解题关键是准确想象拿走小正方体后，外露面的增减情况，避免错误认为拿走小正方体后表面积会减小。
【难度系数】
0.6
(5) 用若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，至少需要 $ (\quad) $ 个小正方体。
① $ 8 $ ② $ 4 $ ③ $ 2 $ ④ $ 9 $
① $ 8 $ ② $ 4 $ ③ $ 2 $ ④ $ 9 $
答案
（5）①
解析
【分析】
要解决用相同小正方体拼成大正方体至少需要多少个的问题，首先要明确正方体的核心特征：12条棱长度完全相等。若用小正方体拼大正方体，大正方体的每条棱上至少需要2个小正方体（若每条棱上仅1个，就是原小正方体，不符合“拼成大正方体”的要求）。接着结合正方体体积的计算逻辑，总个数为每条棱上小正方体数量的立方，即通过三维维度的数量相乘得出总数，再对比选项即可确定答案。
【解析】
假设小正方体的棱长为1，要拼成符合要求的大正方体，其棱长最小为2（棱长为1时就是原小正方体，不满足“拼成大正方体”的条件）。
根据正方体体积公式$V = a^3$（$a$为棱长）：
1. 计算大正方体体积：$2×2×2 = 8$
2. 计算单个小正方体体积：$1×1×1 = 1$
3. 计算所需小正方体个数：$8÷1 = 8$（个）
因此至少需要8个小正方体，对应选项①。
【答案】
①
【知识点】
正方体的特征、正方体体积公式
【点评】
本题考查对正方体特征和体积公式的实际应用，易出错点是混淆平面图形（正方形）与立体图形（正方体）的拼接，误选4个，需注意正方体是三维立体图形，拼接时要兼顾长、宽、高三个维度的小正方体数量。
【难度系数】
0.8
要解决用相同小正方体拼成大正方体至少需要多少个的问题，首先要明确正方体的核心特征：12条棱长度完全相等。若用小正方体拼大正方体，大正方体的每条棱上至少需要2个小正方体（若每条棱上仅1个，就是原小正方体，不符合“拼成大正方体”的要求）。接着结合正方体体积的计算逻辑，总个数为每条棱上小正方体数量的立方，即通过三维维度的数量相乘得出总数，再对比选项即可确定答案。
【解析】
假设小正方体的棱长为1，要拼成符合要求的大正方体，其棱长最小为2（棱长为1时就是原小正方体，不满足“拼成大正方体”的条件）。
根据正方体体积公式$V = a^3$（$a$为棱长）：
1. 计算大正方体体积：$2×2×2 = 8$
2. 计算单个小正方体体积：$1×1×1 = 1$
3. 计算所需小正方体个数：$8÷1 = 8$（个）
因此至少需要8个小正方体，对应选项①。
【答案】
①
【知识点】
正方体的特征、正方体体积公式
【点评】
本题考查对正方体特征和体积公式的实际应用，易出错点是混淆平面图形（正方形）与立体图形（正方体）的拼接，误选4个，需注意正方体是三维立体图形，拼接时要兼顾长、宽、高三个维度的小正方体数量。
【难度系数】
0.8
(6) 一个正方体的棱长是 $ b $，它的表面积是 $ (\quad) $。
① $ 6b $ ② $ b^2 $ ③ $ 6b^2 $ ④ $ 6b^3 $
① $ 6b $ ② $ b^2 $ ③ $ 6b^2 $ ④ $ 6b^3 $
答案
（6）③
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆正方体表面积的计算思路：正方体有6个完全相同的正方形面，它的表面积就是这6个面的面积之和。先算出一个面的面积，再乘以6得到正方体的表面积，最后对比选项选出正确答案。
【解析】
1. 计算正方体一个面的面积：正方体的棱长为$b$，根据正方形面积公式“正方形面积=棱长×棱长”，可得一个面的面积是$b×b = b^2$。
2. 计算正方体的表面积：正方体有6个完全相同的面，因此表面积为$6×b^2 = 6b^2$。
对比选项，只有③符合计算结果。
【答案】
③
【知识点】
正方体表面积公式、正方形面积计算
【点评】
本题考查正方体表面积的基础计算，重点在于牢记正方体有6个完全相等的正方形面，需区分开表面积与体积公式，避免出现将表面积错算成体积（如误选$6b^3$）的错误。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆正方体表面积的计算思路：正方体有6个完全相同的正方形面，它的表面积就是这6个面的面积之和。先算出一个面的面积，再乘以6得到正方体的表面积，最后对比选项选出正确答案。
【解析】
1. 计算正方体一个面的面积：正方体的棱长为$b$，根据正方形面积公式“正方形面积=棱长×棱长”，可得一个面的面积是$b×b = b^2$。
2. 计算正方体的表面积：正方体有6个完全相同的面，因此表面积为$6×b^2 = 6b^2$。
对比选项，只有③符合计算结果。
【答案】
③
【知识点】
正方体表面积公式、正方形面积计算
【点评】
本题考查正方体表面积的基础计算，重点在于牢记正方体有6个完全相等的正方形面，需区分开表面积与体积公式，避免出现将表面积错算成体积（如误选$6b^3$）的错误。
【难度系数】
0.9
(7) 一个长方体的高扩大到原来的 $ 2 $ 倍，底面积不变，它的体积就扩大到原来的 $ (\quad) $ 倍。
① $ 2 $ ② $ 4 $ ③ $ 8 $
① $ 2 $ ② $ 4 $ ③ $ 8 $
答案
（7）①
解析
【分析】
首先回忆长方体的体积计算公式：长方体体积 = 底面积 × 高。题目中说明底面积不变，高扩大到原来的2倍，根据积的变化规律——当一个因数（底面积）不变时，另一个因数（高）扩大几倍，积（体积）就扩大相同的倍数。我们可以通过对比变化前后的体积来确定倍数关系，先写出原体积，再写出变化后的体积，两者对比即可得出结果。
【解析】
设原来长方体的底面积为$ S $，高为$ h $，则原来的体积$ V_1 = S × h $。
现在高扩大到原来的2倍，即新的高为$ 2h $，底面积仍为$ S $，则变化后的体积$ V_2 = S × 2h = 2 × (S × h) = 2V_1 $。
由此可知，体积扩大到原来的2倍。
【答案】
①
【知识点】
长方体体积公式、积的变化规律
【点评】
本题主要考查长方体体积公式的应用以及积的变化规律的理解，属于基础题型，只要掌握相关公式和规律就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
首先回忆长方体的体积计算公式：长方体体积 = 底面积 × 高。题目中说明底面积不变，高扩大到原来的2倍，根据积的变化规律——当一个因数（底面积）不变时，另一个因数（高）扩大几倍，积（体积）就扩大相同的倍数。我们可以通过对比变化前后的体积来确定倍数关系，先写出原体积，再写出变化后的体积，两者对比即可得出结果。
【解析】
设原来长方体的底面积为$ S $，高为$ h $，则原来的体积$ V_1 = S × h $。
现在高扩大到原来的2倍，即新的高为$ 2h $，底面积仍为$ S $，则变化后的体积$ V_2 = S × 2h = 2 × (S × h) = 2V_1 $。
由此可知，体积扩大到原来的2倍。
【答案】
①
【知识点】
长方体体积公式、积的变化规律
【点评】
本题主要考查长方体体积公式的应用以及积的变化规律的理解，属于基础题型，只要掌握相关公式和规律就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
4. 填一填。
答案
4. 216 cm² 882 cm² 1620 cm³
3 dm 8 dm 147 dm²
25 cm² 150 cm² 125 cm³
3 dm 8 dm 147 dm²
25 cm² 150 cm² 125 cm³
解析
【分析】
本题需要根据长方体和正方体的底面积、表面积、体积公式，结合已知条件逐步计算未知量。
1. 第一个长方体：已知长、宽、高，先利用“底面积=长×宽”计算底面积，再用“长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2”计算表面积，最后用“长方体体积=长×宽×高”计算体积；
2. 第二个长方体：已知长、底面积、体积，先通过“宽=底面积÷长”求出宽，再用“高=体积÷底面积”求出高，最后代入表面积公式计算表面积；
3. 正方体：已知棱长，利用“正方体底面积=棱长×棱长”“正方体表面积=6×棱长²”“正方体体积=棱长³”分别计算底面积、表面积、体积。
【解析】
第一个长方体
底面积：$18×12=216\ \mathrm{cm}^2$
表面积：$\begin{split}&(18×12 + 18×7.5 + 12×7.5)×2\\=&(216+135+90)×2\\=&441×2\\=&882\ \mathrm{cm}^2\end{split}$
体积：$18×12×7.5=216×7.5=1620\ \mathrm{cm}^3$
第二个长方体
宽：$13.5÷4.5=3\ \mathrm{dm}$
高：$108÷13.5=8\ \mathrm{dm}$
表面积：$\begin{split}&(4.5×3 + 4.5×8 + 3×8)×2\\=&(13.5+36+24)×2\\=&73.5×2\\=&147\ \mathrm{dm}^2\end{split}$
正方体
底面积：$5×5=25\ \mathrm{cm}^2$
表面积：$6×5×5=150\ \mathrm{cm}^2$
体积：$5×5×5=125\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
第一行：$\boldsymbol{216\ \mathrm{cm}^2}$；$\boldsymbol{882\ \mathrm{cm}^2}$；$\boldsymbol{1620\ \mathrm{cm}^3}$
第二行：$\boldsymbol{3\ \mathrm{dm}}$；$\boldsymbol{8\ \mathrm{dm}}$；$\boldsymbol{147\ \mathrm{dm}^2}$
第三行：$\boldsymbol{25\ \mathrm{cm}^2}$；$\boldsymbol{150\ \mathrm{cm}^2}$；$\boldsymbol{125\ \mathrm{cm}^3}$
【知识点】
1. 长方体的表面积与体积
2. 正方体的表面积与体积
【点评】
本题主要考查长方体和正方体的底面积、表面积、体积公式的灵活运用，解题关键是牢记公式，计算时注意单位统一，仔细核对数值运算。
【难度系数】
0.8
本题需要根据长方体和正方体的底面积、表面积、体积公式，结合已知条件逐步计算未知量。
1. 第一个长方体：已知长、宽、高，先利用“底面积=长×宽”计算底面积，再用“长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2”计算表面积，最后用“长方体体积=长×宽×高”计算体积；
2. 第二个长方体：已知长、底面积、体积，先通过“宽=底面积÷长”求出宽，再用“高=体积÷底面积”求出高，最后代入表面积公式计算表面积；
3. 正方体：已知棱长，利用“正方体底面积=棱长×棱长”“正方体表面积=6×棱长²”“正方体体积=棱长³”分别计算底面积、表面积、体积。
【解析】
第一个长方体
底面积：$18×12=216\ \mathrm{cm}^2$
表面积：$\begin{split}&(18×12 + 18×7.5 + 12×7.5)×2\\=&(216+135+90)×2\\=&441×2\\=&882\ \mathrm{cm}^2\end{split}$
体积：$18×12×7.5=216×7.5=1620\ \mathrm{cm}^3$
第二个长方体
宽：$13.5÷4.5=3\ \mathrm{dm}$
高：$108÷13.5=8\ \mathrm{dm}$
表面积：$\begin{split}&(4.5×3 + 4.5×8 + 3×8)×2\\=&(13.5+36+24)×2\\=&73.5×2\\=&147\ \mathrm{dm}^2\end{split}$
正方体
底面积：$5×5=25\ \mathrm{cm}^2$
表面积：$6×5×5=150\ \mathrm{cm}^2$
体积：$5×5×5=125\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
第一行：$\boldsymbol{216\ \mathrm{cm}^2}$；$\boldsymbol{882\ \mathrm{cm}^2}$；$\boldsymbol{1620\ \mathrm{cm}^3}$
第二行：$\boldsymbol{3\ \mathrm{dm}}$；$\boldsymbol{8\ \mathrm{dm}}$；$\boldsymbol{147\ \mathrm{dm}^2}$
第三行：$\boldsymbol{25\ \mathrm{cm}^2}$；$\boldsymbol{150\ \mathrm{cm}^2}$；$\boldsymbol{125\ \mathrm{cm}^3}$
【知识点】
1. 长方体的表面积与体积
2. 正方体的表面积与体积
【点评】
本题主要考查长方体和正方体的底面积、表面积、体积公式的灵活运用，解题关键是牢记公式，计算时注意单位统一，仔细核对数值运算。
【难度系数】
0.8
5. 求下面图形的表面积和体积。
(1)
(2)
(1)
(2)
答案
5.（1）表面积：15×15×6=1350（dm²）
体积：15×15×15=3375（dm³）
（2）表面积：1.2×0.8×2+1.5×0.8×2+1.5×1.2×2=7.92（m²）
体积：1.2×0.8×1.5=1.44（m³）
体积：15×15×15=3375（dm³）
（2）表面积：1.2×0.8×2+1.5×0.8×2+1.5×1.2×2=7.92（m²）
体积：1.2×0.8×1.5=1.44（m³）
解析
【分析】
（1）该图形是棱长为15dm的正方体。求解时，先回忆正方体的表面积和体积公式：正方体表面积=棱长×棱长×6（正方体6个面完全相同，每个面面积是棱长×棱长），正方体体积=棱长×棱长×棱长，将棱长15dm代入公式即可计算出结果。
（2）该图形是长1.5m、宽0.8m、高1.2m的长方体。长方体表面积可通过计算三组相对面的面积之和得到，公式为（长×宽+长×高+宽×高）×2，也可分别计算每个面的面积再相加；长方体体积公式为长×宽×高，将对应数据代入公式计算即可。
【解析】
（1）正方体表面积：
$15×15×6 = 225×6 = 1350$（$\mathrm{dm}^2$）
正方体体积：
$15×15×15 = 225×15 = 3375$（$\mathrm{dm}^3$）
（2）长方体表面积：
$1.2×0.8×2 + 1.5×0.8×2 + 1.5×1.2×2$
$=1.92 + 2.4 + 3.6$
$=7.92$（$\mathrm{m}^2$）
长方体体积：
$1.2×0.8×1.5 = 0.96×1.5 = 1.44$（$\mathrm{m}^3$）
【答案】
（1）表面积：$\boldsymbol{1350\ \mathrm{dm}^2}$，体积：$\boldsymbol{3375\ \mathrm{dm}^3}$
（2）表面积：$\boldsymbol{7.92\ \mathrm{m}^2}$，体积：$\boldsymbol{1.44\ \mathrm{m}^3}$
【知识点】
正方体表面积与体积、长方体表面积与体积
【点评】
本题属于立体图形表面积和体积的基础计算题型，核心是熟练掌握正方体、长方体的表面积及体积公式，解题时需准确识别图形类型，对应代入数据计算，注意单位的一致性，计算过程需认真仔细。
【难度系数】
0.9
（1）该图形是棱长为15dm的正方体。求解时，先回忆正方体的表面积和体积公式：正方体表面积=棱长×棱长×6（正方体6个面完全相同，每个面面积是棱长×棱长），正方体体积=棱长×棱长×棱长，将棱长15dm代入公式即可计算出结果。
（2）该图形是长1.5m、宽0.8m、高1.2m的长方体。长方体表面积可通过计算三组相对面的面积之和得到，公式为（长×宽+长×高+宽×高）×2，也可分别计算每个面的面积再相加；长方体体积公式为长×宽×高，将对应数据代入公式计算即可。
【解析】
（1）正方体表面积：
$15×15×6 = 225×6 = 1350$（$\mathrm{dm}^2$）
正方体体积：
$15×15×15 = 225×15 = 3375$（$\mathrm{dm}^3$）
（2）长方体表面积：
$1.2×0.8×2 + 1.5×0.8×2 + 1.5×1.2×2$
$=1.92 + 2.4 + 3.6$
$=7.92$（$\mathrm{m}^2$）
长方体体积：
$1.2×0.8×1.5 = 0.96×1.5 = 1.44$（$\mathrm{m}^3$）
【答案】
（1）表面积：$\boldsymbol{1350\ \mathrm{dm}^2}$，体积：$\boldsymbol{3375\ \mathrm{dm}^3}$
（2）表面积：$\boldsymbol{7.92\ \mathrm{m}^2}$，体积：$\boldsymbol{1.44\ \mathrm{m}^3}$
【知识点】
正方体表面积与体积、长方体表面积与体积
【点评】
本题属于立体图形表面积和体积的基础计算题型，核心是熟练掌握正方体、长方体的表面积及体积公式，解题时需准确识别图形类型，对应代入数据计算，注意单位的一致性，计算过程需认真仔细。
【难度系数】
0.9
