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活动一: 做一做 想一想
画两条相交直线 $ a $，$ b $，设交点为 $ O $. 在直线 $ a $ 上截取 $ OA = OC $，在直线 $ b $ 上截取 $ OB = OD $，连接 $ AB $，$ BC $，$ CD $，$ DA $.
(1) 线段 $ AB $，$ CD $ 平行吗? 为什么? 线段 $ AD $，$ BC $ 呢?
(2) 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形吗? 由此你能得到什么结论?
画两条相交直线 $ a $，$ b $，设交点为 $ O $. 在直线 $ a $ 上截取 $ OA = OC $，在直线 $ b $ 上截取 $ OB = OD $，连接 $ AB $，$ BC $，$ CD $，$ DA $.
(1) 线段 $ AB $，$ CD $ 平行吗? 为什么? 线段 $ AD $，$ BC $ 呢?
(2) 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形吗? 由此你能得到什么结论?
答案
课时5 平行四边形(3)
【问题导学】活动一：(1) AB// CD，证$\triangle AOB\cong\triangle COD$，得内错角相等；AD// BC，证$\triangle AOD\cong\triangle COB$，得内错角相等 (2) 四边形 ABCD 是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形
【问题导学】活动一：(1) AB// CD，证$\triangle AOB\cong\triangle COD$，得内错角相等；AD// BC，证$\triangle AOD\cong\triangle COB$，得内错角相等 (2) 四边形 ABCD 是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形
解析
【解析】
(1) $AB // CD$，理由如下：
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\{\begin{array}{l}OA=OC\\∠ AOB=∠ COD\\OB=OD\end{array} $
$\therefore △ AOB≌△ COD$（SAS）
$\therefore ∠ OAB=∠ OCD$
$\therefore AB // CD$（内错角相等，两直线平行）
$AD // BC$，理由如下：
在$△ AOD$和$△ COB$中，
$\{\begin{array}{l}OA=OC\\∠ AOD=∠ COB\\OD=OB\end{array} $
$\therefore △ AOD≌△ COB$（SAS）
$\therefore ∠ OAD=∠ OCB$
$\therefore AD // BC$（内错角相等，两直线平行）
(2) 四边形$ABCD$是平行四边形。
因为四边形$ABCD$的两组对边分别平行（$AB // CD$，$AD // BC$），根据平行四边形的定义，可知四边形$ABCD$是平行四边形。
由此可得结论：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【答案】
(1) $AB // CD$，$AD // BC$，理由见解析；
(2) 四边形$ABCD$是平行四边形，结论：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【知识点】
三角形全等判定（SAS）、平行线的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题通过构造全等三角形推导平行线，进而探究平行四边形的判定定理，考查了全等三角形与平行四边形相关知识的综合运用，培养几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) $AB // CD$，理由如下：
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\{\begin{array}{l}OA=OC\\∠ AOB=∠ COD\\OB=OD\end{array} $
$\therefore △ AOB≌△ COD$（SAS）
$\therefore ∠ OAB=∠ OCD$
$\therefore AB // CD$（内错角相等，两直线平行）
$AD // BC$，理由如下：
在$△ AOD$和$△ COB$中，
$\{\begin{array}{l}OA=OC\\∠ AOD=∠ COB\\OD=OB\end{array} $
$\therefore △ AOD≌△ COB$（SAS）
$\therefore ∠ OAD=∠ OCB$
$\therefore AD // BC$（内错角相等，两直线平行）
(2) 四边形$ABCD$是平行四边形。
因为四边形$ABCD$的两组对边分别平行（$AB // CD$，$AD // BC$），根据平行四边形的定义，可知四边形$ABCD$是平行四边形。
由此可得结论：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【答案】
(1) $AB // CD$，$AD // BC$，理由见解析；
(2) 四边形$ABCD$是平行四边形，结论：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【知识点】
三角形全等判定（SAS）、平行线的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题通过构造全等三角形推导平行线，进而探究平行四边形的判定定理，考查了全等三角形与平行四边形相关知识的综合运用，培养几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
活动二: 说一说 议一议
1. 你还有其他方法证明课本中例 3 的结论吗?
2. 若将条件“$ AE = CF $”去掉，问题改为: 当点 $ E $，$ F $ 满足什么条件时，四边形 $ EBFD $ 是平行四边形? 你能解决这个问题吗? 试一试.
1. 你还有其他方法证明课本中例 3 的结论吗?
2. 若将条件“$ AE = CF $”去掉，问题改为: 当点 $ E $，$ F $ 满足什么条件时，四边形 $ EBFD $ 是平行四边形? 你能解决这个问题吗? 试一试.
答案
1.
其他证明方法（答案不唯一）：
连接$BD$，记$BD$与$AC$交点为$O$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$OA = OC$，$OB = OD$。
因为$AE=CF$，
所以$OA - AE = OC - CF$，
即$OE = OF$。
因为$OE = OF$，$OB = OD$，
所以四边形$EBFD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
2.
当$EF// AB$且$EF// CD$（或点$E$，$ F$分别在平行四边形$ABCD$的边$AD$，$BC$上且$EF$过$AC$，$BD$交点，或从向量等角度满足一定向量关系等，最简单情况如下）
当$EF// AD// BC$时，
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$AD// BC$，$AB = CD$，$AB// CD$，
又因为$EF// AD$，
所以$DE// BF$，$BE// DF$，
所以四边形$EBFD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；
或当$EF$过$AC$与$BD$交点$O$时，
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$OA = OC$，$OB = OD$，
因为$EF$过$O$点，
所以$OE = OF$（对顶角及相关线段关系可得），
所以四边形$EBFD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
综上，当$EF// AD// BC$或$EF$过平行四边形$ABCD$对角线交点时，四边形$EBFD$是平行四边形。
其他证明方法（答案不唯一）：
连接$BD$，记$BD$与$AC$交点为$O$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$OA = OC$，$OB = OD$。
因为$AE=CF$，
所以$OA - AE = OC - CF$，
即$OE = OF$。
因为$OE = OF$，$OB = OD$，
所以四边形$EBFD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
2.
当$EF// AB$且$EF// CD$（或点$E$，$ F$分别在平行四边形$ABCD$的边$AD$，$BC$上且$EF$过$AC$，$BD$交点，或从向量等角度满足一定向量关系等，最简单情况如下）
当$EF// AD// BC$时，
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$AD// BC$，$AB = CD$，$AB// CD$，
又因为$EF// AD$，
所以$DE// BF$，$BE// DF$，
所以四边形$EBFD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；
或当$EF$过$AC$与$BD$交点$O$时，
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$OA = OC$，$OB = OD$，
因为$EF$过$O$点，
所以$OE = OF$（对顶角及相关线段关系可得），
所以四边形$EBFD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
综上，当$EF// AD// BC$或$EF$过平行四边形$ABCD$对角线交点时，四边形$EBFD$是平行四边形。
解析
【解析】
1. 连接$BD$，记$BD$与$AC$交点为$O$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA = OC$，$OB = OD$。
因为$AE=CF$，所以$OA - AE = OC - CF$，即$OE = OF$。
因为$OE = OF$，$OB = OD$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可证四边形$EBFD$是平行四边形（此为一种证明方法，答案不唯一）。
2. ①当$EF// AD// BC$时：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AB// CD$。
又因为$EF// AD$，所以$DE// BF$，$BE// DF$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形$EBFD$是平行四边形。
②当$EF$过平行四边形$ABCD$对角线交点时：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA = OC$，$OB = OD$。
因为$EF$过对角线交点$O$，所以$OE = OF$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形$EBFD$是平行四边形。
综上，当$EF// AD// BC$或$EF$过平行四边形$ABCD$对角线交点时，四边形$EBFD$是平行四边形（答案不唯一）。
【答案】
1. 存在其他证明方法（示例）：连接$BD$交$AC$于$O$，由平行四边形性质得$OA=OC$，$OB=OD$，结合$AE=CF$推出$OE=OF$，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形$EBFD$是平行四边形（答案不唯一）。
2. 当$EF// AD// BC$或$EF$过平行四边形$ABCD$的对角线交点时，四边形$EBFD$是平行四边形（答案不唯一）。
【知识点】
平行四边形的判定与性质
【点评】
本题为平行四边形的拓展探究题，第一问考查平行四边形判定定理的灵活运用，需构造合适的辅助线完成证明；第二问具有开放性，需从不同角度分析点$E$、$F$的位置关系，有助于提升几何推理能力与发散思维。
【难度系数】
0.6
1. 连接$BD$，记$BD$与$AC$交点为$O$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA = OC$，$OB = OD$。
因为$AE=CF$，所以$OA - AE = OC - CF$，即$OE = OF$。
因为$OE = OF$，$OB = OD$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可证四边形$EBFD$是平行四边形（此为一种证明方法，答案不唯一）。
2. ①当$EF// AD// BC$时：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AB// CD$。
又因为$EF// AD$，所以$DE// BF$，$BE// DF$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形$EBFD$是平行四边形。
②当$EF$过平行四边形$ABCD$对角线交点时：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA = OC$，$OB = OD$。
因为$EF$过对角线交点$O$，所以$OE = OF$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形$EBFD$是平行四边形。
综上，当$EF// AD// BC$或$EF$过平行四边形$ABCD$对角线交点时，四边形$EBFD$是平行四边形（答案不唯一）。
【答案】
1. 存在其他证明方法（示例）：连接$BD$交$AC$于$O$，由平行四边形性质得$OA=OC$，$OB=OD$，结合$AE=CF$推出$OE=OF$，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形$EBFD$是平行四边形（答案不唯一）。
2. 当$EF// AD// BC$或$EF$过平行四边形$ABCD$的对角线交点时，四边形$EBFD$是平行四边形（答案不唯一）。
【知识点】
平行四边形的判定与性质
【点评】
本题为平行四边形的拓展探究题，第一问考查平行四边形判定定理的灵活运用，需构造合适的辅助线完成证明；第二问具有开放性，需从不同角度分析点$E$、$F$的位置关系，有助于提升几何推理能力与发散思维。
【难度系数】
0.6
活动三: 试一试 填一填
填表:
填表:
答案
活动三:平行 相等 平行 相等 互相平分
解析
【解析】
本题考查平行四边形的判定定理，根据边和对角线的不同判定规则进行填空：
1. 从边的角度，两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
2. 从对角线的角度，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【答案】
1. 平行；2. 相等；3. 平行、相等；4. 互相平分
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题是对平行四边形判定定理的基础考查，这些判定方法是后续解决平行四边形相关证明、计算问题的核心依据，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查平行四边形的判定定理，根据边和对角线的不同判定规则进行填空：
1. 从边的角度，两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
2. 从对角线的角度，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【答案】
1. 平行；2. 相等；3. 平行、相等；4. 互相平分
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题是对平行四边形判定定理的基础考查，这些判定方法是后续解决平行四边形相关证明、计算问题的核心依据，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
