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3. 如图,在$□ ABCD$中,点 $ E $ 在边 $ AD $ 上,以 $ BE $ 为折痕,将$△ ABE$向上翻折,点 $ A $ 正好落在 $ CD $ 上的点 $ F $ 处. 若$△ FDE$的周长为 $ 8 $,$△ FCB$的周长为 $ 22 $,则 $ FC $ 的长为
7
.答案
7
解析
【解析】
根据折叠的性质，可得$AE=FE$，$AB=FB$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD=BC$，$AB=DC$。
设$FC=x$，$FD=y$，则$DC=AB=FB=x+y$。
由$△ FDE$的周长为8，得$DE+FE+FD=DE+AE+FD=AD+FD=AD+y=8$，即$AD=8-y$。
由$△ FCB$的周长为22，得$FC+BC+FB=x+AD+(x+y)=22$。
将$AD=8-y$代入上式：
$x+(8-y)+x+y=22$，
化简得$2x+8=22$，
解得$x=7$，即$FC=7$。
【答案】
7
【知识点】
平行四边形性质，折叠的性质，线段和差计算
【点评】
本题借助折叠性质与平行四边形性质实现线段转化，通过周长建立方程求解，考查了转化思想与方程思想的运用。
【难度系数】
0.6
根据折叠的性质，可得$AE=FE$，$AB=FB$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD=BC$，$AB=DC$。
设$FC=x$，$FD=y$，则$DC=AB=FB=x+y$。
由$△ FDE$的周长为8，得$DE+FE+FD=DE+AE+FD=AD+FD=AD+y=8$，即$AD=8-y$。
由$△ FCB$的周长为22，得$FC+BC+FB=x+AD+(x+y)=22$。
将$AD=8-y$代入上式：
$x+(8-y)+x+y=22$，
化简得$2x+8=22$，
解得$x=7$，即$FC=7$。
【答案】
7
【知识点】
平行四边形性质，折叠的性质，线段和差计算
【点评】
本题借助折叠性质与平行四边形性质实现线段转化，通过周长建立方程求解，考查了转化思想与方程思想的运用。
【难度系数】
0.6
4. 已知:如图,在$□ ABCD$中,点 $ E $, $ F $ 分别在 $ AD $, $ BC $ 上,且 $ AE = CF $.
求证:$ BE = DF $.
求证:$ BE = DF $.
答案
在▱ABCD中，由AD//BC,AD=BC,AE=CF,则ED//BF,ED=BF,从而四边形BFDE为平行四边形，所以BE=DF.
解析
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC$。
又
∵ $AE=CF$，
∴ $AD - AE = BC - CF$，即$ED=BF$。
∵ $ED// BF$且$ED=BF$，
∴ 四边形$BFDE$是平行四边形。
∴ $BE=DF$。
【答案】
$BE=DF$得证
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形的性质与判定的综合应用，需熟练掌握平行四边形的相关定理，通过构造平行四边形证明线段相等。
【难度系数】
0.8
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC$。
又
∵ $AE=CF$，
∴ $AD - AE = BC - CF$，即$ED=BF$。
∵ $ED// BF$且$ED=BF$，
∴ 四边形$BFDE$是平行四边形。
∴ $BE=DF$。
【答案】
$BE=DF$得证
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形的性质与判定的综合应用，需熟练掌握平行四边形的相关定理，通过构造平行四边形证明线段相等。
【难度系数】
0.8
1. 能确定四边形是平行四边形的条件是(
A.一组对边平行,另一组对边相等
B.一组对边平行,一组对角相等
C.一组对边平行,一组邻角相等
D.一组对边平行,两条对角线相等
B
)A.一组对边平行,另一组对边相等
B.一组对边平行,一组对角相等
C.一组对边平行,一组邻角相等
D.一组对边平行,两条对角线相等
答案
B
解析
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：一组对边平行，另一组对边相等，该四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故A错误；
选项B：一组对边平行，一组对角相等。由两直线平行，同旁内角互补，结合一组对角相等，可推出另一组对角也相等，根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，能确定该四边形是平行四边形，故B正确；
选项C：一组对边平行，一组邻角相等，该四边形可能是直角梯形，不一定是平行四边形，故C错误；
选项D：一组对边平行，两条对角线相等，该四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定、等腰梯形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的判定与特殊梯形的性质，需熟练掌握平行四边形的判定定理，准确区分平行四边形与特殊梯形的特征，避免混淆判定条件。
【难度系数】
0.7
我们逐个分析选项：
选项A：一组对边平行，另一组对边相等，该四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故A错误；
选项B：一组对边平行，一组对角相等。由两直线平行，同旁内角互补，结合一组对角相等，可推出另一组对角也相等，根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，能确定该四边形是平行四边形，故B正确；
选项C：一组对边平行，一组邻角相等，该四边形可能是直角梯形，不一定是平行四边形，故C错误；
选项D：一组对边平行，两条对角线相等，该四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定、等腰梯形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的判定与特殊梯形的性质，需熟练掌握平行四边形的判定定理，准确区分平行四边形与特殊梯形的特征，避免混淆判定条件。
【难度系数】
0.7
2. 已知:如图,在四边形 $ ABCD $ 中,对角线 $ AC $, $ BD $ 相交于点 $ O $,$ AE ⊥ BD $,$ CF ⊥ BD $,垂足分别为 $ E $, $ F $,且 $ AE = CF $,$ BE = DF $.
求证:四边形 $ ABCD $ 是平行四边形.
求证:四边形 $ ABCD $ 是平行四边形.
答案
由AE=CF,BE=DF,∠AEB=∠CFD=90°,得△ABE≌△CDF,则AB=CD,∠ABE=∠CDF,得AB//CD,所以四边形ABCD是平行四边形
解析
【解析】
∵ $AE ⊥ BD$，$CF ⊥ BD$，
∴ $∠AEB = ∠CFD = 90°$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}AE = CF \\∠AEB = ∠CFD \\BE = DF\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（SAS）。
∴ $AB = CD$，$∠ABE = ∠CDF$。
∵ $∠ABE = ∠CDF$，
∴ $AB // CD$（内错角相等，两直线平行）。
又
∵ $AB = CD$且$AB // CD$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形$ABCD$是平行四边形，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【点评】
本题通过证明三角形全等得到四边形的一组对边平行且相等，进而利用平行四边形的判定定理完成证明，需要熟练掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定定理，是平行四边形判定的基础题型。
【难度系数】
0.7
∵ $AE ⊥ BD$，$CF ⊥ BD$，
∴ $∠AEB = ∠CFD = 90°$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}AE = CF \\∠AEB = ∠CFD \\BE = DF\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（SAS）。
∴ $AB = CD$，$∠ABE = ∠CDF$。
∵ $∠ABE = ∠CDF$，
∴ $AB // CD$（内错角相等，两直线平行）。
又
∵ $AB = CD$且$AB // CD$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形$ABCD$是平行四边形，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【点评】
本题通过证明三角形全等得到四边形的一组对边平行且相等，进而利用平行四边形的判定定理完成证明，需要熟练掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定定理，是平行四边形判定的基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AD // BC $,且 $ AD ＞ BC $, $ BC = 6 $,点 $ P $, $ Q $ 分别从点 $ A $, $ C $ 同时出发,点 $ P $ 以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度由点 $ A $ 向点 $ D $ 运动,点 $ Q $ 以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度由点 $ C $ 向点 $ B $ 运动. 几秒后四边形 $ ABQP $ 是平行四边形?
答案
2s
解析
【解析】
设$ t $秒后四边形$ ABQP $是平行四边形。
由题意可知，$ AP = t × 1 = t $，$ CQ = 2t $，因为$ BC = 6 $，所以$ BQ = BC - CQ = 6 - 2t $。
因为$ AD // BC $，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，当$ AP = BQ $时，四边形$ ABQP $是平行四边形，因此列方程：
$ t = 6 - 2t $
解得：$ 3t = 6 $，$ t = 2 $。
【答案】
2s
【知识点】
平行四边形的判定，一元一次方程的应用
【点评】
本题考查动点问题与平行四边形判定的结合，解题关键是根据平行四边形的判定定理找到等量关系$ AP = BQ $，通过列一元一次方程求解，属于基础动点问题。
【难度系数】
0.8
设$ t $秒后四边形$ ABQP $是平行四边形。
由题意可知，$ AP = t × 1 = t $，$ CQ = 2t $，因为$ BC = 6 $，所以$ BQ = BC - CQ = 6 - 2t $。
因为$ AD // BC $，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，当$ AP = BQ $时，四边形$ ABQP $是平行四边形，因此列方程：
$ t = 6 - 2t $
解得：$ 3t = 6 $，$ t = 2 $。
【答案】
2s
【知识点】
平行四边形的判定，一元一次方程的应用
【点评】
本题考查动点问题与平行四边形判定的结合，解题关键是根据平行四边形的判定定理找到等量关系$ AP = BQ $，通过列一元一次方程求解，属于基础动点问题。
【难度系数】
0.8
