5. 如图，$AB$是$\odot O$的切线，$A$为切点，$AC$是$\odot O$的弦，过$O$作$OH ⊥ AC$于点$H$.若$OH = 2$，$AB = 12$，$BO = 13$.求：
（1）$\odot O$的半径；
（2）$AC$的值.

5.(1)5 (2)$2\sqrt{21}$

【解析】
（1）
∵$AB$是$\odot O$的切线，$A$为切点，
∴$OA⊥ AB$，即$∠ OAB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{BO^2-AB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
即$\odot O$的半径为5。
（2）
∵$OH⊥ AC$，根据垂径定理可知$AC=2AH$。
在$\mathrm{Rt}△ AOH$中，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{OA^2-OH^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$，
∴$AC=2AH=2\sqrt{21}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$；（2）$\boldsymbol{2\sqrt{21}}$
【知识点】
切线的性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题考查切线的性质、垂径定理与勾股定理的综合应用，熟练掌握相关定理并灵活运用勾股定理计算是解题关键。
【难度系数】
0.6

6. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，以$AB$为直径的$\odot O$分别与$BC$，$AC$交于点$D$，$E$，过点$D$作$\odot O$的切线$DF$，$DF$交$AC$于点$F$.
（1）求证：$DF ⊥ AC$；
（2）若$\odot O$的半径为4，$∠ CDF = 22.5°$，求阴影部分的面积.

6.(1)略 (2)$4π - 8$

【解析】
（1）连接$OD$，
∵$DF$是$\odot O$的切线，
∴$OD⊥DF$（切线的性质）。
∵$AB=AC$，
∴$∠ABC=∠ACB$，
∵$OB=OD$，
∴$∠ODB=∠ABC$，
∴$∠ODB=∠ACB$，
∴$OD//AC$（同位角相等，两直线平行），
∴$DF⊥AC$。
（2）连接$OE$，
∵$∠CDF=22.5°$，$DF⊥AC$，
∴$∠C=90°-22.5°=67.5°$，
∵$AB=AC$，
∴$∠B=∠C=67.5°$，
∴$∠BAC=180°-2×67.5°=45°$，
∵$OA=OE=4$，
∴$∠AOE=90°$，
∴$S_{扇形AOE}=\frac{90π×4^2}{360}=4π$，
$S_{△AOE}=\frac{1}{2}×4×4=8$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形AOE}-S_{△AOE}=4π-8$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{4π - 8}$
【知识点】
切线的性质，等腰三角形性质，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的切线性质、等腰三角形性质与扇形面积计算，解题关键是通过角度推导确定扇形圆心角，进而完成面积计算。
【难度系数】
0.6

7. 如图，四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$AB$是直径，过点$C$的切线与$AB$的延长线交于点$P$，若$∠ P = 40°$，则$∠ D$的度数为.

7.115°

【解析】
连接$OC$，
因为$PC$是$\odot O$的切线，所以$OC⊥ PC$，即$∠ OCP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中，$∠ P=40°$，所以$∠ COP=90° - 40°=50°$。
因为$OB=OC$，所以$∠ OBC=\frac{180° - ∠ COP}{2}=\frac{180° - 50°}{2}=65°$。
又因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的对角互补，可得$∠ D + ∠ ABC=180°$，
所以$∠ D=180° - 65°=115°$。
【答案】
$\boldsymbol{115°}$
【知识点】
切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查切线性质与圆内接四边形性质的综合应用，通过连接辅助线$OC$，将切线性质与等腰三角形、圆内接四边形的性质结合推导角度，关键是掌握切线垂直于过切点的半径以及圆内接四边形对角互补的性质。
【难度系数】
0.6